Graficar sistemas de desigualdades lineales

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Alejandra Rangel
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Graficar sistemas de desigualdades lineales

Anteriormente, aprendi√≥ a graficar una √ļnica desigualdad lineal en el plano xy. En esta lecci√≥n, trataremos un pulverizador de desigualdades lineales. La palabra "sistema" implica que vamos a graficar dos o m√°s desigualdades lineales simult√°neamente. La soluci√≥n del sistema ser√° el √°rea o regi√≥n donde se superponen las gr√°ficas de todas las desigualdades lineales en el sistema.

NOTA: Para tener éxito al graficar desigualdades lineales, se espera que sepa cómo graficar una línea en el plano xy. De lo contrario, tómese un momento para revisar el material.



Pasos Cómo graficar un sistema de desigualdades lineales

Paso 1: Grafique cada desigualdad lineal en el sistema en el mismo eje xy. Recuerde los pasos clave al graficar una desigualdad lineal:

  • A√≠sle la variable "y" a la izquierda de la desigualdad.
  • Si los s√≠mbolos son> y ‚Č•, sombreamos el √°rea por encima de la l√≠nea de l√≠mite usando l√≠neas discontinuas y continuas, respectivamente.
  • Por otro lado, si los s√≠mbolos son <y ‚ȧ, sombreamos el √°rea debajo de la l√≠nea de l√≠mite usando l√≠neas discontinuas y continuas, respectivamente.

Paso 2: Sombrea la regi√≥n donde todas las √°reas de las desigualdades lineales se cruzan o se superponen. Si no hay una regi√≥n de intersecci√≥n, decimos que el sistema no tiene soluci√≥n.

Repasemos algunos ejemplos para ilustrar el procedimiento.

Ejemplos de sistema gr√°fico de desigualdades lineales

Ejemplo 1: Grafica el siguiente sistema de desigualdades lineales:

Lo bueno del problema dado es que todas las variables y ya están en el lado izquierdo del símbolo de desigualdad. De esta forma, podemos determinar fácilmente qué área sombrear con referencia a la línea de límite.



  • Grafica la primera desigualdad y ‚ȧ x ‚ąí 1. Como tenemos un s√≠mbolo "menor o igual a", la l√≠nea de l√≠mite ser√° s√≥lida y sombrearemos el √°rea debajo de la l√≠nea.
  • Grafica la segunda desigualdad y < ‚Äď2x + 1. El s√≠mbolo es simplemente "menor que", por lo que la l√≠nea de l√≠mite ser√° discontinua o punteada, y sombrearemos el √°rea debajo.
  • La soluci√≥n final al sistema de desigualdades lineales ser√° el √°rea donde las dos desigualdades se superponen, como se muestra a la derecha.

Llamamos a esta área de solución "ilimitada" porque el área en realidad se extiende para siempre en dirección descendente.


Ver√° un ejemplo de √°rea "limitada" en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2: Grafica el siguiente sistema de desigualdades lineales:


El sistema contiene tres desigualdades, eso significa que vamos a graficar tres de ellas. Observe que todos los símbolos de desigualdad tienen un componente "igual a". Esto nos dice que todas las líneas limítrofes serán sólidas.


  • Aqu√≠ est√° la gr√°fica de la primera desigualdad  donde la l√≠nea de l√≠mite es s√≥lida y el √°rea sombreada se encuentra debajo de ella.
  • La segunda desigualdad  tendr√° una l√≠nea de l√≠mite s√≥lida y el √°rea sombreada se encuentra encima de ella.
  • Finalmente, la tercera desigualdad  tambi√©n tendr√° una l√≠nea de l√≠mite s√≥lida y sombrear√° el √°rea por encima de ella.
  • Como puede ver, las √°reas sombreadas de las tres desigualdades lineales se superponen justo en la secci√≥n central.

Llamamos a este sistema "acotado" porque la región donde se encuentran todas las soluciones está encerrada por los tres lados que provienen de las líneas de límite de las desigualdades lineales.


Ejemplo 3: Grafica el siguiente sistema de desigualdades lineales:

Cuando miro las tres desigualdades incluidas en el sistema, hay tres cosas que debo considerar:

  • Vuelva a escribir la primera desigualdad x + 2y <2 de manera que la variable "y" est√© sola en el lado izquierdo. Si resuelve esto correctamente para aislar "y", esta desigualdad es equivalente a la expresi√≥n .
  • La desigualdad y> ‚Äď1 tendr√° una l√≠nea de l√≠mite horizontal.
  • La desigualdad x ‚Č• ‚Äď3 tendr√° una l√≠nea de l√≠mite vertical.

  Si necesita ayuda para graficar l√≠neas verticales y horizontales, compru√©belo en esta lecci√≥n separada.

Ahora estamos listos para graficar cada uno de ellos.

  • La gr√°fica de  ser√° una l√≠nea de l√≠mite punteada con sombreada el √°rea que se encuentra debajo de ella.
  • La gr√°fica de y> ‚Äď1 es una l√≠nea horizontal discontinua que pasa por la intersecci√≥n con el eje y en -1 con el √°rea sombreada encima.
  • La gr√°fica de x ‚Č• ‚Äď3 es una l√≠nea continua que pasa por la intersecci√≥n con el eje x en -3 con el √°rea sombreada a su derecha.
  • La soluci√≥n a este sistema es el √°rea com√ļn donde se cruzan las tres desigualdades.

Este también es un "sistema acotado" donde la región de la solución está encerrada por dos segmentos de línea discontinua y un segmento de línea continua.

Ejemplo 4: Grafica el siguiente sistema de desigualdades lineales:

Ambas desigualdades necesitan ser reescritas para que la variable ‚Äúy‚ÄĚ se ubique sola en el lado izquierdo.

Aqu√≠ est√° el primero. Aseg√ļrese de cambiar la direcci√≥n del s√≠mbolo de desigualdad siempre que divida la desigualdad por un n√ļmero negativo.

Y aqu√≠ est√° la reescritura de la segunda desigualdad. Esta vez no dividimos la desigualdad por un n√ļmero negativo, por eso la orientaci√≥n o direcci√≥n del s√≠mbolo de desigualdad sigue siendo la misma.

Sigamos adelante y grafíquelos.

  • La gr√°fica de y> ‚Äď2x + 1 es una l√≠nea de puntos o "discontinua" que tiene el √°rea sombreada encima.
  • La gr√°fica de y ‚ȧ ‚Äď2x - 3 es una l√≠nea s√≥lida con el √°rea sombreada debajo.

Dado que las dos √°reas sombreadas no se cruzan ni se superponen, esto nos dice que el sistema de desigualdades dado tiene SIN SOLUCI√ďN.

Tambi√©n puede haber observado que las l√≠neas de contorno tienen pendientes iguales, ambas m = ‚Äď2, lo que implica que son l√≠neas paralelas y, por lo tanto, no se cruzan.

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