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    Hipotenusa adyacente opuesta: explicación y ejemplos

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    Martí Micolau
    @martímicolau

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    Hipotenusa adyacente opuesta: explicación y ejemplos

    Los términos opuesto, adyacente e hipotenusa se llaman las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Se considera que un triángulo rectángulo es una de las figuras más poderosas de las matemáticas. Podemos resolver fácilmente problemas verbales complejos y reales si sabemos cómo averiguar la relación profunda de los lados de un triángulo rectángulo.

    Los términos hipotenusa, adyacente, opuesto se utilizan para representar los lados de un triángulo rectángulo. La experiencia de los bloques de construcción en Trigonometría es poder discutir y resolver diferentes lados de un triángulo rectángulo profundamente relacionados entre sí para resolver problemas del mundo real.



    ¿Te imaginas encontrar la altura de la torre más alta del mundo, Burj Khalifa, mientras estás parado en el suelo a cierta distancia de ella? Una idea es hacer una suposición estimada, pero un mejor enfoque para encontrar la altura es utilizar el conocimiento de la triángulo rectángulo. Si solo conoce el ángulo aproximado que forma la torre con el suelo, puede determinar la altura del Burj Khalifa mientras está parado en el suelo.

    Imagínense, con solo dos piezas de información - la distancia en el suelo y el ángulo aproximado que forma la torre con el suelo - puedes lograr lo que de otro modo sería imposible. ¿Pero cómo? Eso es exactamente lo que intentaremos aprender en trigonometría usando los triángulos rectángulos. Esta es la razón triángulos rectángulos son uno de los conceptos más influyentes en matemáticas.

    Después de estudiar esta lección, se espera que aprendamos los conceptos impulsados ​​por las siguientes preguntas y que estemos calificados para abordar respuestas precisas, específicas y consistentes a estas preguntas.

    • ¿Cómo hallas los lados adyacente, hipotenusa y opuesto del triángulo rectángulo?
    • ¿Cuál es el lado opuesto del triángulo rectángulo?
    • ¿Cuál es el lado adyacente del triángulo rectángulo?
    • ¿Cómo se relacionan profundamente entre sí los diferentes lados (hipotenusa, adyacente, opuesto) de un triángulo?
    • ¿Cómo podemos resolver problemas del mundo real usando el triángulo rectángulo?

    Esta lección tiene como objetivo aclarar cualquier confusión que pueda tener sobre los conceptos que involucran triángulos rectángulos.



    ¿Cómo hallas los lados adyacente, hipotenusa y opuesto del triángulo rectángulo?

    Un triángulo se conoce como triángulo rectángulo en el que uno de los ángulos interiores es un ángulo recto - mide $ 90 ^ {circ} $. La siguiente Figura 1-1 representa un triángulo rectángulo típico. Las longitudes de los tres catetos (lados) del triángulo rectángulo se denominan $ a $, $ b $ y $ c $. Los ángulos opuestos a los catetos de las longitudes $ a $, $ b $ y $ c $ se denominan $ alpha $, $ beta $ y $ gamma $. El pequeño cuadrado designado al ángulo $ gamma $ muestra que es un ángulo recto.


    Una práctica común es que un triángulo se etiquete en términos de nombrar los lados con letras minúsculas y los ángulos (vértices) opuestos a los lados con las letras minúsculas correspondientes. 

    El siguiente diagrama 1-2 representa el hipotenusa - el lado más largo - de un triángulo rectángulo. En el diagrama se desprende claramente que el hipotenusa de un triángulo rectángulo es opuesto al ángulo recto $ gamma $. Ese lado uno siempre seguirá siendo la hipotenusa independientemente del ángulo que estemos mirando porque es un lado único. 



    Los otros dos lados, adyacente y opuesto, se nombran con respecto a la ubicación del ángulo de referencia. Asegúrese de reconocer claramente cómo se etiquetan los catetos de los triángulos.

    El siguiente diagrama 1-3 representa el lado adyacente. En el diagrama se desprende claramente que el lado adyacente de un triángulo rectángulo es justo al lado al ángulo de referencia $ alpha $.

    El siguiente diagrama 1-4 representa el lado opuesto todo el camino a través del otro lado desde el ángulo de referencia $ alpha $. En el diagrama se desprende claramente que el lado opuesto de un triángulo rectángulo se encuentra exactamente opuesto al ángulo de referencia $ alpha $.


    Combinando todo lo referente al ángulo de referencia $ alpha $, obtenemos la ilustración que se muestra en la Figura 1-5.

    Por ejemplo, utilizando el triángulo rectángulo que se muestra en la siguiente figura para determinar lo contrario, adyacente, y la hipotenusa del triángulo rectángulo con respecto al ángulo $ alpha $ como se muestra a continuación.

    El lado opuesto de un triángulo rectángulo

    Mirando el diagrama de arriba, el lado $ a $ se encuentra exactamente opuesto al ángulo de referencia $ alpha $. Por lo tanto, $ a $ es la lado opuesto del triángulo rectángulo con respecto al ángulo de referencia $ alpha $, como se muestra a continuación.

    El lado adyacente de un triángulo rectángulo

    Del mismo diagrama se desprende claramente que el lado $ b $ es justo al lado al ángulo de referencia α. Por lo tanto, $ b $ es la lado adyacente del triángulo rectángulo con respecto al ángulo de referencia $ alpha $, como se muestra a continuación.

    La hipotenusa de un triángulo rectángulo

    El diagrama también muestra claramente que el lado $ c $ es opuesto al ángulo recto $ gamma $. Por tanto, $ c $ es el hipotenusa del triángulo rectángulo, como se muestra a continuación.

    La relación entre el triángulo rectángulo y el Teorema de Pitágoras

    El teorema de Pitágoras es uno de los conceptos más poderosos de las matemáticas. Necesitamos dibujar el triángulo rectángulo para entender este concepto. La figura 1-6 representa un triángulo rectángulo simple con los lados $ a $, $ b $ y $ c $.

    ¿Qué tiene de singular este triángulo o este teorema?

    El teorema de Pitágoras establece que la hipotenusa tiene una relación particular con los otros dos catetos. Dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. No debemos olvidar que solo es válido en el caso de un triángulo rectángulo.

    El diagrama muestra que la longitud $ c $ es la hipotenusa del triángulo rectángulo. Según el teorema de Pitágoras, la hipotenusa, $ c $, de un triángulo rectángulo está asociada con los otros lados, $ a $ y $ b $.

    $ c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} $

    Usando el teorema de Pitágoras, podemos resolver numerosos problemas verbales reales.

    Por ejemplo:

    Supongamos que el Sr. Tony camina $ 12 $ kilómetros al este y luego $ 5 $ kilómetros al norte. Determine qué tan lejos está de su posición inicial.

    Paso $ 1 $: Dibujar un diagrama

    Paso $ 2 $: Establece una ecuación y resuelve

    El diagrama muestra claramente que se trata de un triángulo rectángulo. Aquí:

    La distancia recorrida hacia el Este $ = b = 12 $ km

    La distancia recorrida hacia el Norte $ = a = 5 $ km

    Tenemos que determinar la hipotenusa, $ c $, para encontrar qué tan lejos el Sr. Tony de su posición inicial. Por lo tanto, usando el teorema de Pitágoras

    $ c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} $

    $c^{2}=5^{2}+12^{2}$

    $ c ^ {2} = 25 + 144 $

    $ c ^ {2} = 169 $

    $ c = 13 $ km

    Por lo tanto, el Sr. Tony está a $ 13 $ kilómetros de su posición inicial.

    Ejemplo $ $ 1

    Dado el triángulo rectángulo $ XYZ $, ¿qué lado es adyacente con respecto al ángulo de referencia $ X $?

    Solución:

    Está claro en el diagrama que el lado $ XZ $ es justo al lado al ángulo de referencia $ X $. Por lo tanto, $ XZ $ es la lado adyacente del triángulo rectángulo $ XYZ $ con respecto al ángulo de referencia $ X $.

    Ejemplo $ $ 2

    Dado el triángulo rectángulo $ PQR $, ¿qué lado es el opuesto con respecto al ángulo de referencia $ P $?

    Del diagrama se encuentra el lado $ QR $ exactamente opuesto al ángulo de referencia $ P $. Por tanto, $ QR $ es el lado opuesto del triángulo rectángulo $ PQR $ con respecto al ángulo de referencia $ P $.

    Ejemplo $ $ 3

    Dado el triángulo rectángulo $ LMN $, ¿de qué lado es la hipotenusa?

    Solución:

    Mirando el diagrama de arriba, $ ∠N $ es un ángulo recto.

    Además, el lado $ LM $ es opuesto al ángulo recto $ N $. Por lo tanto, $ LM $ es la hipotenusa del triángulo rectángulo $ LMN $.

    Ejemplo $ $ 4

    Dado el triángulo rectángulo, determina

            $ 1 $. lo contrario 

           $ $ 2. el adyacente

           $ $ 3. la hipotenusa

    de un triángulo rectángulo con respecto al ángulo $ alpha $.

    Solución:

           $ $ 1. Lo contrario

    Mirando el diagrama de arriba, el ángulo $ gamma $ es un ángulo recto.

    Está claro que el lado $ 5 $ miente exactamente opuesto al ángulo de referencia $ alpha $.

    Por lo tanto,

    El lado opuesto = $ 5 $ unidades

           $ $ 2. El adyacente

    Está claro que el lado $ 12 $ es derecho al lado de el ángulo de referencia $ alpha $.

    Por lo tanto,

    El lado adyacente = $ 12 $ unidades

           $ $ 3. La hipotenusa

    El diagrama muestra claramente que el lado $ 13 $ es opuesto al ángulo recto $ gamma $.

    Por lo tanto,

    La hipotenusa = $ 13 $ unidades

    Preguntas de práctica

    $ 1 $. Dado el triángulo rectángulo $ XYZ $, ¿de qué lado es la hipotenusa?

    $ 2 $. Dado el triángulo rectángulo $ LMN $, ¿qué lado es el opuesto con respecto al ángulo de referencia $ L $?

    $ 3 $. Dado el triángulo rectángulo $ PQR $, ¿qué lado es adyacente con respecto al ángulo de referencia $ P $?

    $ 4 $. Dado el triángulo rectángulo, determina

           $ 1 $. lo contrario 

           $ $ 2. el adyacente

           $ $ 3. la hipotenusa

    de un triángulo rectángulo con respecto al ángulo $ alpha $.

    $ 5 $. El Sr. David camina $ 15 $ kilómetros al este y luego $ 8 $ kilómetros al norte. Determine qué tan lejos está de su posición inicial.

    Clave de respuestas:

    $ 1 $. $ XY $ es la hipotenusa

    $ 2 $. $ MN $ es el opuesto con respecto al ángulo de referencia $ L $

    $ 3 $. $ PR $ es adyacente con respecto al ángulo de referencia $ P $

    $ a) $ Lo contrario $ = 3 $

    $ b) $ El $ adyacente = 4 $

    $ c) $ La hipotenusa $ = 5 $

    $ 5 $. $ 17 $ kilómetros



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