Funciones polinomiales: propiedades, gráficos y ejemplos

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Funciones polinomiales: propiedades, gráficos y ejemplos

Si ha estado trabajando con funciones, también habría estado tratando con funciones polinomiales. Estas también se encuentran entre las funciones más utilizadas en los modelos del mundo real y se consideran uno de los "bloques de construcción" de Álgebra. Con su amplia aplicación, debemos estudiar y comprender las funciones polinomiales, comenzando por su definición.

Las funciones polinomiales son funciones que terminan o términos que pueden contener diferentes componentes, incluidas variables, constantes y exponentes.



Intente pensar en diferentes combinaciones y se dará cuenta de que las funciones polinomiales cubren una gran cantidad de funciones.

Es por eso que este artículo será completo al discutir los diferentes aspectos de las funciones polinomiales. Discutiremos lo siguiente:

  • Identificar funciones polinomiales comunes.
  • Predecir el comportamiento final y graficar funciones polinómicas.
  • Manipular y encontrar funciones polinómicas.
  • Modelar e interpretar funciones polinomiales.

Asegúrese de tomar notas, ya que aprender sobre polinomios y sus gráficos puede ayudarnos a comprender diferentes funciones y modelos matemáticos del mundo real.

¿Qué es una función polinómica?

Dividamos la palabra polinomio en dos: poli y nomial. El primero significa muchos, y el segundo significa término, por lo que cuando se combinan, los polinomios son expresiones con muchos términos.

Aquí está la forma general de polinomios:


Tenga en cuenta que an, an-1, ... ao puede ser cualquier número complejo (excepto an, ya que no puede ser igual a cero).


En la siguiente sección, aprenderemos cómo dividir cada término y comprender mejor cómo podemos modificar y manipular la forma general de funciones polinomiales.

Definición y ejemplos de funciones polinomiales

De la forma general de la función polinomial, podemos ver que los polinomios son expresiones que se componen de constantes, variables, operadores y exponentes no negativos.

¿Por qué no desglosamos los componentes formales generales e identificamos elementos comunes que podemos encontrar en una función polinomial?


Tenga en cuenta que an, an-1, ... ao puede ser cualquier número complejo (excepto an, ya que no puede ser igual a cero).

En la siguiente sección, aprenderemos cómo dividir cada término y comprender mejor cómo podemos modificar y manipular la forma general de funciones polinomiales.

Definición y ejemplos de funciones polinomiales

De la forma general de la función polinomial, podemos ver que los polinomios son expresiones que se componen de constantes, variables, operadores y exponentes no negativos.

¿Por qué no desglosamos los componentes formales generales e identificamos elementos comunes que podemos encontrar en una función polinomial?

En general, el términos de polinomios contienen coeficientes distintos de cero y variables de diversos grados. La término principal de f (x) es ansioso donde n es el exponente más alto del polinomio.


Los polinomios también contienen términos con diferentes exponentes (para polinomios, estos nunca pueden ser negativos). Más a menudo que no, los polinomios también contienen constantes. Estos son los números enteros que normalmente vemos al final de una expresión polinomial.

Sigamos adelante y enumeremos algunos ejemplos de polinomios e identifiquemos estos diferentes componentes.

Puede enumerar más si lo desea y practicar la identificación de sus diferentes componentes. Por ahora, sigamos adelante y entendamos las propiedades que podemos encontrar de las funciones polinomiales.

¿Cuáles son los grados y los coeficientes principales de los polinomios?

Cuando se trata de polinomios, encontrará el término grado. Los grados nos ayudarán a predecir el comportamiento de los polinomios y también pueden ayudarnos a agrupar mejor los polinomios.

Los grados devuelven el exponente más alto encontrado en una variable dada del polinomio. Por ejemplo, si tenemos y = -4x3 + 6x2 + 8x - 9, el exponente más alto encontrado es 3 de -4x3. Esto significa que el grado de este polinomio es 3.

¿Qué pasa si nuestro polinomio tiene términos con dos o más variables? Luego, su grado dependerá de la suma más alta de los exponentes de cada término.

¿Por qué no observamos 6x2y2 + 3xy3 - 5x2y4 + 6? Encontremos la suma de los exponentes de cada término:

  • La suma de los exponentes de 6x2y2 es 2 + 2 =
  • De manera similar, la suma de los exponentes de 3xy3 también es 1 + 3 = 4.
  • Por último, la suma de los exponentes de 5x2y4 es 2 + 4 = 6.

A partir de esto, podemos ver que la suma más alta es 6, por lo que el polinomio dado tiene un grado de 6. Llamamos al término que contiene el grado más alto como el coeficiente principal del polinomio, entonces para este caso, es 5x2y4.


¿Conseguir pasar el rato? ¿Por qué no intentamos encontrar los grados y los coeficientes principales de estos polinomios que se muestran a continuación?

Ahora que hemos aprendido sobre los polinomios y sus componentes únicos, es hora de que aprendamos cómo podemos clasificar los polinomios comunes según sus grados y el número de términos.

¿Cuáles son los tipos comunes de funciones polinomiales?

Con la gran cantidad de polinomios y funciones polinomiales que podemos encontrar, deberíamos aprender cómo podemos clasificar los tipos más comunes de funciones polinomiales.

Comencemos con la clasificación de funciones polinomiales. basado en su número de términos.

Los tres polinomios más comunes que puede encontrar son monomios, binomios, trinomios.

  • Los monomios son polinomios que solo contienen un término.
    • Ejemplos: -5x2, 23a y 6y3
  • Los binomios son polinomios que contienen dos términos.
    • Ejemplos: a + b, 5x - 2 y 3x + 2y
  • Los trinomios son polinomios que contienen tres términos.
    • Ejemplos: x2 - 2x + 1, y4 - 6y2 + 9 y mn2 - 2mn + 5mn

Ahora, clasifiquemos polinomios basado en sus grados.

Los cuatro polinomios más comunes que estudiaremos en nuestras clases de álgebra y precálculo son lineal, cuadrática, cúbica, cuartico.

  • Las funciones lineales son funciones con un grado de 1.
    • Ejemplos: 2x + 1, 3y - 1 y a + b
  • Las funciones cuadráticas son funciones con un grado de 2.
    • Ejemplos: 4x2 - 1, x2 + 4x + 4 y m2 - 2mn + n2
  • Las funciones cúbicas son funciones con un grado de 3.
    • Ejemplos: 2x3, 5y3 - 2y2 + 12 y a3 + ab2 - ab + b3
  • Las funciones cuarticas son funciones con un grado de 4.
    • Ejemplos: x4 - y4, x4 - 3x3 + 2x - 4 y a4 - 2x2 + 1

¿Cómo graficar una función polinomial?

Es posible que en el pasado hayamos graficado funciones polinomiales más simples, como funciones lineales, cuadráticas y de potencia, por lo que es mejor revisar sus notas para recordar los diferentes tipos de gráficos que hemos aprendido en el pasado.

Pero, ¿qué pasa si nos dan una función polinomial con un grado mayor que dos o una expresión más compleja? Aquí hay algunos consejos útiles para recordar al graficar funciones polinomiales:

  • Representa gráficamente las intersecciones en x e y siempre que sea posible.
  • Determine el comportamiento final de la función.
  • Calcula el número de puntos de inflexión que puede tener una función.
  • Aplicar transformaciones de gráficos siempre que sea posible.

No te preocupes. Entraremos en estas propiedades lentamente y comprender cada uno de estos componentes puede ayudarnos a graficar funciones polinomiales.

Encontrar las intersecciones

El intersección en y se puede determinar de inmediato estableciendo x en 0.

Algunas funciones polinomiales ya pueden estar en forma factorizada, así que equipare cada factor a 0 de inmediato para encontrar el intersecciones en x? Pero, ¿qué pasa si nos dan una función polinomial compleja? No se preocupe, hemos escrito un artículo especial sobre cómo resolver ecuaciones polinómicas aquí.

Asegúrese de trazar estas intersecciones de inmediato como guía al graficar la curva de la función polinomial.

Comportamiento en los ceros

Una vez que tenemos las intersecciones en x o los ceros de la función, podemos predecir cómo se comporta la curva en estos ceros dependiendo de su multiplicidad.

Sigamos adelante y repasemos cada uno de los tres casos:

  • Si el cero tiene una multiplicidad de 1, la gráfica pasa por el eje x una vez.
  • Si el cero tiene una multiplicidad par, la curva rebota o gira en la intersección con el eje x.
  • Suponga que el cero tiene una multiplicidad impar, la curva rebota cruza y gira en el eje x. Esto da como resultado curvas que parecen curvas, como se muestra arriba.

Comportamientos finales y puntos de inflexión

Comencemos con los puntos de inflexión. Podemos predecir el número máximo de puntos de inflexión por su grado.

  • Si la función tiene n grados, el número máximo de puntos presentes en el gráfico es n - 1.
  • También esperamos que el gráfico contenga puntos de inflexión entre dos intersecciones x.

En cuanto a los comportamientos finales, estos dependerán del término principal del polinomio. Si la función polinomial tiene un término principal de axn, el comportamiento final dependerá de si n es par o impar y si a es positivo o impar.

La guía anterior puede ayudarnos a saber qué esperar al final de la curva.

  • Cuando el grado (n) es impar, ambos extremos aumentarán o disminuirán dependiendo de si el coeficiente (o a) es positivo o negativo.
  • Cuando n o el grado es par, un extremo aumenta mientras que el otro extremo disminuye. El orden dependerá del signo del coeficiente (a).

Aparte de estas propiedades, asegúrese de revisar lo que sabemos sobre las transformaciones y las funciones de potencia. Úselos siempre que sea posible para ahorrar tiempo también al graficar funciones.

Cómo resolver funciones polinomiales?                

Dado que las funciones polinomiales contienen un grupo extenso de funciones, podemos usar muchos métodos al resolver funciones polinomiales.

Pero se aplica el mismo concepto: para resolver los ceros o soluciones de la función polinomial, igualamos la expresión a 0 y resolvemos para x. Aquí hay una tabla para resumir los métodos comunes que podemos aplicar al resolver funciones polinomiales.

No te preocupes. De hecho, hemos escrito un artículo separado sobre la resolución de ecuaciones polinomiales porque es importante para nosotros dominar este concepto.

¿Qué pasa si nos dan la gráfica y queremos encontrar la función polinomial que la representa? Usaremos las mismas propiedades que acabamos de discutir en la sección anterior, pero esta vez lo haremos a la inversa.

Primero resumamos cómo las diferentes propiedades afectarían la gráfica de la función polinomial con esta guía.

Esta guía también nos dice cómo a partir de la gráfica de una función polinomial solo, ya podemos determinar una amplia gama de información sobre la función polinomial.

Intentemos encontrar una función que pueda representar la gráfica que se muestra arriba. Usando la multiplicidad de las gráficas, aquí están los factores más simples posibles de la función, f (x):

f (x) = a (x - - 1) 2 (x - 1) 3 (x - 2)

= a (x + 1) 2 (x - 1) 3 (x - 2)

Podemos usar estas observaciones y otra información dada del problema para encontrar funciones polinomiales faltantes e interpretar el comportamiento de un modelo polinomial.

Para el caso de f (x), podemos usar la intersección con el eje y. Sustituye x = 0 y f (x) = -2 para resolver para a.

-2 = a (0 + 1) 2 (0 - 1) 3 (0 - 2)

-2 = a (1) (-1) (-2)

-2 = 2a

a = -6

Por lo tanto, tenemos f (x) = -6 (x - 2) (x + 1) 2 (x - 1) 3.

¿Cree que está listo para poner a prueba sus conocimientos sobre funciones polinomiales ahora? Sigamos adelante y respondamos estos problemas para comprobar nuestro conocimiento.

ejemplo 1

¿Cuáles de las siguientes funciones se consideran funciones polinómicas?

una. f (x) = -2x2 + 3x - 5
B. g (x) = 3√x - 1

C. h (x) = πx2 - π
d. m (x) = 2x + 5 / x
es. n (x) = 3 cos x - 1

Solución

Sigamos adelante y observemos cada función y veamos si cumplen con la definición de funciones polinomiales.

una. Las funciones polinomiales pueden contener varios términos siempre que cada término contenga exponentes que sean números enteros. Desde f (x) satisface esta definición, es una función polinomial. De hecho, también es una función cuadrática.

B. El término 3√x se puede expresar como 3x1 / 2. Su exponente no contiene números enteros, por lo que g (x) no es una función polinomial.

C. A primera vista, podemos pensar que π no es un coeficiente válido, pero π es un número real y el exponente de h (x) es un número real, por lo que h (x) es, de hecho, una función polinomial.

D. Recuerda que 5 / x se puede expresar como 5x-1, por lo que no es un número entero. Esto significa que m (x) no es una función polinomial.

mi. El término 3 cos x es una expresión trigonométrica y no es un término válido en función polinomial, entonces n (x) no es una función polinomial.

ejemplo 2

Determina el grado de los siguientes polinomios.

una. f (x) = 3x3 + 2x2 - 12x - 16

B. g (x) = -5xy2 + 5xy4 - 10x3y5 + 15x8y3

C. h (x) = 12mn2 - 35m5n3 + 40n6 + 24m24

Solución

Podemos encontrar el grado de un polinomio encontrando el término con el exponente más alto. El valor del exponente (o la suma de los exponentes) será el grado de la función.

una. Para f (x), podemos ver inmediatamente que el término principal es 3x3 y el grado de la función es 3.

B. Dado que g (x) contiene términos con múltiples variables, asegúrese de sumar los exponentes que se encuentran en cada variable. Podemos ver que la suma más alta de exponentes es 11 (del término principal, 15x8y3. Por lo tanto, el grado de g (x) es 11.

C. Aplicamos el mismo proceso para los términos de h (x) con dos variables. Por inspección, podemos ver que el exponente combinado más alto es 24 (de 24m24). Por lo tanto, la grado de h (x) es 24.

ejemplo 3

Escribe una función que satisfaga las siguientes condiciones.

una. Es una función monomial y cúbica.

B. Tiene un término adelantado de 24x3.

C. Es un trinomio con grado 5.

Solución

Esta pregunta puede tener muchas respuestas posibles. Lo que importa es que la función resultante satisfaga las condiciones dadas.

una. Los monomios son polinomios que contienen un término, mientras que una función cúbica es una función polinomial con un grado de 3. Entonces, para que una función satisfaga ambas condiciones, nuestra función solo debe tener un término con un exponente de 3.Una función que satisface esto es f (x) = -5x3.

Esto significa que cualquier coeficiente antes de x3 será una función válida.

B. El término principal de la función polinomial es el término que contiene el exponente más alto (o suma de exponentes para términos multivariables). Esto significa que queremos una función con 3 como su exponente más alto, por lo que una función posible es g (x) = 24x3 - 24x + 1.

Siempre que los términos que sumes tengan exponentes menores que 3, tu respuesta es correcta.

C. Recuerde que los trinomios son funciones en tres términos. Queremos una función con un término inicial con un exponente de 5 pero que solo contenga tres términos. Podemos comenzar con x5 como su término principal y agregar dos términos más. Por eso, h (x) = x5 - 3x3 + 1 es un ejemplo de esta función.

En general, las funciones que tienen 5 como su máximo exponente y contienen tres términos serían válidas.

ejemplo 4

Ilustre y describa el comportamiento final de las siguientes funciones polinomiales.

una. f (x) = 3x5 + 2x3 - 1

b. g (x) = 4 - 2x + x2

C. h (x) = -x6 + 5x2 - 2x + 4

Solución

Al predecir el comportamiento final de una función polinomial, identifique primero el término principal (axn). Determina si su coeficiente, a, es positivo o negativo. Tome nota de si el grado (n) de la función es par o impar.

una. El término principal de f (x) es 3x5. Podemos ver que a> 0 yf (x) tienen un grado impar. De lo que hemos aprendido, podemos predecir que su comportamiento final será aumentando en ambos extremos.

Este diagrama ilustra la dirección de las curvas finales de f (x).

B. La función g (x) tiene un término inicial de x2, por lo que a> 0 y g (x) tiene un grado par. Esto significa que su la curva es decreciente cuando x <0 y aumenta cuando x> 0.

Este diagrama ilustra la dirección de las curvas finales de f (x).

C. La función g (x) tiene un término inicial de x2, por lo que a> 0 y g (x) tiene un grado par. Esto significa que su la curva es decreciente cuando x <0 y aumenta cuando x> 0.

Este diagrama ilustra cómo se comportará la curva de h (x).

ejemplo 5

Grafica la función polinomial g (x) = - (x - 1) (x + 2) 2 (x + 3) 3. Asegúrese también de determinar lo siguiente:

una. Las intersecciones en x e y de g (x).

B. El comportamiento de las raíces de g (x).

C. El comportamiento final de g (x).

Solución

Comencemos con las intersecciones de g (x).

  • Encuentre la intersección en y de g (x) estableciendo x = 0. Por lo tanto, tenemos g (0) = - (- 1) (2) 2 (3) 3 = 108.
  • Encuentra la intersección en x estableciendo g (x) en 0 y resolviendo para x igualando cada expresión factorizada a 0.
  • Por tanto, g (x) tiene intercepta en (0, 108), (1,0), (-2, 0) y (-3, 0).

Ahora, veamos qué debemos esperar de las intersecciones x cuando la curva pasa por el eje x.

  • Dado que (x - 1) tiene una multiplicidad de 1, el la curva solo cruzará x = 1 una vez.
  • El factor (x + 2) tiene una multiplicidad de 2; la la curva rebota cuando pasa por x = -2.
  • El factor (x + 3) tiene una multiplicidad de 3, el la curva rebota y cruza el eje x en x = -3.

Para determinar el comportamiento final de g (x), busquemos primero su término principal: axn = -1 (x) (x) 2 (x) 3 = -x6. Dado que el coeficiente es negativo y el grado es par, g (x) aumenta cuando x <0 y disminuye cuando x> 0 como se muestra en el diagrama siguiente.

Primero grafiquemos las intersecciones de g (x) como guía al graficar su curva.

Utilice el comportamiento del gráfico en los ceros y el comportamiento final del gráfico para trazar la curva de g (x).

El gráfico confirma el comportamiento de la curva a medida que pasa por cada una de las intersecciones x o ceros.

También podemos confirmar cómo las curvas finales están bajando como hemos predicho.

También puede comprobar que hay como máximo (6 - 1) = 5 puntos de inflexión en el gráfico (de hecho, solo podemos ver tres).

Preguntas de práctica

1. ¿Cuáles de las siguientes funciones se consideran funciones polinómicas?

una. f (x) = -3x2 + 4x - 14
B. g (x) = x + √x - 2

C. h (x) = -3 sin x + 4
D. m (x) = 3-5 / x2
mi. n (x) = π

2. Recuerda los componentes de polinomios y completa la tabla que se muestra a continuación.

3. Determine el grado de los siguientes polinomios.

una. f (x) = 24x2 - 48x + 24

B. g (x) = -2mn2 + 4mn3 - 8m2n4 + 12m4n3

C. h (x) = 2ab2 - 12a5b3 + 5b6 + 12a24

4. Escribe una función que satisfaga las siguientes condiciones.
una. Es una función trinomial y cuadrática.
B. Tiene un término inicial de -5x3.
C. Es un binomio con grado 6.

5. Ilustre y describa el comportamiento final de las siguientes funciones polinomiales.

una. f (x) = 4x7 + 6x5 - 8

B. g (x) = 1+ x - 2x2 - x3

C. h (x) = x6 - 12x4 - 6x + 8

6. Representa gráficamente la función polinomial g (x) = -2 (x - 2) (x + 1) 2 (x -1) 3. Asegúrese de determinar también lo siguiente:

una. Las intersecciones en x e y de g (x).
B. El comportamiento de las raíces de g (x).
C. El comportamiento final de g (x).

7. Suponga que f (x) tiene factores de (x - 1) con una multiplicidad de 2, (x + 1) con una multiplicidad de 1 y (x - 2) con una multiplicidad de 3, encuentre una expresión posible para f (x) si pasa por el eje y en x = 96.

8. Utilice la función de la Pregunta 7 y determine su comportamiento final. Confirma tu resultado graficando g (x).

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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