Anteriormente, aprendió a graficar una única desigualdad lineal en el plano xy. En esta lección, trataremos un pulverizador de desigualdades lineales. La palabra "sistema" implica que vamos a graficar dos o más desigualdades lineales simultáneamente. La solución del sistema será el área o región donde se superponen las gráficas de todas las desigualdades lineales en el sistema.
NOTA: Para tener éxito al graficar desigualdades lineales, se espera que sepa cómo graficar una línea en el plano xy. De lo contrario, tómese un momento para revisar el material.
Pasos Cómo graficar un sistema de desigualdades lineales
Paso 1: Grafique cada desigualdad lineal en el sistema en el mismo eje xy. Recuerde los pasos clave al graficar una desigualdad lineal:
- Aísle la variable "y" a la izquierda de la desigualdad.
- Si los símbolos son> y ≥, sombreamos el área por encima de la línea de límite usando líneas discontinuas y continuas, respectivamente.
- Por otro lado, si los símbolos son <y ≤, sombreamos el área debajo de la línea de límite usando líneas discontinuas y continuas, respectivamente.
Paso 2: Sombrea la región donde todas las áreas de las desigualdades lineales se cruzan o se superponen. Si no hay una región de intersección, decimos que el sistema no tiene solución.
Repasemos algunos ejemplos para ilustrar el procedimiento.
Ejemplos de sistema gráfico de desigualdades lineales
Ejemplo 1: Grafica el siguiente sistema de desigualdades lineales:
Lo bueno del problema dado es que todas las variables y ya están en el lado izquierdo del símbolo de desigualdad. De esta forma, podemos determinar fácilmente qué área sombrear con referencia a la línea de límite.
- Grafica la primera desigualdad y ≤ x − 1. Como tenemos un símbolo "menor o igual a", la línea de límite será sólida y sombrearemos el área debajo de la línea.
- Grafica la segunda desigualdad y < –2x + 1. El símbolo es simplemente "menor que", por lo que la línea de límite será discontinua o punteada, y sombrearemos el área debajo.
- La solución final al sistema de desigualdades lineales será el área donde las dos desigualdades se superponen, como se muestra a la derecha.
Llamamos a esta área de solución "ilimitada" porque el área en realidad se extiende para siempre en dirección descendente.
Verá un ejemplo de área "limitada" en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2: Grafica el siguiente sistema de desigualdades lineales:
El sistema contiene tres desigualdades, eso significa que vamos a graficar tres de ellas. Observe que todos los símbolos de desigualdad tienen un componente "igual a". Esto nos dice que todas las líneas limítrofes serán sólidas.
- Aquí está la gráfica de la primera desigualdad
donde la línea de límite es sólida y el área sombreada se encuentra debajo de ella.
- La segunda desigualdad
tendrá una línea de límite sólida y el área sombreada se encuentra encima de ella.
- Finalmente, la tercera desigualdad
también tendrá una línea de límite sólida y sombreará el área por encima de ella.
- Como puede ver, las áreas sombreadas de las tres desigualdades lineales se superponen justo en la sección central.
Llamamos a este sistema "acotado" porque la región donde se encuentran todas las soluciones está encerrada por los tres lados que provienen de las líneas de límite de las desigualdades lineales.
Ejemplo 3: Grafica el siguiente sistema de desigualdades lineales:
Cuando miro las tres desigualdades incluidas en el sistema, hay tres cosas que debo considerar:
- Vuelva a escribir la primera desigualdad x + 2y <2 de manera que la variable "y" esté sola en el lado izquierdo. Si resuelve esto correctamente para aislar "y", esta desigualdad es equivalente a la expresión
. - La desigualdad y> –1 tendrá una línea de límite horizontal.
- La desigualdad x ≥ –3 tendrá una línea de límite vertical.
Si necesita ayuda para graficar líneas verticales y horizontales, compruébelo en esta lección separada.
Ahora estamos listos para graficar cada uno de ellos.
- La gráfica de
será una línea de límite punteada con sombreada el área que se encuentra debajo de ella.
- La gráfica de y> –1 es una línea horizontal discontinua que pasa por la intersección con el eje y en -1 con el área sombreada encima.
- La gráfica de x ≥ –3 es una línea continua que pasa por la intersección con el eje x en -3 con el área sombreada a su derecha.
- La solución a este sistema es el área común donde se cruzan las tres desigualdades.
Este también es un "sistema acotado" donde la región de la solución está encerrada por dos segmentos de línea discontinua y un segmento de línea continua.
Ejemplo 4: Grafica el siguiente sistema de desigualdades lineales:
Ambas desigualdades necesitan ser reescritas para que la variable “y” se ubique sola en el lado izquierdo.
Aquí está el primero. Asegúrese de cambiar la dirección del símbolo de desigualdad siempre que divida la desigualdad por un número negativo.
Y aquí está la reescritura de la segunda desigualdad. Esta vez no dividimos la desigualdad por un número negativo, por eso la orientación o dirección del símbolo de desigualdad sigue siendo la misma.
Sigamos adelante y grafíquelos.
- La gráfica de y> –2x + 1 es una línea de puntos o "discontinua" que tiene el área sombreada encima.
- La gráfica de y ≤ –2x - 3 es una línea sólida con el área sombreada debajo.
Dado que las dos áreas sombreadas no se cruzan ni se superponen, esto nos dice que el sistema de desigualdades dado tiene SIN SOLUCIÓN.
También puede haber observado que las líneas de contorno tienen pendientes iguales, ambas m = –2, lo que implica que son líneas paralelas y, por lo tanto, no se cruzan.
Usted también puede estar interesado en:
Resolver desigualdades lineales
Pasos sobre cómo graficar desigualdades lineales
Graficar ejemplos de desigualdades lineales
Resolver desigualdades compuestas
