Lo que queremos aquí es encontrar el función inversa - lo que implica que la inversa DEBE ser una función en sí misma. De lo contrario, obtenemos una inversa que no es una función.
No todas las funciones son naturalmente "afortunadas" de tener funciones inversas. Esto sucede en el caso de las cuadráticas porque todas fallan en la prueba de línea horizontal. Sin embargo, si restrinjo su dominio a donde los valores de x producen un gráfico que pasaría la prueba de la línea horizontal, entonces tendré una función inversa.
Pero primero, hablemos de la prueba que garantiza que la inversa es una función.
Prueba de línea horizontal
Dada una función f (x), tiene una inversa denotada por el símbolo color {rojo} {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha), si ninguna línea horizontal cruza su gráfica más de una vez.
- Ejemplo de una gráfica es una inversa
- Ejemplo de una gráfica sin una inversa
Las siguientes son las principales estrategias para resolver algebraicamente la función inversa.
Pasos clave para encontrar la función inversa de una función cuadrática
- Reemplaza f (x) por y.
- Cambie los roles de color {rojo} xy color {azul} y. En otras palabras, intercambio xey en la ecuación.
- Resuelva para y en términos de x.
- Reemplaza y por {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha) para obtener la función inversa
- A veces, es útil usar el dominio y el rango de la función original para identificar la función inversa correcta entre dos posibilidades. Esto sucede cuando al final obtiene un caso de "más o menos".
Ejemplos de cómo encontrar la función inversa de una función cuadrática
Ejemplo 1: Encuentre la función inversa de fleft (x right) = {x ^ 2} + 2, si existe. Indique su dominio y rango.
Lo primero que me doy cuenta es que esta función cuadrática no tiene una restricción en su dominio. Estoy seguro de que cuando grafique esto, puedo dibujar una línea horizontal que la intersecará más de una vez. Por tanto, la inversa no es una función. Ni siquiera me molestaré en aplicar los pasos clave anteriores para encontrar su inverso.
El diagrama muestra que no pasa la prueba de línea horizontal, por lo que la inversa no es una función. Me detendré aquí.
Ejemplo 2: Encuentre la función inversa de fleft (x right) = {x ^ 2} + 2 ,,, x ge 0, si existe. Indique su dominio y rango.
Esta misma función cuadrática, como se ve en el Ejemplo 1, tiene una restricción en su dominio que es x ge 0. Después de graficar la función en el eje xy, puedo ver que la gráfica es una parábola cortada a la mitad para todos los valores de x iguales a o mayor que cero. Esto debería pasar la Prueba de línea horizontal que me dice que realmente puedo encontrar su función inversa siguiendo los pasos sugeridos.
En su gráfico a continuación, definí claramente el dominio y el rango porque necesitaré esta información para ayudarme a identificar la función inversa correcta al final.
Recuerde que el dominio y el rango de la función inversa provienen del rango y el dominio de la función original, respectivamente. Se llama el intercambio de dominio y rango.
Incluso sin resolver la función inversa todavía, puedo identificar fácilmente su dominio y rango usando la información de la gráfica de la función original: el dominio es x ≥ 2 y el rango es y ≥ 0.
¿Ves cómo intercambio el dominio y el rango de la función original para obtener el dominio y el rango de su inversa?
Ahora, sigamos adelante y resolvemos algebraicamente su inverso.
Graficando la función original con su inversa en el mismo eje de coordenadas…
Ejemplo 3: Encuentre la función inversa de fleft (x right) = - {x ^ 2} - 1 ,,, x le 0, si existe. Indique su dominio y rango.
Este problema es muy similar al ejemplo 2. El rango comienza en el color {rojo} y = -1, y puede descender lo más bajo posible.
Ahora, estos son los pasos para resolver la inversa.
La aplicación de la operación de raíz cuadrada da como resultado dos ecuaciones debido a los casos positivos y negativos. Para elegir la función inversa correcta de las dos, sugiero que encuentre el dominio y el rango de cada respuesta posible. Ahora, la función inversa correcta debería tener un dominio proveniente del rango de la función original; y un rango procedente del dominio de la misma función.
Los siguientes son los gráficos de la función original y su inversa en el mismo eje de coordenadas.
Ejemplo 4: Encuentre la inversa de la función a continuación, si existe. Indique su dominio y rango.
Primero graficaría esta función e identificaría claramente el dominio y el rango. Observe que la restricción en el dominio corta la parábola en dos mitades iguales. Me ocuparé de la mitad izquierda de esta parábola. Claramente, esto tiene una función inversa porque pasa la prueba de línea horizontal.
Continúe con los pasos para resolver la función inversa. De hecho, hay dos formas de solucionar este problema.
- Resuelva esto mediante la fórmula cuadrática como se muestra a continuación.
x = {Large {{{- b pm sqrt {{b ^ 2} - 4ac}} sobre {2a}}}}
donde a, byc pueden contener variables.
Esto se espera ya que estamos resolviendo para una función, no valores exactos.
El paso clave aquí es elegir la función inversa apropiada al final porque tendremos los casos más (+) y menos (-). Podemos hacer eso encontrando el dominio y rango de cada uno y compararlo con el dominio y rango de la función original. Recuerde que intercambiamos el dominio y el rango de la función original para obtener el dominio y el rango de su inversa.
- El método de completar los cuadrados nos permite aislar la variable en un trinomio cuadrático. Como verás en los pasos, el trinomio cuadrático se convierte en binomio lineal elevado a la potencia 2. Obviamente, podemos aplicar la operación de raíz cuadrada para deshacernos del exponente 2, dejándonos así con una ecuación fácil de resolver.
Si observa, las gráficas de la función y su inversa son en realidad simétricas a lo largo de la línea y = x (vea la línea discontinua). Son como imágenes especulares el uno del otro.
Espero que obtenga algún nivel de apreciación sobre cómo encontrar la inversa de un función cuadrática. Aunque puede resultar un poco tedioso, como puede ver, en general no es tan malo. Le recomiendo que consulte las lecciones relacionadas sobre cómo encontrar inversas de otros tipos de funciones.
Practica con hojas de trabajo
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