Graficar ecuaciones lineales: explicación y ejemplos

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Aina Martin
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Graficar ecuaciones lineales: explicación y ejemplos

Graficar ecuaciones lineales requiere el uso de información sobre líneas, incluidas pendientes, intersecciones y puntos, para convertir una descripción matemática o verbal en una representación de una línea en el plano de coordenadas.

Aunque hay muchas formas de hacer esto, este art√≠culo se enfocar√° en c√≥mo usar la forma pendiente-intersecci√≥n para graficar una l√≠nea. Si necesita un repaso sobre ecuaciones lineales o gr√°ficas, aseg√ļrese de revisar antes de seguir adelante con esta secci√≥n.



Este tema cubrir√°:

  • C√≥mo graficar ecuaciones lineales
  • C√≥mo encontrar la pendiente de una ecuaci√≥n lineal
  • Formulario de intercepci√≥n de pendiente
  • Forma punto-pendiente
  • Forma est√°ndar
  • C√≥mo encontrar la intersecci√≥n de una ecuaci√≥n lineal

Cómo graficar ecuaciones lineales

Recuerde que cualquier línea se puede definir por dos puntos. Por lo tanto, para graficar una línea, solo necesitamos encontrar dos puntos y conectarlos.

Dado que las l√≠neas contin√ļan indefinidamente, una representaci√≥n gr√°fica generalmente incluir√° un segmento de l√≠nea con flechas en ambos extremos para mostrar que la l√≠nea contin√ļa infinitamente en ambas direcciones.


También podemos graficar la línea si conocemos un punto y la pendiente. En particular, la pendiente nos ayudará a encontrar el segundo punto necesario para trazar la línea.


Cómo encontrar la pendiente de una ecuación lineal

A menudo, se nos da una ecuación lineal y se nos pide que grafiquemos la línea a partir de ella. En este caso, necesitaremos usar la ecuación para encontrar la pendiente y un punto en la línea.

El proceso para encontrar la pendiente de una línea basado en una ecuación lineal depende del tipo de ecuación lineal presentada.

Formulario de intercepción de pendiente

La forma pendiente-intersección facilita encontrar la pendiente de una línea. Recuerda que cualquier ecuación lineal en forma pendiente-intersección se ve así:

y = mx + b.

En esta ecuación, m es la pendiente de la línea y b es la intersección con el eje y. Por lo tanto, podemos leer la pendiente encontrando el coeficiente de x.

Forma punto-pendiente

También es sencillo encontrar la pendiente de una línea cuando la ecuación lineal para ella está en forma de punto-pendiente. Recuerde que una ecuación lineal en forma de punto-pendiente se ve así:

y-y1 = m (x-x1).

En esta ecuaci√≥n, m es la pendiente y (x1, y1) es cualquier punto de la l√≠nea. Por lo tanto, podemos volver a encontrar la pendiente f√°cilmente al encontrar el n√ļmero delante del par√©ntesis abierto.

Forma est√°ndar

Encontrar la pendiente a partir de la forma estándar requiere un poco más de manipulación algebraica. Recuerde que una ecuación escrita en forma estándar se ve así:

Ax + Por = C.

En esta ecuaci√≥n, A es positivo y A, B y C son n√ļmeros enteros.



Convirtamos esta ecuación a la forma pendiente-intersección para encontrar la pendiente. Podemos hacer esto resolviendo para y.

Por = -Ax + C

y = -A / Bx + C / B.

Ahora, esta ecuación está en forma pendiente-intersección. Por tanto, la pendiente es -A / B.

Cómo encontrar la intersección de una ecuación lineal

Si conocemos la pendiente de una l√≠nea, podemos graficarla una vez que encontremos un punto. A menudo, el punto m√°s f√°cil de usar es la intersecci√≥n con el eje y, que es el lugar donde la l√≠nea cruza el eje y. Siempre ser√° de la forma (0, b), donde b es un n√ļmero real.


Si la intersección con el eje y no está clara, podemos usar un punto diferente siempre que sepamos la pendiente.


Formulario de intercepción de pendiente

Si nos dan la forma pendiente-intersección de la ecuación de una línea, tenemos suerte. Es muy fácil encontrar la intersección con el eje y de la forma pendiente-intersección. Como se mencionó anteriormente, la forma pendiente-intersección es:

y = mx + b,

donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y. Es decir, ¡cualquier término de la ecuación que no tenga una variable es la intersección con el eje y!

Forma punto-pendiente

La forma punto-pendiente nos dice la pendiente de una línea y un punto en ella. A veces, este punto es la intersección con el eje y, pero a veces no lo es.

Más a menudo, tiene sentido manipular algebraicamente la forma punto-pendiente y convertirla en forma pendiente-intersección. Podemos hacer esto de la siguiente manera, comenzando con la ecuación punto-pendiente: y-y1 = m (x-x1).

Luego, distribuye la pendiente:

y-y1=mx-mx1.

Finalmente, agregue y1 a ambos lados:

y=mx-mx1+y1.

Dado que x1 e y1 son solo n√ļmeros, y = mx-mx1 + y1 est√° en forma pendiente-intersecci√≥n y mx1 + y1 es la intersecci√≥n en y. Luego podemos proceder a graficar la l√≠nea como se muestra arriba.

Forma est√°ndar

Anteriormente, mostramos que podemos convertir la forma estándar a la forma pendiente-intersección:

y = -A / Bx + C / B.

El término sin ninguna variable, C / B, es la intersección con el eje y. Ahora podemos usar este valor para graficar la ecuación, tal como lo hicimos cuando se nos presentaron ecuaciones en forma pendiente-intersección.

Ejemplos

En esta sección, proporcionaremos ejemplos de cómo usar la pendiente y la intersección para graficar una línea y soluciones paso a paso.

ejemplo 1

La línea k tiene la forma pendiente-intersección: y = -3 / 2 + 2. Representa gráficamente la línea k.

Ejemplo 1 Solución

La l√≠nea k ya est√° en forma pendiente-intersecci√≥n. Esto facilita la b√ļsqueda de la informaci√≥n que necesitamos para graficarla.

Primero, necesitamos encontrar un punto. La intersección con el eje y, b, es la elección obvia. Dado que b = 2, la intersección con el eje y es el punto (0, 2). Es decir, la intersección con el eje y está en el eje y, dos unidades por encima del eje x.

Ahora, podemos usar la pendiente para encontrar otro punto en la gr√°fica. Nuevamente, dado que la ecuaci√≥n dada est√° en forma pendiente-intersecci√≥n, sabemos que la pendiente es el coeficiente de x, ‚Äď3/2.

Tenga en cuenta que, si leemos la pendiente en voz alta, la llamamos "menos tres sobre dos". Esto significa que podemos encontrar un segundo punto bajando "tres (unidades), m√°s de dos (unidades hacia la derecha)". Solo recuerde que un n√ļmero negativo significa abajo, mientras que un n√ļmero positivo significa arriba. En cualquier caso, mu√©vase hacia la derecha cuando diga "cambio".

Ahora, tenemos dos puntos, (0, 2) y (2, -1). Luego, debemos alinear una regla para que se alinee con los dos puntos y trazar una línea a través de ellos. Idealmente, esta línea debería ir un poco más allá de ambos puntos.

Finalmente, agregue flechas al segmento de l√≠nea para mostrar que contin√ļa en ambas direcciones infinitamente.

ejemplo 2

Una línea k pasa por el punto (-1, -1) y tiene una pendiente de 1/2. Encuentra la gráfica de k.

Ejemplo 2 Solución

Aunque graficar con la intersección con el eje y es una gran estrategia, no siempre funciona. Este ejemplo ilustra por qué.

Usemos la pendiente y el punto dados para encontrar una versión de la forma punto-pendiente de esta ecuación: y + 1 = 1/2 (x + 1).

Ahora, podemos manipular esta ecuación para ponerla en forma pendiente-intersección:

y+1=1/2x+1/2.

y=1/2x-1/2.

En este caso, la intersecci√≥n con el eje y no es un n√ļmero entero. Aunque ciertamente es posible graficar fracciones, es m√°s f√°cil graficar n√ļmeros que caen en las l√≠neas de la cuadr√≠cula. En este caso, comenzar en el punto (-1, -1) podr√≠a tener m√°s sentido.

Primero, trace el punto conocido.

Nuevamente, leemos la pendiente en voz alta como "1 sobre 2". Esto significa que podemos encontrar un segundo punto ubicando las coordenadas que est√°n "una (unidad) arriba de dos (unidades a la derecha)".

Subir uno nos lleva al punto (-1, 0), mientras que pasar dos nos lleva al punto (1, 0).

Ahora, como en el ejemplo 1, podemos dibujar una línea a través de los dos puntos con flechas al final.

ejemplo 3

Una l√≠nea k tiene la ecuaci√≥n 4x + 3y = -6 cuando se escribe en forma est√°ndar. ¬ŅCu√°l es la gr√°fica de k?

Ejemplo 3 Solución

La línea está en forma estándar. Para graficarlo, tenemos que encontrar un punto y la pendiente. Para simplificar las cosas, veamos si podemos usar la intersección con el eje y.

Recuerde de arriba que la intersecci√≥n con el eje y de una l√≠nea cuya ecuaci√≥n est√° en forma est√°ndar es C / B. En este caso, eso es ‚Äď6 / 3 = -2.

Asimismo, sabemos por arriba que la pendiente de una recta cuya ecuación está en forma estándar es -A / B. En consecuencia, la pendiente de esta línea es -4/3.

Ahora, para graficar esta línea, primero necesitamos graficar la intersección con el eje y en (0, -2). Este es un punto en el eje y dos unidades por debajo del eje x.

Luego, podemos usar la pendiente para ayudarnos a encontrar otro punto. Para mantener la gráfica simple, es posible que deseemos encontrar un punto en la parte superior izquierda de la intersección con el eje y, en lugar de uno en la parte inferior derecha. Para hacer esto, simplemente hacemos lo contrario de lo que hemos estado haciendo. En lugar de "bajar 4 (unidades) sobre 3 (unidades a la derecha)", invertimos ambas direcciones. Ahora, marcaremos el punto "arriba 4 (unidades) sobre 3 (unidades a la izquierda)".

Subir cuatro unidades nos lleva al punto (0, 2). Ir 3 unidades a la izquierda nos lleva a (-3, 2). Tenga en cuenta que podemos ir de este punto a la intersección con el eje y usando la estrategia "4 sobre 3 hacia abajo".

Ahora podemos conectar los dos puntos con una línea, extender la línea a través de los puntos y agregar flechas.

ejemplo 4

Dado que la línea k pasa por los puntos (-3, -1) y (2, 1), grafique la línea k.

Ejemplo 4 Solución

Recuerde que dos puntos definen de forma √ļnica una l√≠nea. Si bien todos los ejemplos anteriores nos han proporcionado un punto y nos han obligado a encontrar un segundo usando la pendiente, aqu√≠ ya se nos dan dos puntos.

De hecho, podemos simplemente graficar esta línea trazando una línea a través de los dos puntos dados y colocando flechas en el extremo, como se muestra.

ejemplo 5

La línea l tiene la ecuación lineal en forma estándar x-3y = 9. La línea k es perpendicular a ly corta a la línea k en (3, -2). Representa gráficamente las dos líneas.

Ejemplo 5 Solución

Primero, grafiquemos l.

Dado que l está en forma estándar, su intersección con el eje y es C / B. Esto significa que, en este caso, la intersección con el eje y de l es 9 / -3 = -3. Por lo tanto, pasa por el punto (0, -3), que se encuentra en el eje y tres unidades por debajo del eje x.

Pero, dado que k corta a l en el punto (3, -2), debo pasar por este punto. Por lo tanto, trazamos (0, -3) y (3, -2) y luego trazamos una l√≠nea a trav√©s de los dos puntos. A√Īadiendo flechas al final completa la l√≠nea l.

Ahora, ya tenemos un punto para k, (3, -2), el punto de intersección. Como k es perpendicular a l, podemos encontrar su pendiente encontrando la pendiente de ly luego encontrando su recíproco negativo.

Nuevamente, la pendiente de una línea escrita en forma estándar es -A / B. En este caso, por tanto, la pendiente de l es -1 / -3 = 1/3. El recíproco opuesto de esto es -3. Por tanto, k tiene pendiente -3.

Ahora, para encontrar un segundo punto de k, podemos encontrar un punto que esté "3 abajo sobre 1 (a la derecha)" o "3 arriba sobre 1 a la izquierda". Usaremos la segunda estrategia, como hicimos en el ejemplo 3, para ahorrar espacio en el gráfico.

Subir tres unidades nos da (3, 1). Ir a la izquierda una unidad nos da (2, 1). Ahora, si trazamos una línea que pasa por estos dos puntos y agregamos flechas al final, también tenemos la gráfica de k.

Problemas de pr√°ctica

  1. Representa gr√°ficamente la recta y = 1 / 2x-2.
  2. Grafica la recta con pendiente 2 que pasa por el punto (1, 2).
  3. Grafica la línea que pasa por los puntos (1, 3) y (-1, -3).
  4. Representa gráficamente la línea x-5y = 15.
  5. La línea l es y = 3 / 4x y la línea k es paralela a l. Si k pasa por el punto (-2, -3), grafique ly k.

Pr√°ctica clave de respuestas del problema



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