Funciones por partes: definición, gráfico y ejemplos 

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Judit Llordes
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Funciones por partes: definición, gráfico y ejemplos 

Hay casos en los que la expresión de las funciones depende del intervalo dado de los valores de entrada. Cuando esto sucede, llamamos a este tipo de funciones funciones definidas por partes.


Las funciones por partes están definidas por diferentes funciones a lo largo de los diferentes intervalos del dominio.

De hecho, aplicamos funciones por partes en nuestras vidas más de lo que pensamos. Los tramos impositivos, la estimación de nuestros planes de telefonía móvil e incluso nuestros salarios (con pago de horas extra) utilizan funciones por partes.


Es por eso que hemos asignado un artículo especial para esta función. En este artículo, aprenderá lo siguiente:

  • Definición de la función por partes.
  • Aprender a evaluar funciones definidas por partes a intervalos determinados.
  • Graficar e interpretar funciones por partes.

¿Qué es una función por partes?

Para comprender completamente qué son las funciones por partes y cómo podemos construir nuestras propias funciones definidas por partes, primero profundicemos en una comprensión más profunda de cómo funciona.

Definición de función por partes

Una función por partes es una función que se define mediante diferentes fórmulas o funciones para cada intervalo dado. También está en el nombre: pieza. La función es definido por piezas de funciones para cada parte del dominio.


2x, para x> 0

1, para x = 0

-2x, para x <0

Como se puede ver en el ejemplo que se muestra arriba, f (x) es una función por partes porque se define de forma única para los tres intervalos: x> 0, x = 0 y x <0.

¿Cómo leer funciones por partes?

Una vez que tenemos una función definida por partes, podemos interpretarla observando los intervalos dados. Si echamos un vistazo a nuestro ejemplo, podemos leerlo como:


  • Cuando x> 0, f (x) es igual a 2x.
  • Cuando x = 0, f (x) es igual a 1.
  • Cuando x <0, f (x) es igual a -2x.

Cuando se le presente un gráfico de función por partes, asegúrese de observar los intervalos dados donde f (x) tiene gráficos variados. Pero antes de probar ejemplos que involucran el análisis de gráficas de funciones por partes, sigamos adelante y aprendamos cómo podemos evaluar y graficar funciones por partes primero.

¿Cómo resolver funciones por partes?

Ahora que hemos aprendido sobre esta función única, ¿cómo nos aseguramos de devolver el valor correcto para la función dada x? A continuación, se incluyen algunos consejos para recordar al resolver y evaluar funciones por partes:

  • Vuelva a verificar dónde se encuentra x en el intervalo dado.
  • Evalúe el valor usando la función correspondiente.

Digamos que queremos encontrar f (8) usando la función por partes que hemos mostrado.


2x, para x> 0

1, para x = 0

-2x, para x <0

Dado que 8 es mayor que 0, la función que usaremos para evaluar f (8) is f (x) = 2x. Por lo tanto, tenemos f (8) = 2 (8) = 16. Esto también significa que f (-6) = -2 (-6) = 12 y f (0) = 1.

¿Cómo graficar funciones por partes?

Como mencionamos antes, las funciones por partes contienen diferentes funciones para cada uno de los intervalos dados. Esto significa que al graficar funciones por partes, esperar graficar diferentes funciones para cada intervalo también.

Aquí hay algunos recordatorios rápidos al graficar funciones por partes:

  • Ayuda a identificar cómo se vería cada función.
  • Para intervalos inclusivos (es decir, x ≥ 0), incluidos los puntos finales.
  • Para intervalos exclusivos (es decir, x <0), excluya los puntos finales utilizando puntos sin rellenar.

¿Cuáles son las funciones comunes que puede encontrar al graficar funciones por partes? Aquí hay algunos recursos, y no dude en consultar los enlaces para actualizar su conocimiento sobre algunos de los gráficos de uso común:


  • Funciones lineales como f (x) = 3x -1, y = 4x y más.
  • Funciones cuadráticas como y = -3x2 + 4x, f (x) = 2x2 - 1 y más.
  • Funciones cúbicas como f (x) = 4x3 + 1, y = -x3-1 y más.

Estas no son las únicas funciones que pueden usar las funciones por partes, así que asegúrese también de revisar la biblioteca de funciones de su libro de texto siempre que lo necesite. Intentemos graficar la función por partes dada en la primera sección.


2x, para x> 0

1, para x = 0

-2x, para x <0

Cuando x> 0 y x <0, f (x) devuelve una función lineal. Encuentre al menos dos pares de puntos que satisfagan cada función y utilícelos para construir las dos gráficas lineales.

Dado que ambas son desigualdades exclusivas, dejamos el punto en el origen sin rellenar. Ahora, nos quedamos con la condición cuando x = 0. Dado que el valor es constante en f (x) = 1, grafiquemos un punto en (0,1).

Este gráfico devuelve el gráfico final para la función por partes dada. En el gráfico, podemos ver que f (x) tiene un dominio de y un rango de (-∞, ∞) y [0, -∞), respectivamente.

Hemos cubierto todas las propiedades y técnicas esenciales que podemos usar con funciones por partes, ¡así que es hora de que verifiquemos nuestro conocimiento con estos ejemplos!

ejemplo 1

Evaluar la función por partes dada en los valores dados de x como se muestra a continuación.

√x, para x> 0

5, para x = 0


x / 6, para x <0

     una. f (-36)

     B. f (0)

     C. f (49)

Solución

  • Cuando x = -36 (o menor que 0), la expresión para f (x) is x / 6. Vamos a evaluar f (-36) usando la expresión. Por lo tanto, tenemos f (-36) = -36/6 = -6.
  • Cuando x = 0, f (x) es una constante. Esto significa que tenemos f (0) = 5.
  • Cuando x = 49 (y, en consecuencia, mayor 0), la expresión para f (x) is √x. Vamos a evaluar f (49) usando la expresión. Por lo tanto, tenemos f (49) = √49 = 7.

ejemplo 2

Grafique la función por partes que se muestra a continuación. Usando la gráfica, determina su dominio y rango.

2x, para x ≠ 0

1, para x = 0

Solución

Para todos los intervalos de x distintos de cuando es igual a 0, f (x) = 2x (que es una función lineal). Para graficar la función lineal, podemos usar dos puntos para conectar la línea. Solo asegúrate de que los dos puntos satisfagan y = 2x. Asegúrese de dejar el punto de origen sin rellenar.

Como f (x) = 1 cuando x = 0, trazamos un punto relleno en (0,1). El gráfico de arriba muestra el gráfico final de la función por partes.

Dado que la gráfica cubre todos los valores de x, el dominio sería todos los números reales o (-∞, ∞). El mismo razonamiento se aplica a la gama de funciones. Dado que se extiende en ambas direcciones, el el rango de la función es (-∞, ∞) en notación de intervalo.

ejemplo 3

Grafique la función por partes que se muestra a continuación. Usando la gráfica, determina su dominio y rango.

x2, para x ≤ 0

5, para 0 <x <2

x / 2, para x ≥ 2

Solución

Primero, analicemos los tres intervalos e identifiquemos cómo se vería la gráfica de la función:

  • Cuando x ≤ 0, f (x) se convierte en una función cuadrática con una parábola que pasa por el origen y (-2, 4). Dado que solo aplica para 0 y números negativos, solo tendremos la mitad de la parábola.
  • Cuando 0 <x <2, f (x) representará una constante que es una línea horizontal que pasa por y = 5. Asegúrese de dejar (0,5) y (2,5) sin llenar, ya que no forman parte de la solución.
  • Cuando x ≥ 2, f (x) es una función y pasará por (2, 1) y (6,3).

Usando esta información, ahora podemos graficar f (x).

La imagen de arriba desglosa los tres componentes de la función por partes. Sigamos adelante y simplifiquemos este gráfico ahora para que podamos analizarlo por su dominio y rango.

Dado que todos los valores de x se extienden en ambas direcciones, el dominio sería todos los números reales o (-∞, ∞). Dado que el gráfico solo cubre los valores de y por encima del eje x, el rango de la función es [0, ∞) en notación de intervalo.

ejemplo 4

La poesía hablada se lleva a cabo en un café cercano. Cobran $ 6 por persona por una mesa de 1 a 5 comensales. También ofrecen una tarifa fija de $ 50 por una mesa con 6 o más personas. Escribe una función que relacione el número de personas,x, y el costo de asistir al evento, f (x).

Solución

Sigamos adelante y analicemos el problema y encontremos la expresión de f (x) para cada intervalo:

  • Para una mesa de 1 a 5 invitados, podemos expresar eso como 1 ≤ x ≤ 5 en términos de x. Dado que a cada huésped le costaría $ 6, el total de x invitados es 6x.
  • Ahora, para una mesa con 6 o más personas, podemos expresar el intervalo como x ≥ 6. Para este intervalo, f (x) sí siempre será igual a 60.

Ahora podemos resumir esto en una función por partes:

6x, para 1 ≤ x ≤ 5

50, para x ≥ 6

Esta función por partes representa el costo de f (x) con x número de invitados.

Preguntas de práctica

1. Evalúe la función por partes dada en los valores dados de x como se muestra a continuación.

√ (x-1), para x> 0

5, para x = 0

x + 1, para x <0

     a. f (-8)

     b. f (0)

     c. f (63)

2. Evalúe la función por partes dada en los valores dados de x, como se muestra a continuación.

3x2, para x ≤ 0

4x - 6, para 0 <x <2

2x, para x ≥ 2

     a. f (-2)

     b. f (0.75)

     c. f (7)

3. Grafique la función por partes que se muestra a continuación. Usando la gráfica, determina su dominio y rango.

2x2, para x ≠ 0

8, para x = 0

4. Grafique la función por partes que se muestra a continuación. Usando la gráfica, determina su dominio y rango.

√ (-4x), para x ≤ 0

2x, para 0 <x <9

-x2, para x ≥ 9

5. Suponga que tiene un trabajo de verano que paga $ 12 por hora. Debe trabajar al menos 30 horas a la semana. La empresa paga el tiempo 1.5 veces su tarifa por hora por horas extra.

               una. Configure una función por partes que represente su pago semanal.
               B. Grafique la función por partes que ha configurado.
               C. ¿Cuánto ganaría si trabajara 48 horas esa semana?



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