Funciones compuestas: explicación y ejemplos

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Funciones compuestas: explicación y ejemplos

En matemáticas, una función es una regla que relaciona un conjunto dado de entradas con un conjunto de posibles salidas. El punto importante a tener en cuenta sobre una función es que cada entrada está relacionada exactamente con una salida.


El proceso de nombrar funciones se conoce como notación de funciones. Los símbolos de notación de funciones más utilizados incluyen: “f (x) =…”, “g (x) =…”, “h (x) =…”, etc.

En este artículo, aprenderemos qué son las funciones compuestas y cómo resolverlas.


¿Qué es una función compuesta?

Si se nos dan dos funciones, podemos crear otra función componiendo una función en la otra. Los pasos necesarios para realizar esta operación son similares a cuando se resuelve cualquier función para cualquier valor dado. Estas funciones se denominan funciones compuestas.

Una función compuesta es generalmente una función que se escribe dentro de otra función. La composición de una función se realiza sustituyendo una función en otra función.

Por ejemplo:, f [g (x)] es la función compuesta de f (x) y g (x). La función compuesta f [g (x)] se lee como “f de g de x”. La función g (x) se llama función interna y la función f (x) se llama función externa. Por lo tanto, también podemos leer f [g (x)] como “la función g es la función interna de la función externa f”.


¿Cómo resolver funciones compuestas?

Resolver una función compuesta significa hallar la composición de dos funciones. Usamos un círculo pequeño (∘) para la composición de una función. Estos son los pasos sobre cómo resolver una función compuesta:

  • Reescribe la composición en una forma diferente.

Por ejemplo:


(f ∘ g) (x) = f [g (x)]

(f ∘ g) (x) = f [g (x)]

(f ∘ g) (x²) = f [g (x²)]

  • Sustituye la variable x que está en la función exterior con la función interior.
  • Simplifica la función.

Nota: El orden en la composición de una función es importante porque (f ∘ g) (x) NO es lo mismo que (g ∘ f) (x).

Veamos los siguientes problemas:

ejemplo 1

Dadas las funciones f (x) = x2 + 6 y g (x) = 2x - 1, encuentre (f ∘ g) (x).

Solución

Sustituya x con 2x - 1 en la función f (x) = x2 + 6.
(f ∘ g) (x) = (2x - 1) 2 + 6 = (2x - 1) (2x - 1) + 6

Aplicar FOIL
= 4x2 - 4x + 1 + 6
= 4x2 - 4x + 7

ejemplo 2

Dadas las funciones g (x) = 2x - 1 y f (x) = x2 + 6, encuentre (g ∘ f) (x).

Solución

Sustituye x con x2 + 6 en la función g (x) = 2x - 1
(sol ∘ f) (x) = 2 (x2 + 6) - 1


Utilice la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis.
= 2x2 + 12 - 1
= 2x2 + 11

ejemplo 3

Dado f (x) = 2x + 3, encuentre (f ∘ f) (x).

Solución

(f ∘ f) (x) = f [f (x)]

= 2 (2x + 3) + 3

= 4x ​​+ 9

ejemplo 4

Encuentre (g ∘ f) (x) dado que, f (x) = 2x + 3 y g (x) = –x2 + 5

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f (x)]


Reemplaza x en g (x) = –x2 + 5 con 2x + 3
= - (2x + 3) 2 + 5
= - (4x2 + 12x + 9) + 5
= –4x2 - 12x - 9 + 5
= –4x2 - 12x - 4

ejemplo 5

Evalúa f [g (6)] dado que, f (x) = 5x + 4 y g (x) = x - 3

Solución

Primero, encuentre el valor de f (g (x)).

⟹ f (g (x)) = 5 (x - 3) + 4

= 5x - 15 + 4

= 5x - 11

Ahora sustituya x en f (g (x)) con 6

⟹ 5 (6) - 11

⟹ 30 - 11

= 19

Por lo tanto, f [g (6)] = 19

ejemplo 6

Encuentre f [g (5)] dado que, f (x) = 4x + 3 y g (x) = x - 2.


Solución

Empiece por encontrar el valor de f [g (x)].

⟹ f (x) = 4x + 3

⟹ g (x) = x - 2

f [g (x)] = 4 (x - 2) + 3

= 4x - 8 + 3

= 4x - 5

Ahora, evalúe f [g (5)] sustituyendo x en f [g (x)] con 5.

f [g (x)] = 4 (5) - 5

= 15

Por tanto, f [g (5)] = 15.

ejemplo 7

Dado g (x) = 2x + 8 y f (x) = 8x², Encuentre (f ∘ g) (x)

Solución

(f ∘g) (x) = f [g (x)]

Reemplaza x en f (x) = 8x² con (2x + 8)

⟹ (f ∘g) (x) = f [g (x)] = 8 (2x + 8) ²

⟹ 8 [4x² + 8² + 2 (2x) (8)]


⟹ 8 [4x² + 64 + 32x]

⟹ 32x² + 512 + 256 x

⟹ 32x² + 256 x + 512

ejemplo 8

Encuentre (g ∘ f) (x) si, f (x) = 6 x² y g (x) = 14x + 4

Solución

⟹ (g ∘ f) (x) = g [f (x)]

Sustituya x en g (x) = 14x + 4 con 6 x²

⟹g [f (x)] = 14 (6 x²) + 4

= 84 x² + 4

ejemplo 9

Calcule (f ∘ g) (x) usando f (x) = 2x + 3 y g (x) = -x 2 + 1,

Solución

(f ∘ g) (x) = f (g (x))
= 2 (g (x)) + 3
= 2 (-x 2 + 1) + 3
= - 2 x 2 + 5

ejemplo 10

Dado f (x) = √ (x + 2) y g (x) = ln (1 - x 2), encuentre el dominio de (g ∘ f) (x).

Solución

⟹ (g ∘ f) (x) = g (f (x))
⟹ ln (1 - f (x) 2) = ln (1 - √ (x + 2) 2)
⟹ ln (1 - (x + 2))
= ln (- x- 1)

Establecer x + 2 en ≥ 0

Por tanto, dominio: [-2, -1]

ejemplo 11

Dadas dos funciones: f = {(-2, 1), (0, 3), (4, 5)} y g = {(1, 1), (3, 3), (7, 9)}, encuentre (g ∘ f) y determine su dominio y rango.

Solución

⟹ (g ∘ f) (-2) = g [f (-2)] = g (1) = 1
⟹ (g ∘ f) (0) = g [f (0)] = g (3) = 3
⟹ (g ∘ f) (4) = g [f (4)] = g (5) = indefinido

Por tanto, g ∘ f = {(-2, 1), (0, 3)}

Por lo tanto, dominio: {-2, 0} e intervalo: {1, 3}

Preguntas de práctica

  1. Encuentre la función compuesta (f ∘ f):

f (x) = -9x2 + 7x - 3

  1. Realice la composición de la función, f ∘ g ∘h.

f (x) = 1 / (2x + 3), g (x) = √ (x + 2) / x y h (x) = x3 - 3

  1. Encuentre la función de composición si la función interna es una función de raíz cuadrada dada por √ (-12x - 3) y la función externa está dada por 3x2 + 5.



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