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    Generando triples pitagóricos usando una fórmula

    Quien soy
    Joel Fulleda
    @joelfulleda

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    Generando triples pitagóricos usando una fórmula

    Puede generar un triple pitagórico usando una fórmula. La prueba de por qué la siguiente fórmula funciona todo el tiempo está más allá del alcance de esta lección. Para nuestros propósitos, llamemos a esto la "Fórmula triple pitagórica".

    Solo un poco de precauci√≥n, esta f√≥rmula puede generar un triple pitag√≥rico primitivo o un triple pitag√≥rico imprimitivo. Recuerde que el primero es un Triple Pit√°goras donde el M√°ximo Com√ļn Factor es igual a 1, mientras que el segundo tiene un MCD mayor que 1.



    La triple fórmula pitagórica

    Algunas observaciones sobre la fórmula:


    • Las variables myn son n√ļmeros enteros positivos. Sin embargo, el entero positivo m es mayor que el entero positivo n, es decir, m> n.
    • Ambos usamos los valores de myn para calcular las longitudes de los lados del tri√°ngulo rect√°ngulo ABC que se componen de los dos catetos ayb, y el lado m√°s largo tambi√©n conocido como hipotenusa, representado por la letra c.
    • El valor o la longitud del lado a se calcula hallando la diferencia de los cuadrados de my n. Podemos expresarlo en la forma de la ecuaci√≥n como a = {m ^ 2} - {n ^ 2}.
    • La longitud del lado b se calcula duplicando el producto de my n. En la forma de la ecuaci√≥n, tenemos b = 2mn.
    • Finalmente, la longitud del lado c se calcula obteniendo la suma de los cuadrados de my n. Esto simplemente se puede escribir en la ecuaci√≥n como c = {n ^ 2} + {m ^ 2}.

    Ejemplos de generación de triples pitagóricos

    Ejemplo 1: Genere un triple pitag√≥rico usando los dos n√ļmeros enteros 1 y 2.


    Primero, observe que es posible generar un Triple Pitag√≥rico con enteros 1 y 2 porque ambos son enteros positivos y uno es m√°s grande que el otro. Dejaremos que m sea igual a 2 mientras que n sea igual a 1 porque m deber√≠a ser mayor que n seg√ļn las condiciones anteriores.

    Dado que ahora sabemos cuáles son los valores de m y n, es hora de sustituir esos valores en las fórmulas de a, byc para obtener los lados del triángulo rectángulo.


    • Resolviendo para:
    • Resolviendo para b:
    • Resolviendo para c:

    Comprobemos si nuestros valores para a = 3, b = 4 y c = 5 satisfacen la ecuación triple de Pitágoras, que es {a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2}



    ¡Sí lo hace! Por lo tanto, (3,4,5) es un triple pitagórico.

    Ejemplo 2: Usa los enteros 3 y 5 para generar un triple pitag√≥rico. ¬ŅEs el triple generado un triple pitag√≥rico primitivo o imprimitivo?

    El problema anterior requiere que hagamos dos cosas. Primero, genere un triple pitag√≥rico usando los n√ļmeros enteros 3 y 5. En segundo lugar, necesitamos averiguar si el triple generado es primitivo o imprimitivo.

    Echa un vistazo a mi lección sobre cómo saber si un triple pitagórico es primitivo o imprimitivo.

    ‚óČ Primera parte:

    Dado que 5 es mayor que 3, tenemos m = 5 y n = 3. Resolviendo para a, byc, tenemos:

    a = {m ^ 2} - {n ^ 2}
    a = {(5) ^ 2} - {(3) ^ 2}
    a = 25 - 9
    a = 16

    b = 2 millones
    b = 2izquierda (5 derecha) izquierda (3 derecha)
    b = 30

    c = {n ^ 2} + {m ^ 2}
    c = {izquierda (3 derecha) ^ 2} + {izquierda (5 derecha) ^ 2}
    c = 9 + 25
    c = 34


    Al verificar con la fórmula requerida, verificamos que efectivamente (16, 30, 34) es un triple pitagórico.

    ‚óČ Segunda parte:

    Ahora, queremos saber si nuestro Triple Pitagórico generado es primitivo o imprimitivo.

    Recuerde que un triple pitag√≥rico es primitivo si los tres enteros tienen un factor com√ļn de SOLO 1.

    De lo contrario, no es primitivo (imprimitivo) ya que tiene un factor com√ļn DISTINTOS DE 1.

    Mediante una r√°pida inspecci√≥n, el Pit√°goras Triple, (16, 30, 34), contiene todos los n√ļmeros pares. Eso significa que tiene un factor distinto de 1 porque todos los n√ļmeros enteros son divisibles por 2. En otras palabras, el triplete en cuesti√≥n tiene m√°s de 1 factores comunes. Por lo tanto, (16, 30, 34) es un triple pitag√≥rico imprimitivo.

    Ejemplo 3: ¬ŅCu√°l es el triple pitag√≥rico generado por los enteros? 3 y 10 ? ¬ŅEl triplete generado es primitivo o no primitivo?

    Dado que 10> 3 entonces m = 10 y n = 3 porque el entero m debe ser mayor que el entero n.

    En este punto, ya debería estar familiarizado con la fórmula. Resolvamos entonces para a, by c.

    • Computaci√≥n para:
    • Resolviendo para b:
    • Calculando para c:

    Verificando los valores de a, byc con la triple ecuación de Pitágoras que es

    izquierda ({a, b, c} derecha) {a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2}

    tenemos,

    izquierda ({91,60,109} derecha) {91 ^ 2} + {60 ^ 2} = {109 ^ 2} {91 ^ 2} + {60 ^ 2} = {109 ^ 2} {8,281} + {3,600} = {11,881} {11,881} = {11,881}

    ¡Sí! Comprueba. Significa que la izquierda ({91,60,109} derecha) es de hecho un triple pitagórico.

    Mediante una inspecci√≥n r√°pida, podemos decir que los n√ļmeros enteros 90, 60, 109 tener un m√°ximo divisor com√ļn de 1 lo que lo convierte en un triple pitag√≥rico primitivo.



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