En esta lección, vamos a demostrar declaraciones de divisibilidad usando inducción matemática. Si es la primera vez que hace una demostración por inducción matemática, le sugiero que revise mi otra lección que trata de los enunciados de suma. La razón es que los estudiantes que son nuevos en el tema generalmente comienzan con problemas que involucran sumas seguidas de problemas relacionados con la divisibilidad.
Pasos para demostrar por inducción matemática
- Muestre que el paso básico es verdadero. Es decir, el enunciado es verdadero para n = 1.
- Suponga que el enunciado es verdadero para n = k. Este paso se llama hipótesis de inducción.
- Demuestre que el enunciado es verdadero para n = k + 1. Este paso se llama paso de inducción
¿Qué significa a divide b?
Dado que vamos a probar los enunciados de divisibilidad, necesitamos saber cuándo un número es divisible por otro. Entonces, ¿cómo sabemos con certeza si uno divide al otro?
Suponga que el color {blue} Large {a} y el color {blue} Large {b} son números enteros. Si el color {blue} Large {a} divide el color {blue} Large {b}, entonces podemos escribirlo como un ecuación
donde color {red} Large {c} es un número entero.
Repasemos algunos ejemplos concretos.
- 2 divide 10 porque 10 = 2 {color {red} (5)} donde color {red} 5 es un número entero
- 8 divide 136 porque 136 = 8 {color {red} (17)} donde color {red} 17 es un número entero
- 11 divide 143 implica 143 = 11 {color {red} (13)} donde color {red} 13 es un número entero
- 17 divide 323 implica 323 = 17 {color {red} (19)} donde color {red} 19 es un número entero
Ejemplos de demostraciones de divisibilidad por inducción matemática
Ejemplo 1: Utilice la inducción matemática para demostrar que grande {n ^ 2} + n es divisible por grande {2} para todos los enteros positivos grandes {n}.
a) Paso básico: mostrar verdadero para n = 1.
{n ^ 2} + n = {izquierda (1 derecha) ^ 2} + 1
= 1 + 1
= 2 ✅
Sí, 2 es divisible por 2.
b) Suponga que el enunciado es verdadero para n = k. Por lo tanto, {n ^ 2} + n se convierte en {k ^ 2} + k donde k es un número entero positivo.
Ahora, escribe {k ^ 2} + k como parte de una ecuación que denota que es divisible por 2.
{k ^ 2} + k = 2x
para algún entero x.
Resuelve el color {rojo} k ^ 2. Usaremos esto para sustitución más adelante.
{color {rojo} {k ^ 2}} = 2x - k
c) Demuestre que el enunciado es verdadero para n = k + 1.
Donde y = x + k + 2, y dado que x y k son números enteros, entonces y también es un número entero.
Esto significa que {left ({k + 1} right) ^ 2} + left ({k + 1} right) también es divisible por 2.
por tanto, según el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para todos los enteros positivos.
Ejemplo 2: Utilice la inducción matemática para demostrar que grande {n ^ 3} - n + 3 es divisible por grande {3} para todos los enteros positivos grandes {n}.
a) ¿Es cierto para n = 1?
{n ^ 3} - n + 3 = {izquierda (1 derecha) ^ 3} - izquierda (1 derecha) + 3
= 1 - 1 + 3
= 3 ✅
Sí, es divisible por 3.
b) Suponga cierto para n = k.
{n ^ 3} - n + 3 → {k ^ 3} - k + 3 donde k en mathbb {Z} ^ +
Luego, exprese {k ^ 3} - k + 3 como parte de una ecuación que sugiere que es divisible por 3.
{k ^ 3} - k + 3 = 3x
para algún entero x
Resuelve el color {rojo} k ^ 3. Esto se utilizará para sustitución más adelante.
{color {red} {k ^ 3}} = 3x + k - 3
c) Demuestre que el enunciado es verdadero para n = k + 1.
Observe, y = x + {k ^ 2} + k. Dado que x y k son números enteros, entonces y también debe ser un número entero.
Hemos demostrado que {izquierda ({k + 1} derecha) ^ 3} - izquierda ({k + 1} derecha) + 3 es divisible por 3.
por tanto, según el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para todos los enteros positivos.
Ejemplo 3: Utilice la inducción matemática para demostrar que grande {2 ^ {2n}} - 1 es divisible por grande {3} para todos los enteros positivos grandes {n}.
a) Paso básico: demuestre que la afirmación es verdadera para n = 1.
{2 ^ {2n}} - 1 = {2 ^ {2left (1 right)}} - 1
= {2 ^ 2} - 1
= 4 - 1
= 3 ✅
Sí, es divisible por 3.
b) Suponga que el enunciado es verdadero para n = k.
Sustituya k por n para transformar grande {2 ^ {2n}} - 1 en grande {2 ^ {2k}} - 1.
Suponga que k es un entero positivo, si grande {2 ^ {2k}} - 1 es divisible por 3, entonces existe un entero x tal que
grande {2 ^ {2k}} - 1 = 3 {color {azul} x}
Resolvamos para color grande {rojo} {2 ^ {2k}}. Esto se utilizará en nuestro paso inductivo en la parte c.
grande {color {rojo} {2 ^ {2k}}} = 3x + 1
c) Demuestre que el enunciado es verdadero para n = k + 1.
Tenga en cuenta, y = 4x + 1. Espero que puedas ver que y es un número entero ya que x también es un número entero.
Claramente, grande {2 ^ {2left ({k + 1} right)}} - 1 es divisible por 3.
por tanto, según el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para todos los enteros positivos.
Ejemplo 4: Utilice la inducción matemática para demostrar que grande {9 ^ n} + 3 es divisible por grande {4} para todos los enteros positivos grandes {n}.
a) ¿Es cierto para n = 1?
grande {9 ^ n} + 3 = {9 ^ 1} + 3
grande = 9 + 3
grande = 12 ✅
Sí, 12 es divisible por 4.
b) Suponga que el enunciado es verdadero para n = k.
Reemplaza n por k, por lo que tenemos {9 ^ k} + 3. grande. Ahora, escribe {9 ^ k} + 3 grande en una ecuación que muestre que es divisible por 4.
Suponga que k es un entero positivo, si grande {9 ^ k} + 3 es divisible por 4, entonces existe un entero x tal que
grande {9 ^ k} + 3 = 4 {color {azul} x}
Resuelva para el color grande {rojo} {9 ^ k}.
grande {color {rojo} {9 ^ k}} = 4x - 3
c) Demuestre que el enunciado es verdadero para n = k + 1.
Donde y = 9x - 6 e y es un número entero porque x es un número entero.
Esto significa que {9 ^ {k + 1}} + 3 grande es divisible por 4.
por tanto, según el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para todos los enteros positivos.
Ejemplo 5: Utilice la inducción matemática para demostrar que grande {8 ^ n} - {3 ^ n} es divisible por grande {5} para todos los enteros positivos grandes {n}.
a) Paso básico: mostrar verdadero para n = 1.
grande {8 ^ n} - {3 ^ n} = {8 ^ 1} - {3 ^ 1}
grande = 8 - 3
grande = 5 ✅
Sí, es divisible por 5.
b) Suponga que el enunciado es verdadero para n = k.
Transforme {8 ^ n} grande - {3 ^ n} en {8 ^ k} grande - {3 ^ k}.
Escribe {8 ^ k} - {3 ^ k} grande en una ecuación que exprese que es divisible por 5.
grande {8 ^ k} - {3 ^ k} = 5 {color {azul} x}
para algún entero positivo x
Resuelva para el color grande {rojo} {8 ^ k}. Usaremos esto para la sustitución en la parte c.
grande {color {rojo} {8 ^ k}} = 5x + {3 ^ k}
c) Demuestre que el enunciado es verdadero para n = k + 1.
donde grande {y = {8x + {3 ^ k}}}
y es un número entero ya que x y k son números enteros
Hemos demostrado que {8 ^ {k + 1}} grande - {3 ^ {k + 1}} es divisible por 5.
por tanto, según el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para todos los enteros positivos.
Ejemplo 6: Utilice la inducción matemática para demostrar que grande {5 ^ {2n - 1}} + 1 es divisible por grande {6} para todos los enteros positivos grandes {n}.
a) Paso básico: mostrar verdadero para n = 1.
grande {5 ^ {2n - 1}} + 1 = {5 ^ {2izquierda (1 derecha) - 1}} + 1
grande = {5 ^ {2 - 1}} + 1
grande = {5 ^ 1} + 1
grande = 5 + 1
grande = 6 ✅
Sí, es divisible por 6.
b) Suponga cierto para n = k. Tenemos grandes {5 ^ {2k - 1}} + 1.
Escribe {5 ^ {2k - 1}} + 1 grande en una ecuación que exprese que es divisible por 6.
grande {5 ^ {2k - 1}} + 1 = 6 {color {azul} x}
para algún entero x
Resuelva para color grande {rojo} {5 ^ {2k}}.
c) Demuestre que el enunciado es verdadero para n = k + 1.
donde y = 25x - 4
Obviamente y es un número entero ya que x también es un número entero
Claramente, {5 ^ {2left ({x + 1} right) - 1}} + 1 grande es divisible por 6.
por tanto, según el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para todos los enteros positivos.
Ejemplo 7: Utilice la inducción matemática para demostrar que grande {9 ^ n} - {2 ^ n} es divisible por grande {7} para todos los enteros positivos grandes {n}.
a) Demuestre verdadero para n = 1.
grande {9 ^ n} - {2 ^ n} = {9 ^ 1} - {2 ^ 1}
grande = 9 - 2
grande = 7
b) Suponga cierto para n = k.
grande {9 ^ n} - {2 ^ n} se vuelve grande {9 ^ k} - {2 ^ k}
Escriba grande {9 ^ k} - {2 ^ k} en la ecuación expresando que es divisible por grande {7}.
grande {9 ^ k} - {2 ^ k} = 7 {color {azul} x}
para algún entero positivo grande {x}
Resuelva para el color grande {rojo} {9 ^ k}:
grande {color {rojo} {9 ^ k}} = 7x + {2 ^ k}
c) Demuestre que el enunciado es verdadero para n = k + 1.
Como y es un número entero, {9 ^ {k + 1}} grande - {2 ^ {k + 1}} es divisible por 7.
por tanto, según el principio de inducción matemática, el enunciado es verdadero para todos los enteros positivos.
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