¿Cómo sabemos si dos líneas distintas son paralelo, perpendicular or ninguno? Para tomar esa determinación, necesitamos revisar algunos conocimientos previos sobre la pendiente.
Concepto 1: Cuando se dan dos puntos, la pendiente de una línea se puede resolver algebraicamente usando la siguiente fórmula:
Fórmula de pendiente
La pendiente, m, de una línea que pasa por dos puntos arbitrarios a la izquierda ({{x_1}, {y_1}} derecha) e izquierda ({{x_2}, {y_2}} derecha) se calcula de la siguiente manera ...
Concepto 2: Cuando se da una ecuación lineal, podemos encontrar la pendiente transformándola en la forma pendiente-intersección. Se destacará el valor de la pendiente, ya que es el coeficiente del término lineal (término x).
Forma pendiente-intersección de una línea
La ecuación lineal escrita en la forma y = mx + b está en forma pendiente-intersección donde:
Ahora, suponga que tenemos dos líneas distintas y no verticales, {ell _1} y {ell _2} en forma de pendiente-intersección.
- Línea 1:
- Línea 2:
Parallel Lines: Las rectas son paralelas si sus pendientes son iguales o iguales. Eso significa
- Pendientes iguales:
- Grafico:
Lineas perpendiculares: Las líneas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas opuestas entre sí. O, si multiplicamos sus pendientes, obtenemos un producto de -, 1. Estas líneas se cruzan en un ángulo de noventa grados, 90 °.
- Pendientes recíprocas opuestas:
- Producto de Pendientes:
- Grafico:
Ejemplos de cómo encontrar las pendientes de líneas paralelas y perpendiculares
Ejemplo 1: La línea 1 pasa por los puntos izquierda ({1,3} derecha) e izquierda ({4,9} derecha), mientras que la línea 2 pasa por la izquierda ({2,5} derecha) y la izquierda ({-, 2, -, 3} derecha). Indica si estas líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.
Comience por encontrar el valor de la pendiente de cada línea usando la fórmula de pendiente.
- Para los puntos a la izquierda ({1,3} derecha) e izquierda ({4,9} derecha)
- Para los puntos a la izquierda ({2,5} derecha) e izquierda ({-, 2, -, 3} derecha)
Dado que sus pendientes son iguales o iguales, son lineas paralelas. Otra forma de decirlo ...
NOTA: El símbolo paralelo (dos líneas verticales una al lado de la otra) significa que las líneas son paralelas entre sí.
Ejemplo 2: Una línea pasa por los puntos izquierda ({-, 7,0} derecha) e izquierda ({-, 1, -, 12} derecha). Otra línea pasa por la izquierda ({-, 1,1} derecha) y la izquierda ({-, 15, -, 6} derecha). Indica si estas líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.
Empiece a buscar las pendientes de las líneas.
- Para los puntos a la izquierda ({-, 7,0} derecha) e izquierda ({-, 1, -, 12} derecha):
- Para los puntos a la izquierda ({-, 1,1} derecha) e izquierda ({-, 15, -, 6} derecha):
Si tomo la primera pendiente {m_1} = -, 2 y obtengo su recíproco (voltearlo o invertirlo), obtengo {1 sobre {-, 2}}. Luego, si niego o cambio el signo, llego a {1 sobre 2} que es la segunda pendiente {m_2} = {1 sobre 2}. Eso hace que las pendientes sean recíprocas opuestas entre sí. Por lo tanto, estas líneas son lineas perpendiculares.
Otra forma de verificar la perpendicularidad es multiplicar las pendientes. Si el producto es {-, 1}, entonces tenemos líneas perpendiculares, ¡que es el caso aquí!
NOTA: El símbolo bot (letra T invertida) significa que las líneas son perpendiculares entre sí.
Ejemplo 3: Una línea pasa por los puntos izquierda ({4, -, 3} derecha) e izquierda ({0, -, 15} derecha). Otra línea pasa por la izquierda ({-, 2, -, 8} derecha) y la izquierda ({4, -, 10} derecha). Indica si estas líneas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos.
Al igual que en problemas anteriores, comience a resolver la pendiente de cada par de puntos.
- Para los puntos a la izquierda ({4, -, 3} derecha) e izquierda ({0, -, 15} derecha):
- Para los puntos a la izquierda ({-, 2, -, 8} derecha) e izquierda ({4, -, 10} derecha):
El producto de sus pendientes es {-, 1}, por lo tanto estas lineas son perpendiculares el uno al otro
Ejemplo 4: La primera línea pasa por los puntos izquierda ({0, -, 2} derecha) e izquierda ({1,3} derecha) mientras que una segunda línea pasa por la izquierda ({-, 9,7} derecha) y la izquierda ({1,9, XNUMX} derecha). ¿Son paralelos, perpendiculares o ninguno?
- Para los puntos a la izquierda ({0, -, 2} derecha) e izquierda ({1,3} derecha):
- Para los puntos a la izquierda ({-, 9,7} derecha) e izquierda ({1,9} derecha):
En este caso, las pendientes no son iguales por lo que son no paralelo. Las pendientes son recíprocas entre sí. Recuerde, deben ser recíprocos opuestos para cumplir con el requisito de perpendicularidad. Al igual que en nuestros ejemplos anteriores, también puede verificar multiplicando las pendientes. Aquí obtienes + 1 y no - 1, por lo que estas líneas tampoco son perpendiculares.
Por lo tanto, la respuesta final es "ninguno"!
Ejemplo 5: Indica si la línea y = {4 sobre 3} x + 2 es paralela, perpendicular o no a la línea que pasa por la izquierda ({1,1} derecha) y la izquierda ({10,13} derecha).
La ecuación dada de la línea está en la forma pendiente-intersección izquierda ({y = mx + b} derecha). Podemos identificar fácilmente la pendiente, ya que es el coeficiente del término x. Por lo tanto, su pendiente es {m_1} = {4 sobre 3}. El siguiente paso es resolver la pendiente entre los dos puntos.
Para los puntos a la izquierda ({1,1} derecha) e izquierda ({10,13} derecha):
Al tener el mismas pistas, son lineas paralelas.
Ejemplo 6: Indica si las líneas 5x + 11y = - 11 y -, 33x + 15y = 5 son paralelas o perpendiculares entre sí. De lo contrario, no diga ninguna de las dos.
Ambas ecuaciones lineales se expresan en la forma estándar izquierda ({Ax + By = C} derecha). Necesitamos transformar cada ecuación de la línea de la forma estándar a la forma de intersección de la pendiente a la izquierda ({y = mx + b} derecha) porque el valor de la pendiente es fácilmente identificable.
- Transformar 5x + 11y = - 11.
- Transformar -, 33x + 15y = 5:
Dado que las pistas son recíprocos opuestos el uno del otro (o su producto es igual a - 1), son lineas perpendiculares.
Ejemplo 7: ¿Son las líneas paralelas, perpendiculares o ninguna de las que pasan por los pares de puntos?
- Línea 1:
izquierda ({5,7} derecha) e izquierda ({7,5} derecha)
- Línea 2:
izquierda ({0,13} derecha) e izquierda ({13,0} derecha)
Solución:
Calcula la pendiente de cada par de puntos por donde pasa la línea.
- Para los puntos a la izquierda ({5,7} derecha) e izquierda ({7,5} derecha):
- Para los puntos a la izquierda ({0,13} derecha) e izquierda ({13,0} derecha):
Tienen pendientes iguales, por lo que las líneas son paralelo el uno al otro!
Ejemplo 8: ¿Son las líneas paralelas, perpendiculares o ninguna de las que pasan por los pares de puntos?
Línea 1:
izquierda ({14,1} derecha) e izquierda ({6, - 1} derecha)
Línea 2:
izquierda ({- 1,2} derecha) e izquierda ({2,14} derecha)
Solución:
- Para los puntos a la izquierda ({14,1} derecha) e izquierda ({6, - 1} derecha):
- Para los puntos a la izquierda ({- 1,2} derecha) e izquierda ({2,14} derecha):
Las pendientes no son recíprocas iguales ni opuestas. La respuesta es "ninguno".
Ejemplo 9: Indica si las líneas -, 49x + 7y = -, 2 y -, 28x + 4y = 3 son paralelas o perpendiculares entre sí. De lo contrario, no diga ninguna de las dos.
Solución:
Transforme cada ecuación de la línea de la forma estándar a la izquierda ({Ax + By = C} derecha) a la forma de intersección de pendiente a la izquierda ({y = mx + b} derecha) para identificar fácilmente el valor de la pendiente.
- Transformar -, 49x + 7y = -, 2:
- Transformar -, 28x + 4y = 3:
Las pistas son las mismas. Ellos son lineas paralelas.
