Para encontrar la inversa de una función de raíz cuadrada, es crucial bosquejar o graficar el problema dado primero para identificar claramente cuál es el dominio y el rango. Utilizaré el dominio y el rango de la función original para describir el dominio y el rango de la función inversa intercambiándolos. Si necesita información adicional sobre lo que quise decir con "intercambio de dominio y rango" entre la función y su inverso, consulte mi lección anterior sobre esto.
Ejemplos de cómo encontrar la inversa de una función de raíz cuadrada
Ejemplo 1: Encuentre la función inversa, si existe. Indique su dominio y rango.
Cada vez que encuentro una función de raíz cuadrada con un término lineal dentro del símbolo radical, siempre pienso en ella como "la mitad de una parábola" que se dibuja de lado. Dado que este es el caso positivo de la función raíz cuadrada, estoy seguro de que su rango se volverá cada vez más positivo, en palabras sencillas, se disparará hasta el infinito positivo.
Esta función de raíz cuadrada en particular tiene este gráfico, con su dominio y rango identificados.
A partir de este punto, tendré que resolver la inversa algebraicamente siguiendo los pasos sugeridos. Básicamente, reemplace la flecha de color {rojo} (x derecha) por color {rojo} y, intercambie xey en la ecuación, resuelva para y que pronto será reemplazada por la notación inversa apropiada, y finalmente establezca el dominio y rango.
Recuerda usar las técnicas para resolver ecuaciones radicales para resolver la inversa. Cuadrar o elevar a la segunda potencia el término de raíz cuadrada debería eliminar el radical. Sin embargo, debes hacerlo en ambos lados de la ecuación para mantenerla equilibrada.
Asegúrese de verificar el dominio y el rango de la función inversa de la función original. Deben ser "opuestos entre sí".
Colocando las gráficas de la función original y su inversa en un eje de coordenadas.
¿Puedes ver su simetría a lo largo de la línea y = x? Vea la línea punteada verde.
Ejemplo 2: Encuentre la función inversa, si existe. Indique su dominio y rango.
Esta función es la "mitad inferior" de una parábola porque la función de raíz cuadrada es negativa. Ese símbolo negativo es solo -1 disfrazado.
Al resolver la ecuación, cuadrar ambos lados de la ecuación hace que -1 "desaparezca" ya que {izquierda ({- 1} derecha) ^ 2} = 1. Su dominio y rango serán la "versión" intercambiada de la función original.
Ejemplo 3: Encuentre la función inversa, si existe. Indique su dominio y rango.
Esta es la gráfica de la función original que muestra tanto su dominio como su rango.
Determinar el rango suele ser un desafío. El mejor enfoque para encontrarlo es usar la gráfica de la función dada con su dominio. Analice cómo se comporta la función a lo largo del eje y mientras considera los valores de x del dominio.
Estos son los pasos para resolver o encontrar la inversa de la función raíz cuadrada dada.
Como puede ver, es realmente simple. Asegúrese de hacerlo con cuidado para evitar errores algebraicos innecesarios.
Ejemplo 4: Encuentre la función inversa, si existe. Indique su dominio y rango.
Esta función es un cuarto (cuarto) de un círculo con radio 3 ubicado en el Cuadrante II. Otra forma de verlo, esta es la mitad del semicírculo ubicado sobre el eje horizontal.
Sé que pasará la prueba de la línea horizontal porque ninguna línea horizontal la cruzará más de una vez. Este es un buen candidato para tener una función inversa.
Nuevamente, puedo describir fácilmente el rango porque he dedicado tiempo a graficarlo. Bueno, espero que se dé cuenta de la importancia de tener una ayuda visual para ayudar a determinar ese rango "esquivo".
La presencia de un término al cuadrado dentro del símbolo radical me dice que aplicaré la operación de raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación para encontrar la inversa. Al hacerlo, tendré un caso positivo o negativo. Esta es una situación en la que tomaré una decisión sobre cuál elegir como la función inversa correcta. Recuerde que la función inversa es única, por lo que no puedo permitir tener dos respuestas.
¿Cómo decidiré cuál elegir? La clave es considerar el dominio y el rango de la función original. Los intercambiaré para obtener el dominio y el rango de la función inversa. Utilice esta información para hacer coincidir cuál de las dos funciones candidatas satisface las condiciones requeridas.
Aunque tienen el mismo dominio, ¡el rango aquí es el “desempate”! El rango nos dice que la función inversa tiene un valor mínimo de y = -3 y un valor máximo de y = 0.
El caso de la raíz cuadrada positiva no cumple esta condición, ya que tiene un mínimo en y = 0 y un máximo en y = 3. El caso negativo debe ser la elección obvia, incluso con un análisis más detallado.
Ejemplo 5: Encuentre la función inversa, si existe. Indique su dominio y rango.
Es útil ver el gráfico de la función original porque podemos averiguar fácilmente tanto su dominio como su rango.
El signo negativo de la función raíz cuadrada implica que se encuentra debajo del eje horizontal. Observe que esto es similar al ejemplo 4. También es un cuarto de un círculo pero con un radio de 5. El dominio fuerza al cuarto de círculo a permanecer en el cuadrante IV.
Así es como encontramos su inversa algebraicamente.
¿Escogió la función inversa correcta de las dos posibilidades? La respuesta es el caso del signo positivo.
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