Encontrar la inversa de una función racional es relativamente fácil. Aunque puede resultar abrumador al principio, te sentirás cómodo a medida que estudies. En esta lección, he preparado cinco (5) ejemplos para ayudarlo a obtener una comprensión básica de cómo abordarlo. Es posible que se dé cuenta más tarde de que el procedimiento para encontrar la inversa es bastante repetitivo. Eso significa que, una vez que lo aprendas, ¡lo tienes! No es algo malo, ¿verdad?
Tenga en cuenta que el método utilizado aquí es solo una de las muchas. Siéntase libre de variar los pasos para que se ajusten a sus necesidades siempre que obtenga la misma respuesta final.
Pasos clave para encontrar la función inversa de una función racional
- Reemplaza fleft (x derecha) por y.
- Cambie los roles de color {rojo} xy color {rojo} y, en otras palabras, intercambio xey en la ecuación.
- Resuelva para y en términos de x.
- Reemplaza y por color {azul} {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha) para obtener la función inversa.
Ejemplos de cómo encontrar la inversa de una función racional
Ejemplo 1: Encuentra la función inversa. Indique su dominio y rango.
Incluso sin graficar esta función, sé que x no puede ser igual a -3 porque el denominador se vuelve cero y la expresión racional completa se vuelve indefinida. De hecho, el dominio son todos los valores de x sin incluir -3.
A continuación, necesito graficar esta función para verificar si pasa la prueba de línea horizontal para poder garantizar que tengo una función inversa. No quiero “desperdiciar” esfuerzos si estoy absolutamente seguro de que estoy en un callejón sin salida.
Parece que ninguna línea horizontal se cruzará con el gráfico más de una vez. Buena seńal. La línea punteada vertical se llama asíntota vertical. El gráfico nunca cruzará eso. Recuerde, proviene de los ceros del denominador o los valores restringidos de x.
Usando los pasos sugeridos, busquemos la inversa.
El dominio de la función inversa proviene del hecho de que el denominador no puede ser igual a cero. El rango se obtiene del dominio de la función original.
Ejemplo 2: Encuentra la función inversa. Indique su dominio y rango.
Puede que no necesite graficar esto porque el numerador y el denominador de la expresión racional son lineales. Basado en la experiencia, estoy seguro de que esto tendrá una inversa porque puede pasar el Prueba de línea horizontal. El resto del trabajo es simplemente algebraico. Pero aquí está el gráfico de todos modos.
A medida que resuelva, encontrará términos con variable y en ambos lados de la ecuación. Su tarea es mover todos los términos y a la izquierda (aunque puede juntarlos a la derecha) y luego factorizar la y para seleccionarla.
Como no puedo permitir que x = 1 en el denominador, el dominio de la función inversa son todos los números reales excepto x = 1. Tomé el dominio de la función original para hacer el rango de la inversa.
Ejemplo 3: Encuentra la función inversa. Indique su dominio y rango.
Esta es la gráfica de la función original.
Los siguientes son los pasos para encontrar la inversa.
Ejemplo 4: Encuentra la función inversa. Indique su dominio y rango.
Tal vez cuando veas este problema, estoy seguro de que ya tienes el “pensamiento rápido” sobre cómo abordarlo. Esa suele ser la naturaleza de cualquier problema matemático.
Dado que la expresión racional tiene términos lineales Tanto en el numerador como en el denominador, convénzase de que, al igual que en el ejemplo anterior, tendrá una función inversa incluso sin más pruebas. Agréguelo a su caja de herramientas de matemáticas y utilícelo como su ventaja cada vez que encuentre problemas similares. Solo para verificar, el gráfico se muestra a continuación.
El resto de los pasos para encontrar la función inversa es el mismo. Hacia el final de la solución, limpié la respuesta final factorizando y luego cancelando el -1 oculto, que se encuentra tanto en el numerador como en el denominador. Aprenderá cómo hacerlo a medida que gane experiencia. O tal vez con poco sentido común.
Espero que estés de acuerdo con el dominio y el rango. Si no es así, consulte mi otra lección sobre el intercambio de dominio y rango para aclarar esto más. Recuerde, el dominio y el rango de una función dada y su inversa se intercambian.
Ejemplo 5: Encuentra la función inversa. Indique su dominio y rango.
Mostrando el gráfico de la función original.
Estos son los pasos sobre cómo resolver la inversa:
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