GEORG CANTOR - EL HOMBRE QUE FUNDÓ LA TEORÍA DEL SET
Biografía
El Alemán Georg Cantor fue un violinista sobresaliente, pero un matemático aún más sobresaliente. Nació en San Petersburgo, Rusia, donde vivió hasta los once años. A partir de entonces, la familia se mudó a Alemania y Cantor recibió su educación restante en Darmstradt, Zürich, Berlín y (casi inevitablemente) Gotinga antes de casarse y establecerse en la Universidad de Halle, donde pasaría el resto de su carrera.
Fue nombrado profesor titular en Halle a la edad de 34 años, un logro notable, pero sus ambiciones de mudarse a una universidad más prestigiosa, como Berlín, se vieron frustradas en gran medida por Leopold Kronecker, una figura bien establecida dentro de la comunidad matemática y Exprofesor de Cantor, quien fundamentalmente no estaba de acuerdo con la idea central del trabajo de Cantor.
Significado del infinito
Los primeros diez artículos de Cantor fueron sobre teoría de números, después de lo cual centró su atención en el cálculo (o análisis, como se conocía en ese momento), resolviendo un difícil problema abierto sobre la unicidad de la representación de una función mediante series trigonométricas. Su principal legado, sin embargo, es tal vez el primer matemático en comprender realmente el significado del infinito y darle precisión matemática.
Ya en el siglo XVII, Galileo había intentado confrontar la idea del infinito y las aparentes contradicciones que arrojaban las comparaciones de diferentes infinitos, pero al final se apartó del problema.
Había demostrado que se podía trazar una correspondencia uno a uno entre todos los números naturales y los cuadrados de todos los números naturales hasta el infinito, sugiriendo que había tantos números cuadrados como enteros, aunque intuitivamente era obvio que había tantos números cuadrados como enteros. muchos enteros que no eran cuadrados, un concepto que llegó a conocerse como La paradoja de Galileo.
También ha señalado que dos círculos concéntricos deben estar compuestos por un número infinito de puntos, aunque el círculo más grande parecería contener más puntos. Sin embargo, Galileo esencialmente había esquivado el problema y concluyó a regañadientes que conceptos como menor, igual y mayor solo podían aplicarse a conjuntos finitos de números, y no a conjuntos infinitos. Cantor, sin embargo, no se conformó con este compromiso.
El punto de partida de Cantor fue decir que, si fuera posible sumar 1 y 1, o 25 y 25, etc., entonces debería ser posible sumar infinito e infinito. Se dio cuenta de que en realidad era posible sumar y restar infinitos, y que más allá de lo que normalmente se consideraba infinito existía otro infinito más grande, y luego otros infinitos más allá de eso. De hecho, demostró que puede haber un número infinito de conjuntos de números infinitos, una infinidad de infinitos, algunos más grandes que otros, un concepto que claramente tiene un significado filosófico, así como simplemente matemático. La pura audacia de la teoría de Cantor desencadenó una revolución silenciosa en la comunidad matemática y cambió para siempre la forma en que se abordan las matemáticas.
Sus primeras insinuaciones de todo esto llegaron a principios de la década de 1870 cuando consideró una serie infinita de números naturales (1, 2, 3, 4, 5, ...), y luego una serie infinita de múltiplos de diez (10, 20, 30, 40, 50,…). Se dio cuenta de que, aunque los múltiplos de diez eran claramente un subconjunto de los números naturales, las dos series podían emparejarse uno a uno (1 con 10, 2 con 20, 3 con 30, etc.). un proceso conocido como biyección - para mostrar que eran del mismo "tamaño" de conjuntos infinitos, en el sentido de que tenían el mismo número de elementos.
Esto claramente también se aplica a otros subconjuntos de los números naturales, como los números pares 2, 4, 6, 8, 10, etc., o los cuadrados 1, 4, 9, 16, 25, etc., e incluso al conjunto de números negativos y enteros. De hecho, Cantor se dio cuenta de que podía, de la misma manera, incluso emparejar todas las fracciones (o números racionales) con todos los números enteros, mostrando así que los números racionales también eran el mismo tipo de infinito que los números naturales, a pesar de la sentimiento intuitivo de que debe haber más fracciones que números enteros.
Argumento diagonal de Cantor
Sin embargo, cuando Cantor consideró una serie infinita de números decimales, que incluye números irracionales como π, ey √2, este método se rompió. Usó varios argumentos ingeniosos (uno es el "argumento diagonal" explicado en el cuadro de la derecha) para mostrar cómo siempre era posible construir un nuevo número decimal que faltaba en la lista original, y así demostró que el infinito del decimal números (o, técnicamente, números reales) era de hecho más grande que la infinidad de números naturales.
Aleph nulo o Aleph nada
También demostró que estaban “no numerable"O"incontable”(Es decir, contenía más elementos de los que jamás se podrían contar), a diferencia del conjunto de números racionales que había demostrado que eran técnicamente (aunque no prácticamente)“ numerables ”o“ contables ”. De hecho, se puede argumentar que hay un número infinito de números irracionales entre todos y cada uno de los números racionales. Los decimales sin patrón de los números irracionales llenan los "espacios" entre los patrones de los números racionales.
Cantor acuñó la nueva palabra "transfinito”En un intento de distinguir estos varios niveles de números infinitos de un infinito absoluto, que el cantor religioso efectivamente equiparó con Dios (no vio ninguna contradicción entre sus matemáticas y el concepto tradicional de Dios). Aunque la cardinalidad (o tamaño) de un conjunto finito es solo un número natural que indica el número de elementos en el conjunto, también necesitaba una nueva notación para describir los tamaños de conjuntos infinitos, y usó la letra hebrea aleph (
). Él definió
0 (aleph-null o aleph-nught) como la cardinalidad del conjunto infinito numerable de números naturales;
1 (aleph-uno) como la siguiente cardinalidad más grande, la del conjunto incontable de números ordinales; etc. Debido a las propiedades únicas de los conjuntos infinitos, demostró que
0 +
0 =
0, y también que
0 x
0 =
0.
Todo esto representó un paso revolucionario y abrió nuevas posibilidades en matemáticas. Sin embargo, también abrió la posibilidad de otros infinitos, por ejemplo, un infinito, o incluso muchos infinitos, entre el infinito de los números enteros y el mayor infinito de los números decimales. Esta idea se conoce como la hipótesis del continuo, y Cantor creía (pero en realidad no pudo probar) que NO había tal conjunto infinito intermedio. La hipótesis del continuo fue uno de los 23 problemas abiertos importantes identificados por David Hilbert en su famosa conferencia de París de 1900, y permaneció sin probar, y de hecho parecía no demostrable, durante casi un siglo, hasta la obra de Paul Cohen en la década de 1960.
Sin embargo, igualmente importante, este trabajo de Cantor entre 1874 y 1884 marca el origen real de la teoría de conjuntos, que desde entonces se ha convertido en una parte fundamental de las matemáticas modernas, y sus conceptos básicos se utilizan en todas las diversas ramas de las matemáticas. Aunque el concepto de conjunto se había utilizado implícitamente desde los inicios de las matemáticas, desde las ideas de Aristóteles, se limitaba a los conjuntos finitos cotidianos. En contraposición, el "infinito" se mantuvo bastante separado y se consideró en gran medida un tema de discusión filosófica, más que matemática. Cantor, sin embargo, demostró que, así como había diferentes conjuntos finitos, podría haber infinitos conjuntos de diferentes tamaños, algunos de los cuales son contables y otros incontables.
A lo largo de las décadas de 1880 y 1890, perfeccionó su teoría de conjuntos, definió conjuntos bien ordenados y conjuntos de potencia e introdujo los conceptos de ordinalidad y cardinalidad y la aritmética de conjuntos infinitos. Lo que ahora se conoce como teorema de Cantor establece generalmente que, para cualquier conjunto A, el conjunto de potencias de A (es decir, el conjunto de todos los subconjuntos de A) tiene una cardinalidad estrictamente mayor que A en sí mismo. Más específicamente, el conjunto de poder de un conjunto infinito numerable es infinito incontable.
A pesar de la posición central de la teoría de conjuntos en las matemáticas modernas, a menudo otros matemáticos de la época desconfiaban de ella y la entendían mal. Una cita, generalmente atribuida a Henri Poincaré, afirmaba que “las generaciones posteriores considerarán a Mengenlehre (teoría de conjuntos) como una enfermedad de la que uno se ha recuperado”. Otros, sin embargo, se apresuraron a ver el valor y el potencial del método, y David Hilbert declaró en 1926 que “nadie nos echará del paraíso que Cantor ha creado”.
Cantor tenía pocos otros matemáticos con los que pudiera discutir su obra pionera, y la mayoría estaban claramente desconcertados por su contemplación del infinito. Durante la década de 1880, encontró resistencia, a veces feroz resistencia, de contemporáneos matemáticos como su antiguo profesor Leopold Kronecker y Henri Poincaré, así como de filósofos como Ludwig Wittgenstein e incluso de algunos teólogos cristianos, que veían el trabajo de Cantor como un desafío a su vista de la naturaleza de Dios. El propio Cantor, un hombre profundamente religioso, notó algunas paradojas molestas provocadas por su propio trabajo, pero algunos fueron más allá y lo vieron como la destrucción deliberada de la base lógica y comprensible en la que se basaba toda la matemática.
A medida que envejecía, Cantor sufría cada vez más recurrencias de enfermedades mentales, que algunos han relacionado directamente con su constante contemplación de conceptos tan complejos, abstractos y paradójicos. En las últimas décadas de su vida, no hizo ningún trabajo matemático, pero escribió extensamente sobre sus dos obsesiones: que las obras de Shakespeare fueron escritas en realidad por el filósofo inglés Sir Francis Bacon, y que Cristo era el hijo natural de José de Arimatea. Pasó largas temporadas en el sanatorio de Halle recuperándose de ataques de depresión maníaca y paranoia, y fue allí, solo en su habitación, donde finalmente murió en 1918, su gran proyecto aún inconcluso.
