🥇 Funciones principales: tipos, propiedades y ejemplos

Funciones principales: tipos, propiedades y ejemplos

Cuando trabaje con funciones y sus gráficos, notará cómo los gráficos de la mayoría de las funciones se parecen y siguen patrones similares. Esto se debe a que las funciones que comparten el mismo grado seguirán una curva similar y compartirán las mismas funciones principales.

Una función padre representa la forma más simple de una familia de funciones.

Esta definición resume perfectamente qué son las funciones principales. Usamos funciones padre para guiarnos en la representación gráfica de funciones que se encuentran en la misma familia. En este artículo, haremos lo siguiente:

Revise todas las funciones principales únicas (es posible que ya haya encontrado algunas antes).
Aprenda a identificar la función principal a la que pertenece una función.

Ser capaz de identificar y graficar funciones usando sus funciones principales puede ayudarnos a comprender mejor las funciones, entonces, ¿a qué estamos esperando?

name="-qu--es-una-funci-n-padre-">¿Qué es una función padre?

Ahora que entendemos lo importante que es para nosotros dominar los diferentes tipos de funciones principales, comencemos primero a comprender qué son las funciones principales y cómo sus familias de funciones se ven afectadas por sus propiedades.

name="definici-n-de-funci-n-principal">Definición de función principal

Las funciones principales son las forma más simple de una familia de funciones dada. Una familia de funciones es un grupo de funciones que comparten el mismo grado más alto y, en consecuencia, la misma forma para sus gráficos.

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El gráfico de arriba muestra cuatro gráficos que exhiben el gráfico en forma de U que llamamos parábola. Dado que todos comparten el mismo grado más alto de dos y la misma forma, podemos agruparlos como una familia de funciones. ¿Puedes adivinar a qué familia pertenecen?

Estas cuatro son todas funciones cuadráticas y su forma más simple sería y = x2. Por tanto, la función padre de esta familia es y = x2.

Dado que las funciones padre son la forma más simple de un grupo dado de funciones, pueden darle una idea inmediata de cómo se vería una función dada de la misma familia.

name="-cu-les-son-los-diferentes-tipos-de-funciones-padre-">¿Cuáles son los diferentes tipos de funciones padre?

Ahora es el momento de actualizar nuestro conocimiento sobre funciones y también aprender sobre nuevas funciones. Como hemos mencionado, familiarizarnos con las funciones principales conocidas nos ayudará a comprender y graficar funciones mejor y más rápido.

¿Por qué no comenzamos con los que quizás ya hayamos aprendido en el pasado?

Las primeras cuatro funciones padre involucran polinomios con grados crecientes. Observemos cómo se comportan sus gráficas y tomemos nota del dominio y rango de las respectivas funciones padre.

name="funciones-constantes">Funciones constantes

Las funciones constantes son funciones que están definidas por su respectiva constante, c. Todas las funciones constantes tendrán una línea horizontal como gráfico y solo contendrán una constante como término.

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Todas las funciones constantes tendrán todos los números reales como su dominio e y = c como su rango. También cada uno tiene una intersección con el eje y en (0, c).

El movimiento de un objeto cuando está en reposo es un buen ejemplo de función constante.

name="funciones-lineales">Funciones lineales

Las funciones lineales tienen x como el término con el grado más alto y una forma general de y = a + bx. Todas las funciones lineales tienen un línea recta como un gráfico.

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El función madre de funciones lineales es y = x, y pasa por el origen. El dominio y rango de todas las funciones lineales son todos los números reales.

Estas funciones representan relaciones entre dos objetos que son linealmente proporcionales entre sí.

name="funciones-cuadr-ticas">Funciones cuadráticas

Las funciones cuadráticas son funciones con 2 como su grado más alto. Todas las funciones cuadráticas devuelven un parábola como su gráfico. Como se discutió en la sección anterior, las funciones cuadráticas tienen y = x2 como su función padre.

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El vértice de la función madre y = x2 se encuentra en el origen. También tiene un dominio de todos los números reales y un rango de [0, ∞). Observe que esta función aumenta cuando x es positivo y disminuye mientras x es negativo.

Una buena aplicación de las funciones cuadráticas es el movimiento de proyectiles. Podemos observar el movimiento del proyectil de un objeto graficando la función cuadrática que lo representa.

name="funciones-c-bicas">Funciones cúbicas

Pasemos a la función padre de los polinomios con 3 como su grado más alto. Las funciones cúbicas comparten un función madre de y = x3. Esta función es aumentando en todo su dominio.

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Al igual que con las dos funciones principales anteriores, la gráfica de y = x3 también pasa por el origen. Su el dominio y el rango son ambos (-∞, ∞) o todos los números reales también.

name="funciones-de-valor-absoluto">Funciones de valor absoluto

La función principal de las funciones de valor absoluto es y = |x|. Como se muestra en el gráfico de la función principal, se espera que las funciones de valor absoluto devolver gráficos en forma de V.

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El vértice de y = | x | también se encuentra en el origen. Dado que se extiende en ambos extremos del eje x, y = | x | tiene un dominio en (-∞, ∞). Los valores absolutos nunca pueden ser negativos, por lo que la función principal tiene un rango de [0, ∞).

Usamos funciones de valor absoluto para resaltar que el valor de una función siempre debe ser positivo.

name="funciones-radicales">Funciones radicales

Las dos funciones radicales más comúnmente utilizadas son las funciones de raíz cuadrada y raíz cúbica.

La función padre de una función de raíz cuadrada es y = √x. Su gráfico muestra que sus valores x e y nunca pueden ser negativos.

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Esto significa que el dominio y rango de y = √x son ambos [0, ∞). El punto de partida o vértice de la función padre también es encontrado en el origen. La función padre y = √x también es aumentando en todo su dominio.

Estudiemos ahora la función padre de las funciones de raíz cúbica. Similar a la función de raíz cuadrada, su la función padre se expresa como y = ∛x.

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El gráfico muestra que la función padre tiene un dominio y rango de (-∞, ∞). También podemos ver que y = ∛x es aumentando en todo su dominio.

name="funciones-exponenciales">Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son funciones que tienen expresiones algebraicas en su exponente. Su la función padre se puede expresar como y = bx, donde b puede ser cualquier constante distinta de cero. El gráfico de la función padre, y = ex, se muestra a continuación, y a partir de él, podemos ver que nunca será igual a 0.

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Y cuando x = 0, y pasa por el eje y en y = 1. También podemos ver que la función padre nunca se encuentra debajo del eje y, por lo que su rango es (0, ∞). Sus dominio, sin embargo, pueden ser todos números reales. También podemos ver que esta función es aumentando en todo su dominio.

Una de las aplicaciones más comunes de las funciones exponenciales es modelar el crecimiento de la población y el interés compuesto.

name="funciones-logar-tmicas">Funciones logarítmicas

Las funciones logarítmicas son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Su función padre se puede expresar como y = logb x, donde b es una constante positiva distinta de cero. Observemos el gráfico cuando b = 2.

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Como la función exponencial, podemos ver que x nunca puede ser menor o igual a cero para y = log2x. Por eso, su dominio es (0, ∞). Su el rango, sin embargo, contiene todos los números reales. También podemos ver que esta función es aumentando en todo su dominio.

Usamos funciones logarítmicas para modelar fenómenos naturales como la magnitud de un terremoto. También lo aplicamos al calcular la tasa de desintegración de la vida media en física y química.

name="funciones-rec-procas">Funciones recíprocas

Las funciones recíprocas son funciones que contienen un numerador constante yx como denominador. Su función principal es y = 1/x.

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Como puede verse en su gráfico, tanto x como y nunca pueden ser iguales a cero. Esto significa que su el dominio y el rango son (-∞, 0) U (0, ∞). También podemos ver que la función es disminuyendo a lo largo de su dominio.

Hay muchas otras funciones principales a lo largo de nuestro viaje con funciones y gráficos, pero estas ocho funciones principales son las del funciones más utilizadas y discutidas.

Incluso puede resumir lo que ha aprendido hasta ahora creando una tabla que muestre todas las propiedades de las funciones principales.

name="-c-mo-encontrar-la-funci-n-principal-">¿Cómo encontrar la función principal?

¿Qué pasa si nos dan una función o su gráfica y necesitamos identificar su función principal? Podemos hacer esto recordando las propiedades importantes de cada función e identificando cuál de los gráficos principales que hemos discutido coincide con el dado.

Aquí hay algunas preguntas guía que pueden ayudarnos:

¿Cuál es el grado más alto de la función?
¿Contiene una raíz cuadrada o una raíz cúbica?
¿La función se encuentra en el exponente o denominador?
¿La gráfica de la función aumenta o disminuye?
¿Cuál es el dominio o rango de la función?

Si podemos responder algunas de estas preguntas mediante inspección, podremos deducir nuestras opciones y, finalmente, identificar la función principal.

Probemos con f (x) = 5 (x - 1) 2. Podemos ver que el el grado más alto de f (x) es 2, entonces sabemos que esta función es una función cuadrática. Por eso, su función madre es y = x2.

¿Por qué no graficamos f (x) y también confirmamos nuestra respuesta?

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En la gráfica, podemos ver que forma una parábola, lo que confirma que su función madre es y = x2.

Revise las primeras secciones de este artículo y sus propias notas, luego intentemos algunas preguntas para verificar nuestro conocimiento sobre las funciones principales.

ejemplo 1

Los gráficos de las cinco funciones se muestran a continuación. ¿Cuál de las siguientes funciones no pertenece a la familia de funciones dada?

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Solución

Las funciones representadas por los gráficos A, B, C y E comparten una forma similar, pero se traducen hacia arriba o hacia abajo. De hecho, estas funciones representan una familia de funciones exponenciales. Esto significa que también todos comparten una función principal común: y = bx.

Por otro lado, la gráfica de D representa una función logarítmica, por lo que D no pertenece al grupo de funciones exponenciales.

ejemplo 2

¿Cuál de las siguientes funciones no pertenece a la familia de funciones dada?

y = 5x2
y = -2x2 + 3x – 1
y = x(3x2)
y = (x – 1)(x + 1)

Solución

La función y = 5x2 tiene el grado más alto de dos, por lo que es una función cuadrática. Esto significa que su función padre es y = x2. Lo mismo ocurre con y = -2x2 + 3x - 1. A partir de esto, podemos confirmar que estamos ante una familia de funciones cuadráticas.

Aplicando la diferencia de cuadrados perfectos en la cuarta opción, tenemos y = x2 - 1. Esta también es una función cuadrática. Eso nos deja con la tercera opción.

Cuando se expande, y = x (3x2) se convierte en y = 3x3, y esto muestra que tiene 3 como su grado más alto. Por lo tanto, no puede ser parte de la familia de funciones dada.

ejemplo 3

Identifica la función padre de las siguientes funciones según sus gráficas. Defina también el dominio y el rango de cada función.

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Solución

Comencemos con f (x). Podemos ver que tiene una parábola para su gráfica, entonces podemos decir que f (x) es una función cuadrática.

Esto significa que f (x) tiene un función madre de y = x2.
La gráfica se extiende a ambos lados de x, por lo que tiene una dominio de (-∞, ∞).
La parábola nunca va por debajo del eje x, por lo que tiene un rango de [0, ∞).

Con base en la gráfica, podemos ver que los valores xey de g (x) nunca serán negativos. También muestran una curva creciente que se asemeja a la gráfica de una función de raíz cuadrada.

Por lo tanto, la función madre de g (x) es y = √x.
La gráfica se extiende al lado derecho de x y nunca es menor que 2, por lo que tiene un dominio de [2, ∞).
La parábola nunca va por debajo del eje x, por lo que tiene un rango de [0, ∞).

La gráfica h (x) muestra que sus valores xey nunca serán iguales a 0. Las curvas simétricas también se ven como la gráfica de funciones recíprocas.

Esto significa que h (x) tiene una función madre de y = 1 / x.
Siempre que xey nunca sean iguales a cero, h (x) sigue siendo válido, por lo que tiene un dominio y rango de (-∞, ∞).

Las líneas rectas que representan i (x) indican que es una función lineal.

Tiene una función principal de y = x.
La gráfica se extiende a ambos lados de xey, por lo que tiene una dominio y rango de (-∞, ∞).

ejemplo 4

Identifique la función padre de las siguientes funciones.

f (x) = x3 - 2x + 1
g (x) = 3√x + 1
h (x) = 4 / x
yo (x) = ex + 1

Solución

El grado más alto de f (x) es 3, por lo que es una función cúbica. Esto significa que tiene un función madre de y = x3.
La función g (x) tiene una expresión radical, 3√x. Dado que tiene un término con raíz cuadrada, la función es una función de raíz cuadrada y tiene una función principal de y = √x.
Podemos ver que x se encuentra en el denominador de h (x), por lo que es recíproco. Por tanto, su función padre es y = 1/x.
Los exponentes de la función contienen x, por lo que esto solo nos dice que i (x) es una función exponencial. Por tanto, su función madre se puede expresar como y = bx, donde b es una constante. Para el caso de i (x), tenemos y = ex como su función principal.