Hallar la inversa de una función lineal

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Hallar la inversa de una función lineal

La inversa de una función lineal es mucho más fácil de encontrar en comparación con otros tipos de funciones como cuadrática y racional. La razón es que el dominio y el rango de una función lineal abarcan naturalmente todos los números reales a menos que el dominio esté restringido.

Antes de repasar cinco (5) ejemplos para ilustrar el procedimiento, quiero mostrarle cómo se relacionan el dominio y el rango de una función dada y su inversa.



¡El dominio y el rango simplemente se intercambian!

Notas a considerar sobre el diagrama:


  • El dominio de la función original se convierte en el rango de la función inversa.
  • El rango de la función original se convierte en el dominio de la función inversa.
  • Se acostumbra usar la letra grande {color {azul} x} para el dominio y grande {color {rojo} y} para el rango.

El enfoque general sobre cómo resolver algebraicamente la inversa es el siguiente:


Pasos clave para encontrar la inversa de una función lineal

  1. Reemplaza fleft (x derecha) por y.
  2. Cambie los roles de x e y, en otras palabras, intercambie x e y en la ecuación.
  3. Resuelva para y en términos de x.
  4. Reemplaza y por {f ^ {- 1}} izquierda (x derecha) para obtener la función inversa.
  5. A veces, es útil usar el dominio y el rango de la función original para identificar la función inversa correcta entre dos posibilidades. Esto sucede cuando al final obtiene un caso de "más o menos".

Ejemplos de cómo encontrar la inversa de una función lineal

Ejemplo 1: Encuentra la inversa de la función lineal

Esta función se comporta bien porque el dominio y el rango son números reales. Esto asegura que su inverso también debe ser una función. Tal vez esté familiarizado con la prueba de línea horizontal, que garantiza que tendrá una inversa siempre que ninguna línea horizontal se cruce o cruce el gráfico más de una vez.


Utilice los pasos clave anteriores como guía para resolver la función inversa:

¡Eso fue fácil!


Ejemplo 2: Encuentra la inversa de la función lineal

Hacia la parte final de la solución, quiero que el denominador sea positivo para que se vea "bien". Lo hice multiplicando tanto el numerador como el denominador por -1.


Ejemplo 3: Encuentra la inversa de la función lineal

Algunos estudiantes pueden considerar esto como una función racional porque la ecuación contiene algunas expresiones racionales. No se confunda con las fracciones aquí. Sí, tiene fracciones, sin embargo, no hay variables en el denominador. Esto la convierte en una función lineal regular.


Para resolver esto, debo deshacerme del denominador. Lo lograré multiplicando ambos lados de la ecuación por su mínimo común denominador (LCD).

Como se muestra arriba, puede escribir las respuestas finales de dos maneras. Uno con un solo denominador y el otro se descompone en fracciones parciales.

Ejemplo 4: Encuentre la inversa de la función lineal a continuación e indique su dominio y rango.

Esta es una función lineal "normal", sin embargo, con un dominio restringido. Los valores permitidos de x comienzan en x = 2 y van hasta el infinito positivo. El rango se puede determinar mediante su gráfico. Recuerde que rango es el conjunto de todos los valores de y cuando los valores aceptables de x (dominio) se sustituyen en la función.

Preste especial atención a cómo se determinan el dominio y el rango utilizando su gráfico.

Encontrar la inversa de esta función es realmente fácil. Pero tenga en cuenta cómo describir correctamente el dominio y el rango de la función inversa. Hemos repasado este concepto al comienzo de esta sección sobre el intercambio de dominio y rango.

Siempre verifique el dominio y rango de la función inversa usando el dominio y rango del original. Simplemente se intercambian.

Ejemplo 5: Encuentre la inversa de la función lineal a continuación e indique su dominio y rango.

El primer paso es graficar la función en el eje xy. Etiquete claramente el dominio y el rango.

Un círculo abierto (punto sin sombrear) significa que el número en ese punto está excluido. Si necesita actualizar este tema, consulte mi lección separada sobre cómo resolver desigualdades lineales.

En segundo lugar, encuentre la inversa algebraicamente usando los pasos sugeridos. Asegúrese de escribir el dominio y rango correctos de la función inversa.

La variable x en la ecuación original tiene un coeficiente de -1. Mantenga un registro de esto mientras resuelve la inversa.

Espero que obtenga algunas ideas básicas sobre cómo encontrar la inversa de un función lineal. Le recomiendo que revise las lecciones relacionadas sobre cómo encontrar inversas de otros tipos de funciones.

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