Graficar ecuaciones lineales requiere el uso de información sobre líneas, incluidas pendientes, intersecciones y puntos, para convertir una descripción matemática o verbal en una representación de una línea en el plano de coordenadas.
Aunque hay muchas formas de hacer esto, este artículo se enfocará en cómo usar la forma pendiente-intersección para graficar una línea. Si necesita un repaso sobre ecuaciones lineales o gráficas, asegúrese de revisar antes de seguir adelante con esta sección.
name="c-mo-graficar-ecuaciones-lineales">Cómo graficar ecuaciones lineales
Recuerde que cualquier línea se puede definir por dos puntos. Por lo tanto, para graficar una línea, solo necesitamos encontrar dos puntos y conectarlos.
Dado que las líneas continúan indefinidamente, una representación gráfica generalmente incluirá un segmento de línea con flechas en ambos extremos para mostrar que la línea continúa infinitamente en ambas direcciones.
También podemos graficar la línea si conocemos un punto y la pendiente. En particular, la pendiente nos ayudará a encontrar el segundo punto necesario para trazar la línea.
name="c-mo-encontrar-la-pendiente-de-una-ecuaci-n-lineal">Cómo encontrar la pendiente de una ecuación lineal
A menudo, se nos da una ecuación lineal y se nos pide que grafiquemos la línea a partir de ella. En este caso, necesitaremos usar la ecuación para encontrar la pendiente y un punto en la línea.
El proceso para encontrar la pendiente de una línea basado en una ecuación lineal depende del tipo de ecuación lineal presentada.
name="formulario-de-intercepci-n-de-pendiente"> name="formulario-de-intercepci-n-de-pendiente">Formulario de intercepción de pendiente
La forma pendiente-intersección facilita encontrar la pendiente de una línea. Recuerda que cualquier ecuación lineal en forma pendiente-intersección se ve así:
En esta ecuación, m es la pendiente de la línea y b es la intersección con el eje y. Por lo tanto, podemos leer la pendiente encontrando el coeficiente de x.
name="forma-punto-pendiente"> name="forma-punto-pendiente">Forma punto-pendiente
También es sencillo encontrar la pendiente de una línea cuando la ecuación lineal para ella está en forma de punto-pendiente. Recuerde que una ecuación lineal en forma de punto-pendiente se ve así:
En esta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) es cualquier punto de la línea. Por lo tanto, podemos volver a encontrar la pendiente fácilmente al encontrar el número delante del paréntesis abierto.
name="forma-est-ndar"> name="forma-est-ndar">Forma estándar
Encontrar la pendiente a partir de la forma estándar requiere un poco más de manipulación algebraica. Recuerde que una ecuación escrita en forma estándar se ve así:
En esta ecuación, A es positivo y A, B y C son números enteros.
Convirtamos esta ecuación a la forma pendiente-intersección para encontrar la pendiente. Podemos hacer esto resolviendo para y.
Ahora, esta ecuación está en forma pendiente-intersección. Por tanto, la pendiente es -A / B.
name="c-mo-encontrar-la-intersecci-n-de-una-ecuaci-n-lineal">Cómo encontrar la intersección de una ecuación lineal
Si conocemos la pendiente de una línea, podemos graficarla una vez que encontremos un punto. A menudo, el punto más fácil de usar es la intersección con el eje y, que es el lugar donde la línea cruza el eje y. Siempre será de la forma (0, b), donde b es un número real.
Si la intersección con el eje y no está clara, podemos usar un punto diferente siempre que sepamos la pendiente.
name="formulario-de-intercepci-n-de-pendiente"> name="formulario-de-intercepci-n-de-pendiente">Formulario de intercepción de pendiente
Si nos dan la forma pendiente-intersección de la ecuación de una línea, tenemos suerte. Es muy fácil encontrar la intersección con el eje y de la forma pendiente-intersección. Como se mencionó anteriormente, la forma pendiente-intersección es:
donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y. Es decir, ¡cualquier término de la ecuación que no tenga una variable es la intersección con el eje y!
name="forma-punto-pendiente"> name="forma-punto-pendiente">Forma punto-pendiente
La forma punto-pendiente nos dice la pendiente de una línea y un punto en ella. A veces, este punto es la intersección con el eje y, pero a veces no lo es.
Más a menudo, tiene sentido manipular algebraicamente la forma punto-pendiente y convertirla en forma pendiente-intersección. Podemos hacer esto de la siguiente manera, comenzando con la ecuación punto-pendiente: y-y1 = m (x-x1).
Luego, distribuye la pendiente:
y-y1=mx-mx1.
Finalmente, agregue y1 a ambos lados:
y=mx-mx1+y1.
Dado que x1 e y1 son solo números, y = mx-mx1 + y1 está en forma pendiente-intersección y mx1 + y1 es la intersección en y. Luego podemos proceder a graficar la línea como se muestra arriba.
name="forma-est-ndar"> name="forma-est-ndar">Forma estándar
Anteriormente, mostramos que podemos convertir la forma estándar a la forma pendiente-intersección:
El término sin ninguna variable, C / B, es la intersección con el eje y. Ahora podemos usar este valor para graficar la ecuación, tal como lo hicimos cuando se nos presentaron ecuaciones en forma pendiente-intersección.
name="ejemplos">Ejemplos
En esta sección, proporcionaremos ejemplos de cómo usar la pendiente y la intersección para graficar una línea y soluciones paso a paso.
name="ejemplo-1">ejemplo 1
La línea k tiene la forma pendiente-intersección: y = -3 / 2 + 2. Representa gráficamente la línea k.
name="ejemplo-1-soluci-n">Ejemplo 1 Solución
La línea k ya está en forma pendiente-intersección. Esto facilita la búsqueda de la información que necesitamos para graficarla.
Primero, necesitamos encontrar un punto. La intersección con el eje y, b, es la elección obvia. Dado que b = 2, la intersección con el eje y es el punto (0, 2). Es decir, la intersección con el eje y está en el eje y, dos unidades por encima del eje x.
Ahora, podemos usar la pendiente para encontrar otro punto en la gráfica. Nuevamente, dado que la ecuación dada está en forma pendiente-intersección, sabemos que la pendiente es el coeficiente de x, –3/2.
Tenga en cuenta que, si leemos la pendiente en voz alta, la llamamos "menos tres sobre dos". Esto significa que podemos encontrar un segundo punto bajando "tres (unidades), más de dos (unidades hacia la derecha)". Solo recuerde que un número negativo significa abajo, mientras que un número positivo significa arriba. En cualquier caso, muévase hacia la derecha cuando diga "cambio".
Ahora, tenemos dos puntos, (0, 2) y (2, -1). Luego, debemos alinear una regla para que se alinee con los dos puntos y trazar una línea a través de ellos. Idealmente, esta línea debería ir un poco más allá de ambos puntos.
Finalmente, agregue flechas al segmento de línea para mostrar que continúa en ambas direcciones infinitamente.
name="ejemplo-2">ejemplo 2
Una línea k pasa por el punto (-1, -1) y tiene una pendiente de 1/2. Encuentra la gráfica de k.
name="ejemplo-2-soluci-n">Ejemplo 2 Solución
Aunque graficar con la intersección con el eje y es una gran estrategia, no siempre funciona. Este ejemplo ilustra por qué.
Usemos la pendiente y el punto dados para encontrar una versión de la forma punto-pendiente de esta ecuación: y + 1 = 1/2 (x + 1).
Ahora, podemos manipular esta ecuación para ponerla en forma pendiente-intersección:
y+1=1/2x+1/2.
y=1/2x-1/2.
En este caso, la intersección con el eje y no es un número entero. Aunque ciertamente es posible graficar fracciones, es más fácil graficar números que caen en las líneas de la cuadrícula. En este caso, comenzar en el punto (-1, -1) podría tener más sentido.
Primero, trace el punto conocido.
Nuevamente, leemos la pendiente en voz alta como "1 sobre 2". Esto significa que podemos encontrar un segundo punto ubicando las coordenadas que están "una (unidad) arriba de dos (unidades a la derecha)".
Subir uno nos lleva al punto (-1, 0), mientras que pasar dos nos lleva al punto (1, 0).
Ahora, como en el
name="ejemplo-3">ejemplo 3
Una línea k tiene la ecuación 4x + 3y = -6 cuando se escribe en forma estándar. ¿Cuál es la gráfica de k?
name="ejemplo-3-soluci-n">Ejemplo 3 Solución
La línea está en forma estándar. Para graficarlo, tenemos que encontrar un punto y la pendiente. Para simplificar las cosas, veamos si podemos usar la intersección con el eje y.
Recuerde de arriba que la intersección con el eje y de una línea cuya ecuación está en forma estándar es C / B. En este caso, eso es –6 / 3 = -2.
Asimismo, sabemos por arriba que la pendiente de una recta cuya ecuación está en forma estándar es -A / B. En consecuencia, la pendiente de esta línea es -4/3.
Ahora, para graficar esta línea, primero necesitamos graficar la intersección con el eje y en (0, -2). Este es un punto en el eje y dos unidades por debajo del eje x.
Luego, podemos usar la pendiente para ayudarnos a encontrar otro punto. Para mantener la gráfica simple, es posible que deseemos encontrar un punto en la parte superior izquierda de la intersección con el eje y, en lugar de uno en la parte inferior derecha. Para hacer esto, simplemente hacemos lo contrario de lo que hemos estado haciendo. En lugar de "bajar 4 (unidades) sobre 3 (unidades a la derecha)", invertimos ambas direcciones. Ahora, marcaremos el punto "arriba 4 (unidades) sobre 3 (unidades a la izquierda)".
Subir cuatro unidades nos lleva al punto (0, 2). Ir 3 unidades a la izquierda nos lleva a (-3, 2). Tenga en cuenta que podemos ir de este punto a la intersección con el eje y usando la estrategia "4 sobre 3 hacia abajo".
Ahora podemos conectar los dos puntos con una línea, extender la línea a través de los puntos y agregar flechas.
name="ejemplo-4">ejemplo 4
Dado que la línea k pasa por los puntos (-3, -1) y (2, 1), grafique la línea k.
name="ejemplo-4-soluci-n">Ejemplo 4 Solución
Recuerde que dos puntos definen de forma única una línea. Si bien todos los ejemplos anteriores nos han proporcionado un punto y nos han obligado a encontrar un segundo usando la pendiente, aquí ya se nos dan dos puntos.
De hecho, podemos simplemente graficar esta línea trazando una línea a través de los dos puntos dados y colocando flechas en el extremo, como se muestra.
name="ejemplo-5">ejemplo 5
La línea l tiene la ecuación lineal en forma estándar x-3y = 9. La línea k es perpendicular a ly corta a la línea k en (3, -2). Representa gráficamente las dos líneas.
name="ejemplo-5-soluci-n">Ejemplo 5 Solución
Dado que l está en forma estándar, su intersección con el eje y es C / B. Esto significa que, en este caso, la intersección con el eje y de l es 9 / -3 = -3. Por lo tanto, pasa por el punto (0, -3), que se encuentra en el eje y tres unidades por debajo del eje x.
Pero, dado que k corta a l en el punto (3, -2), debo pasar por este punto. Por lo tanto, trazamos (0, -3) y (3, -2) y luego trazamos una línea a través de los dos puntos. Añadiendo flechas al final completa la línea l.
Ahora, ya tenemos un punto para k, (3, -2), el punto de intersección. Como k es perpendicular a l, podemos encontrar su pendiente encontrando la pendiente de ly luego encontrando su recíproco negativo.
Nuevamente, la pendiente de una línea escrita en forma estándar es -A / B. En este caso, por tanto, la pendiente de l es -1 / -3 = 1/3. El recíproco opuesto de esto es -3. Por tanto, k tiene pendiente -3.
Ahora, para encontrar un segundo punto de k, podemos encontrar un punto que esté "3 abajo sobre 1 (a la derecha)" o "3 arriba sobre 1 a la izquierda". Usaremos la segunda estrategia, como hicimos en el
Subir tres unidades nos da (3, 1). Ir a la izquierda una unidad nos da (2, 1). Ahora, si trazamos una línea que pasa por estos dos puntos y agregamos flechas al final, también tenemos la gráfica de k.
name="problemas-de-pr-ctica">Problemas de práctica
- Representa gráficamente la recta y = 1 / 2x-2.
- Grafica la recta con pendiente 2 que pasa por el punto (1, 2).
- Grafica la línea que pasa por los puntos (1, 3) y (-1, -3).
- Representa gráficamente la línea x-5y = 15.
- La línea l es y = 3 / 4x y la línea k es paralela a l. Si k pasa por el punto (-2, -3), grafique ly k.
