Puede generar un triple pitagórico usando una fórmula. La prueba de por qué la siguiente fórmula funciona todo el tiempo está más allá del alcance de esta lección. Para nuestros propósitos, llamemos a esto la "Fórmula triple pitagórica".
Solo un poco de precaución, esta fórmula puede generar un triple pitagórico primitivo o un triple pitagórico imprimitivo. Recuerde que el primero es un Triple Pitágoras donde el Máximo Común Factor es igual a 1, mientras que el segundo tiene un MCD mayor que 1.
La triple fórmula pitagórica
Algunas observaciones sobre la fórmula:
- Las variables myn son números enteros positivos. Sin embargo, el entero positivo m es mayor que el entero positivo n, es decir, m> n.
- Ambos usamos los valores de myn para calcular las longitudes de los lados del triángulo rectángulo ABC que se componen de los dos catetos ayb, y el lado más largo también conocido como hipotenusa, representado por la letra c.
- El valor o la longitud del lado a se calcula hallando la diferencia de los cuadrados de my n. Podemos expresarlo en la forma de la ecuación como a = {m ^ 2} - {n ^ 2}.
- La longitud del lado b se calcula duplicando el producto de my n. En la forma de la ecuación, tenemos b = 2mn.
- Finalmente, la longitud del lado c se calcula obteniendo la suma de los cuadrados de my n. Esto simplemente se puede escribir en la ecuación como c = {n ^ 2} + {m ^ 2}.
Ejemplos de generación de triples pitagóricos
Ejemplo 1: Genere un triple pitagórico usando los dos números enteros 1 y 2.
Primero, observe que es posible generar un Triple Pitagórico con enteros 1 y 2 porque ambos son enteros positivos y uno es más grande que el otro. Dejaremos que m sea igual a 2 mientras que n sea igual a 1 porque m debería ser mayor que n según las condiciones anteriores.
Dado que ahora sabemos cuáles son los valores de m y n, es hora de sustituir esos valores en las fórmulas de a, byc para obtener los lados del triángulo rectángulo.
- Resolviendo para:
- Resolviendo para b:
- Resolviendo para c:
Comprobemos si nuestros valores para a = 3, b = 4 y c = 5 satisfacen la ecuación triple de Pitágoras, que es {a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2}
¡Sí lo hace! Por lo tanto, (3,4,5) es un triple pitagórico.
Ejemplo 2: Usa los enteros 3 y 5 para generar un triple pitagórico. ¿Es el triple generado un triple pitagórico primitivo o imprimitivo?
El problema anterior requiere que hagamos dos cosas. Primero, genere un triple pitagórico usando los números enteros 3 y 5. En segundo lugar, necesitamos averiguar si el triple generado es primitivo o imprimitivo.
Echa un vistazo a mi lección sobre cómo saber si un triple pitagórico es primitivo o imprimitivo.
◉ Primera parte:
Dado que 5 es mayor que 3, tenemos m = 5 y n = 3. Resolviendo para a, byc, tenemos:
a = {m ^ 2} - {n ^ 2}
a = {(5) ^ 2} - {(3) ^ 2}
a = 25 - 9
a = 16
b = 2 millones
b = 2izquierda (5 derecha) izquierda (3 derecha)
b = 30
c = {n ^ 2} + {m ^ 2}
c = {izquierda (3 derecha) ^ 2} + {izquierda (5 derecha) ^ 2}
c = 9 + 25
c = 34
Al verificar con la fórmula requerida, verificamos que efectivamente (16, 30, 34) es un triple pitagórico.
◉ Segunda parte:
Ahora, queremos saber si nuestro Triple Pitagórico generado es primitivo o imprimitivo.
Recuerde que un triple pitagórico es primitivo si los tres enteros tienen un factor común de SOLO 1.
De lo contrario, no es primitivo (imprimitivo) ya que tiene un factor común DISTINTOS DE 1.
Mediante una rápida inspección, el Pitágoras Triple, (16, 30, 34), contiene todos los números pares. Eso significa que tiene un factor distinto de 1 porque todos los números enteros son divisibles por 2. En otras palabras, el triplete en cuestión tiene más de 1 factores comunes. Por lo tanto, (16, 30, 34) es un triple pitagórico imprimitivo.
Ejemplo 3: ¿Cuál es el triple pitagórico generado por los enteros? 3 y 10 ? ¿El triplete generado es primitivo o no primitivo?
Dado que 10> 3 entonces m = 10 y n = 3 porque el entero m debe ser mayor que el entero n.
En este punto, ya debería estar familiarizado con la fórmula. Resolvamos entonces para a, by c.
- Computación para:
- Resolviendo para b:
- Calculando para c:
Verificando los valores de a, byc con la triple ecuación de Pitágoras que es
izquierda ({a, b, c} derecha) {a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2}tenemos,
izquierda ({91,60,109} derecha) {91 ^ 2} + {60 ^ 2} = {109 ^ 2} {91 ^ 2} + {60 ^ 2} = {109 ^ 2} {8,281} + {3,600} = {11,881} {11,881} = {11,881}¡Sí! Comprueba. Significa que la izquierda ({91,60,109} derecha) es de hecho un triple pitagórico.
Mediante una inspección rápida, podemos decir que los números enteros 90, 60, 109 tener un máximo divisor común de 1 lo que lo convierte en un triple pitagórico primitivo.
