Voy a pasar tres ejemplos en este tutorial que muestra cómo determinar algebraicamente la inversa de una función exponencial. Pero antes de echar un vistazo a los ejemplos resueltos, le sugiero que revise los pasos sugeridos a continuación para tener una buena comprensión del procedimiento general.
Pasos para encontrar la inversa de una función exponencial
PASO 1: Cambie fleft (x derecha) por y.
grande {fleft (x derecha) ay}
PASO 2: Intercambie el color {azul} x y el color {rojo} y en la ecuación.
grande {xay}
grande {y a x}
PASO 3: Aísle la expresión exponencial en un lado (izquierdo o derecho) de la ecuación.
La expresión exponencial que se muestra a continuación es una forma genérica donde b es la base, mientras que N es el exponente.
PASO 4: Elimina la base b de la expresión exponencial tomando los logaritmos de ambos lados de la ecuación.
- Para hacer la simplificación mucho más fácil, toma el logaritmo de ambos lados usando la base de la expresión exponencial.
- Usando la regla de registro,
PASO 5: Resuelve la ecuación exponencial del color {rojo} y para obtener la inversa. Finalmente, reemplace el color {rojo} y con la notación inversa {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha) para escribir la respuesta final.
Reemplaza y con {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha)
Apliquemos los pasos sugeridos arriba para resolver algunos problemas.
Ejemplos de cómo encontrar la inversa de una función exponencial
Ejemplo 1: Encuentra la inversa de la función exponencial a continuación.
Este debería ser un problema fácil porque la expresión exponencial en el lado derecho de la ecuación ya está aislada para nosotros.
Comience reemplazando el flete de notación de función (x derecha) por y.
El siguiente paso es cambiar las variables color {rojo} x y color {rojo} y en la ecuación.
Dado que la expresión exponencial está por sí misma en un lado de la ecuación, ahora podemos obtener los logaritmos de ambos lados. Cuando obtengamos los logaritmos de ambos lados, usaremos la base del color {azul} 2 porque esta es la base de la expresión exponencial dada.
Aplique la regla del registro de exponentes que está {log _b} left ({{b ^ k}} right) = k como parte del proceso de simplificación. La regla establece que el logaritmo de un número exponencial donde su base es la misma que la base del logaritmo es igual al exponente.
¡Casi terminamos! Resuelve para y sumando ambos lados entre 5 y luego divide la ecuación por el coeficiente de y que es 3. No olvides reemplazar y por {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha). Esto significa que hemos encontrado la función inversa.
Si graficamos la función exponencial original y su inversa en el mismo plano XY, deben ser simétricas a lo largo de la línea grande {color {azul} y = x}. ¡Cuáles son!
Ejemplo 2: Encuentra la inversa de la función exponencial a continuación.
La única diferencia de este problema con el anterior es que la expresión exponencial tiene un denominador 2. Aparte de eso, los pasos serán los mismos.
Cambiamos el flete de notación de función (x derecha) ay, seguido de intercambiar los roles de las variables color {rojo} x y color {rojo} y.
En este punto, todavía no podemos realizar el paso de tomar los logaritmos de ambos lados. La razón es que la expresión exponencial del lado derecho no está completamente por sí misma. Primero tenemos que deshacernos del denominador 2.
Podemos lograr eso multiplicando ambos lados de la ecuación por 2. ¡El lado izquierdo se convierte en 2x y el denominador del lado derecho desaparece!
Al aislar la expresión exponencial en un lado, ahora es posible obtener los registros de ambos lados. Cuando hagas esto, asegúrate siempre de usar la base de la expresión exponencial como base de las operaciones logarítmicas.
En este caso, la base de la expresión exponencial es 5. Por lo tanto, aplicamos operaciones logarítmicas en ambos lados usando la base de 5.
Usando esta regla de registro, {log _b} izquierda ({{b ^ k}} derecha) = k, los cinco se cancelarán dejando el color del exponente {azul} 4x + 1 en el lado derecho de la ecuación después de la simplificación. Esto es genial, ya que la parte logarítmica de la ecuación se ha ido.
Ahora podemos terminar esto resolviendo la variable y, luego reemplazándola por {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha) para denotar que hemos obtenido la función inversa.
Como puede ver, las gráficas de la función exponencial y su inversa son simétricas con respecto a la línea grande {color {verde} y = x}.
Ejemplo 3: Encuentra la inversa de la función exponencial a continuación.
Veo que tenemos una expresión exponencial dividida por otra. Lo bueno es que las expresiones exponenciales tienen la misma base de 3. Deberíamos poder simplificar esto usando la regla de división del exponente. Para dividir expresiones exponenciales que tengan bases iguales, copie la base común y luego reste sus exponentes. A continuación se muestra la regla. El supuesto es que b ne 0.
Observe cómo el problema original se ha simplificado en gran medida después de aplicar la regla de división del exponente.
En este punto, podemos proceder como de costumbre para resolver la inversa. Reescribe fleft (x derecha) como y, seguido de intercambiar las variables color {red} x y color {red} y.
Antes de que podamos obtener los logaritmos de ambos lados, aísle la parte exponencial de la ecuación sumando ambos lados por 4.
Dado que la expresión exponencial usa la base 3, ¡también tomamos los logaritmos de ambos lados de la ecuación con base 3! Al hacerlo, el color del exponente {azul} 2y-1 en el lado derecho disminuirá, por lo que podemos continuar resolviendo para y, que es la función inversa requerida.
Verifica que nuestra respuesta es correcta porque la gráfica de las funciones exponenciales dadas y su inversa (función logarítmica) son simétricas a lo largo de la línea grande {y = x}.
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