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    Función uno a uno: explicación y ejemplos

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    Aina Prat
    @ainaprat

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    Función uno a uno: explicación y ejemplos

    Sabes que estás estudiando funciones cuando escuchas "uno a uno" con más frecuencia que nunca. Curioso por lo que hace funciones uno a uno ¿especial? Este artículo lo ayudará a conocer sus propiedades y apreciar estas funciones. Comencemos con esta definición rápida de funciones uno a uno:

    Las funciones uno a uno son funciones que devuelven un rango único para cada elemento en su dominio.


    Dado que las funciones uno a uno son tipos especiales de funciones, es mejor revisar nuestro conocimiento de las funciones, su dominio y su rango.


    Este artículo nos ayudará a comprender la propiedades de funciones uno a uno. También aprenderemos a identificar funciones uno a uno basadas en sus expresiones y gráficas.

    Sigamos adelante y comencemos con la definición y propiedades de las funciones uno a uno.

    ¿Qué es una función uno a uno?

    Para recordar fácilmente qué son las funciones uno a uno, intente recordar esta afirmación: "para cada y, hay una x única". Las siguientes dos secciones le mostrarán por qué esta frase nos ayuda a recordar el concepto central detrás de las funciones uno a uno.

    Definición de función uno a uno

    La función, f (x), es una función uno a uno cuando un elemento único de su dominio devolverá cada elemento de su rango. Esto significa que por cada valor de x, habrá un valor único de yof (x).

    ¿Por qué no visualizamos esto mapeando dos pares de valores para comparar funciones que no están en correspondencia uno a uno?

    Echemos un vistazo a g (x) primero, g (4) y g (-4) comparten un valor de y común de 16. Esto también es cierto para g (-2) y g (2). Lo has adivinado bien; g (x) es una función que no tiene una correspondencia uno a uno.



    Ahora, observe f (x). Observe cómo para cada valor de f (x), ¿solo hay un valor único de x? Cuando observa funciones que tienen esa correspondencia, las llamamos funciones uno a uno.

    Gráfico de función uno a uno

    Para comprender mejor el concepto de funciones uno a uno, estudiemos la gráfica de una función uno a uno. Recuerde que para las funciones uno a uno, se espera que cada x tenga un valor único de y.

    Dado que cada x tendrá un valor único para y, las funciones uno a uno nunca tendrán pares ordenados que compartan la misma coordenada y.

    Ahora que hemos estudiado la definición de funciones uno a uno, ¿comprende ahora por qué “para cada y, hay una x única” es una declaración útil para recordar?

    Propiedades de función uno a uno

    ¿Cuáles son otras propiedades importantes de las funciones uno a uno que debemos tener en cuenta? Aquí hay algunas propiedades que pueden ayudarlo a comprender diferentes tipos de funciones con una correspondencia uno a uno:

    • Si dos funciones, f (x) y g (x), son uno a uno, f ◦ g también es una función uno a uno.
    • Si una función es uno a uno, su gráfica siempre aumentará o siempre disminuirá.
    • Si g ◦ f es una función uno a uno, se garantiza que f (x) también será una función uno a uno.

    Intente estudiar dos pares de gráficos por su cuenta y vea si puede confirmar estas propiedades. Por supuesto, antes de que podamos aplicar estas propiedades, será importante que aprendamos cómo podemos confirmar si una función dada es una función uno a uno o no.



    ¿Cómo determinar si una función es uno a uno?

    Las siguientes dos secciones le mostrarán cómo podemos probar la correspondencia uno a uno de las funciones. A veces se nos da la expresión o el gráfico de una función, por lo que debemos aprender a identificar funciones uno a uno algebraica y geométricamente. ¡Sigamos adelante y comencemos con lo último!

    Prueba de funciones uno a uno geométricamente

    Recuerde que para que las funciones sean funciones uno a uno. ¿Cada coordenada x debe tener una coordenada y única? Podemos verificar las funciones uno a uno usando el prueba de línea horizontal.

    • Cuando se le da una función, dibujar líneas horizontales junto con el sistema de coordenadas.
    • Compruebe si las líneas horizontales pueden pasar por dos puntos.
    • Si las líneas horizontales pasan solo un punto a lo largo del gráfico, la función es una función uno a uno.

    ¿Qué pasa si pasa dos o más puntos de una función? Entonces, como habrás adivinado, no se consideran funciones uno a uno.

    Para comprender mejor el proceso, sigamos adelante y estudiemos estos dos gráficos que se muestran a continuación.

    Se sabe que la función recíproca, f (x) = 1 / x, es una función uno a uno. También podemos verificar esto dibujando líneas horizontales a lo largo de su gráfico.

    ¿Ves cómo cada línea horizontal pasa a través de un par ordenado único cada vez? Cuando esto sucede, podemos confirmar que la función dada es una función uno a uno.


    ¿Qué sucede entonces cuando una función no es uno a uno? Por ejemplo, la función cuadrática, f (x) = x2, no es una función uno a uno. Veamos el gráfico que se muestra a continuación para ver cómo se aplica la prueba de la línea horizontal a tales funciones.


    Como puede ver, cada línea horizontal trazada a través de la gráfica de f (x) = x2 pasa por dos pares ordenados. Esto confirma además que la función cuadrática no es una función uno a uno.

    Prueba de funciones uno a uno algebraicamente

    Refresquemos nuestra memoria sobre cómo definimos las funciones uno a uno. Recuerde que las funciones son funciones uno a uno cuando:

    • f (x1) = f (x2) si y solo si x1 = x2
    • f (x1) ≠ f (x2) si y solo si x1 ≠ x2

    Usaremos esta definición algebraica para probar si una función es uno a uno. Entonces, ¿cómo hacemos eso?

    • Usa la función dada y encuentra la expresión para f (x1).
    • Aplica el mismo proceso y encuentra la expresión para f (x2).
    • Equivale ambas expresiones y demuestre que x1 = x2.

    ¿Por qué no intentamos probar que f (x) = 1 / x es una función uno a uno usando este método?

    Primero sustituyamos x1 y x2 en la expresión. Tendremos f (x1) = 1 / x1 y f (x2) = 1 / x2. Para confirmar la correspondencia uno a uno de la función, equiparemos f (x1) y f (x2).

    1 / x1 = 1 / x2

    Multiplica ambos lados de la ecuación de forma cruzada para simplificar la ecuación.

    x2 = x1

    x1 = x2

    Acabamos de mostrar que x1 = x2 cuando f (x1) = f (x2), por lo tanto, la función recíproca es una función uno a uno.

    ejemplo 1

    Llena los espacios con a veces, Siempre hay o nunca para que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.

    • Las relaciones pueden ser funciones uno a uno.
    • Las funciones uno a uno son funciones ______________.
    • Cuando una línea horizontal pasa por una función que no es una función uno a uno, ____________ pasará por dos pares ordenados.

    Solución

    Al responder preguntas como esta, siempre regrese a las definiciones y propiedades que acabamos de aprender.

    • Las relaciones a veces pueden ser funciones y, en consecuencia, pueden a veces representan una función uno a uno.
    • Dado que las funciones uno a uno son un tipo especial de función, Siempre hay ser, ante todo, funciones.
    • Nuestro ejemplo puede haber mostrado las líneas horizontales que pasan por la gráfica de f (x) = x2 dos veces, pero las líneas horizontales pueden pasar por más puntos. Por lo tanto, a veces pasa a través de dos pares ordenados.

    ejemplo 2

    Sea A = {2, 4, 8, 10} y B = {w, x, y, z}. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de pares ordenados representa una función uno a uno?

    • {(2, w), (2, x), (2, y), (2, z)}
    • {(4, w), (2, x), (10, z), (8, y)}
    • {(4, w), (2, x), (8, x), (10, y)}

    Solución

    Para que una función sea una función uno a uno, cada elemento de A debe emparejarse con un elemento único de B.

    • La primera opción tiene el mismo valor para x para cada valor de y, por lo que no es una función y, en consecuencia, no es una función uno a uno.
    • La tercera opción tiene diferentes valores de x para cada par ordenado, pero 2 y 8 comparten el mismo rango de x. Por tanto, no representa una función uno a uno.
    • La segunda opción usa un elemento único de A para cada elemento único de B, lo que representa una función uno a uno.

    Esto significa que {(4, w), (2, x), (10, z), (8, y)} representan una función uno a uno.

    ejemplo 3

    ¿Cuál de los siguientes conjuntos de valores representa una función uno a uno?

    Solución

    Siempre regrese a la declaración, "para cada y, hay una x única". Para cada conjunto, inspeccionemos si cada elemento de la derecha está emparejado con un valor único de la izquierda.

    • Para el primer conjunto, f (x), podemos ver que cada elemento del lado derecho está emparejado con un elemento único del lado izquierdo. Por eso, f (x) es una función uno a uno.
    • El conjunto, g (x), muestra un número diferente de elementos en cada lado. Esto solo nos dirá que la función no es una función uno a uno.
    • Algunos valores del lado izquierdo corresponden al mismo elemento que se encuentra a la derecha, por lo que m (x) no es una función uno a uno también.
    • Cada uno de los elementos del primer conjunto corresponde a un elemento único en el siguiente, por lo que n (x) representa una función uno a uno.

    ejemplo 4

    Gráfico f (x) = | x | + 1 y determine si f (x) es una función uno a uno.

    Solución

    Construya una tabla de valores para f (x) y trace los pares ordenados generados. Conectó estos puntos a la gráfica f (x).

    La tabla por sí sola ya puede darte una pista sobre si f (x) es una función uno a uno [Sugerencia: f (1) = 2 yf (-1) = 2]. Pero sigamos adelante y grafiquemos estos puntos en el plano xy y grafiquemos f (x).

    Una vez que hemos configurado la gráfica de f (x) = | x | + 1, dibuje líneas horizontales a través del gráfico y vea si pasa por uno o más puntos.

    En el gráfico, podemos ver que las líneas horizontales que hemos construido pasan por dos puntos cada una, por lo que la función no es una función uno a uno.

    ejemplo 5

    Determina si f (x) = -2x3 - 1 es una función uno a uno usando el método algebraico.

    Solución

    Recuerde que para que una función sea una función uno a uno, f (x1) = f (x2) si y solo si x1 = x2. Para que podamos comprobar si f (x) es una función uno a uno, busquemos primero las expresiones respectivas para x1 y x2.

    f (x1) = -2 x13 - 1

    f (x2) = -2 x23 - 1

    Equivale ambas expresiones y vea si se reduce a x1 = x2.

    -2 x13 - 1 = -2 x23 - 1

    -2 x13 = -2 x23

    (x1) 3 = (x2) 3

    Sacar la raíz cúbica de ambos lados de la ecuación nos llevará a x1 = x2. Por tanto, f (x) = -2x3 - 1 es una función uno a uno.

    ejemplo 6

    Demuestre que f (x) = -5x2 + 1 no es una función uno a uno.

    Solución

    Otra propiedad importante de las funciones uno a uno es que cuando x1 ≠ x2, f (x1) no debe ser igual af (x2).

    Una forma rápida de demostrar que f (x) no es una función uno a uno es pensar en un contraejemplo que muestre dos valores de x donde devuelvan el mismo valor para f (x).

    Veamos qué sucede cuando x1 = -4 y x2 = 4.

    Podemos ver que incluso cuando x1 no es igual a x2, todavía devuelve el mismo valor para f (x). Esto muestra que la función f (x) = -5x2 + 1 no es una función uno a uno.

    ejemplo 7

    Dado que ayb no son iguales a 0, demuestre que todas las funciones lineales son funciones uno a uno.

    Solución

    Recuerde que la forma general de las funciones lineales se puede expresar como ax + b, donde ayb son constantes distintas de cero.

    Aplicamos el mismo proceso sustituyendo x1 y x2 en la expresión general de funciones lineales.

    f (x1) = a x1 + b

    f (x2) = a x2 + b

    Equivale ambas ecuaciones y vea si se pueden reducir a x1 = x2. Dado que b representa una constante, podemos restar b de ambos lados de la ecuación.

    una x1 + b = una x2 + b

    una x1 = una x2

    Divida ambos lados de la ecuación por a, y tendremos x1 = x2. De esto, podemos concluir que todas las funciones lineales son funciones uno a uno.

    Preguntas de práctica

    1. Llena los espacios con a veces, Siempre hay o nunca Haga que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.
    • Las funciones del coseno pueden _______________ ser funciones uno a uno.
    • Si f (x) es una función uno a uno, su dominio ______________ tendrá el mismo número de elementos que su rango.
    • Cuando una línea horizontal pasa por una función que es una función uno a uno, ____________ pasará por dos pares ordenados.
    1. Sea M = {3, 6, 9, 12} y N = {a, b, c, d}. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de pares ordenados representa una función uno a uno?
    • {(6, a), (6, b), (6, c), (6, d)}
    • {(9, d), (12, b), (6, b), (3, c)}
    • {(6, d), (9, c), (12, b), (3, a)}
    1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de valores representa una función uno a uno?

    2. Grafique las siguientes funciones y determine si es una función uno a uno o no.
    • f (x) = x2 - 4
    • g (x) = -4x + 1
    • h (x) = ex
    1. Verifique si las siguientes funciones son una a una usando el enfoque algebraico.
    • f (x) = 2x - 1
    • g (x) = 1 / x2
    • h (x) = | x | + 4
    1. Demuestre que g (x) = | x | - 4 no es una función uno a uno.
    2. Muestre que todas las expresiones cuadráticas no son funciones uno a uno.

    Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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