En esta lección, solo nos ocuparemos de 2 × 2 matrices cuadradas. He preparado cinco (5) ejemplos prácticos para ilustrar el procedimiento sobre cómo resolver o encontrar la matriz inversa usando el Método de fórmula.
Solo para proporcionarle la idea general, dos matrices son inversas entre sí si su producto es el matriz de identidad. Una matriz de identidad con una dimensión de 2 × 2 es una matriz con ceros en todas partes pero con unos en la diagonal. Se parece a esto.
Es importante saber cómo se relacionan una matriz y su inversa por el resultado de su producto. Por lo que entonces,
- Si una matriz A de 2 × 2 es invertible y se multiplica por su inversa (denotado por el símbolo A - 1), el producto resultante es la matriz de identidad que se denota con I. Para ilustrar este concepto, consulte el diagrama a continuación.
- De hecho, puedo cambiar el orden o la dirección de la multiplicación entre las matrices A y A − 1, y todavía obtendría la matriz de identidad I. Eso significa que las matrices invertibles son conmutativas.
¿Cómo encontramos la inversa de una matriz? La fórmula es bastante simple. Mientras lo siga, no debería haber ningún problema. Aquí vamos.
La fórmula para encontrar la inversa de una matriz de 2 × 2
Dada la matriz A
Su inverso se calcula mediante la fórmula
donde color {red} {rm {det}}, A se lee como el determinante de la matriz A.
Algunas observaciones sobre la fórmula:
- Las entradas color {blue} ay color {blue} d de la matriz A se intercambian o intercambian en términos de posición en la fórmula.
- Las entradas color {azul} by color {azul} c de la matriz A permanecen en sus posiciones actuales, sin embargo, los signos están invertidos. En otras palabras, coloque símbolos negativos delante de las entradas by c.
- Dado que el color {red} {rm {det}}, A es solo un número, entonces el {1 grande sobre {{rm {det}} A}} también es un número que serviría como multiplicador escalar de la matriz.
Vea mi lección separada sobre multiplicación escalar de matrices.
Ejemplos de cómo encontrar la inversa de una matriz de 2 × 2
Ejemplo 1: Encuentre la inversa de la matriz de 2 × 2 a continuación, si existe.
La fórmula requiere que encontremos el determinante de la matriz dada. ¿Recuerdas cómo hacer eso? Si no, está bien. Repase la siguiente fórmula sobre cómo resolver el determinante de una matriz de 2 × 2.
Entonces, el determinante de la matriz A es
Para encontrar la inversa, solo necesito sustituir el valor de {rm {det}} A = - 1 en la fórmula y realizar una “reorganización” de las entradas y, finalmente, realizar una multiplicación escalar.
- Aquí va de nuevo la fórmula para encontrar la inversa de una matriz de 2 × 2.
- Ahora, encontremos la inversa de la matriz A.
Luego, verifiquemos si nuestra matriz inversa es correcta realizando la multiplicación de matrices de A y A - 1 de dos formas, y ver si estamos obteniendo la matriz de identidad.
Dado que la multiplicación de ambas formas genera la matriz de identidad, ¡entonces tenemos la garantía de que la matriz inversa obtenida usando la fórmula es la respuesta correcta!
Ejemplo 2: Encuentre la inversa de la matriz de 2 × 2 a continuación, si existe.
Primero, encuentre el determinante de la matriz B.
En segundo lugar, sustituya el valor de el B = 1 en la fórmula y luego reorganice las entradas de la matriz B para que se ajusten a la fórmula.
Te dejo a ti verificar que
En otras palabras, el producto matricial de B y B − 1 en cualquier dirección produce la matriz de identidad.
Ejemplo 3: Encuentre la inversa de la matriz a continuación, si existe.
Este es un gran ejemplo porque el determinante no es ni +1 ni -1, lo que generalmente da como resultado una matriz inversa con entradas racionales o fraccionarias. Debo admitir que la mayoría de los problemas que dan los profesores a los estudiantes sobre la inversa de una matriz de 2 × 2 es similar a este.
Paso 1:: Encuentre el determinante de la matriz C.
- La fórmula para encontrar el determinante
- A continuación se muestra la solución animada para calcular el determinante de la matriz C
Paso 2:: El determinante de la matriz C es igual a −2. Reemplaza el valor en la fórmula y luego simplifica para obtener la inversa de la matriz C.
Paso 3:: Compruebe si la matriz inversa calculada es correcta realizando la multiplicación de matrices izquierda y derecha para obtener la matriz de identidad.
Sí, la multiplicación de matrices funciona en ambos casos, como se muestra a continuación.
Primer caso:
Segundo caso:
Ejemplo 4: Encuentre la inversa de la matriz a continuación, si existe.
En nuestros tres ejemplos anteriores, logramos encontrar la inversa de las matrices 2 por 2 dadas. No quiero darles la impresión de que todas las matrices 2 por 2 tienen inversas.
En este ejemplo, quiero ilustrar cuando una matriz dada de 2 por 2 no tiene una inversa. ¿Cómo sucede eso?
Si volvemos a revisar la fórmula, es obvio que esta situación puede ocurrir cuando el determinante de la matriz dada es cero porque 1 dividido por cero no está definido. Entonces, un término indefinido distribuido en cada entrada de la matriz no tiene ningún sentido.
Volvamos al problema para encontrar el determinante de la matriz D.
Por lo tanto, la inversa de la matriz D no existe porque el determinante de D es igual a cero. ¡Esta es nuestra respuesta final!
Ejemplo 5: Encuentre la inversa de la matriz a continuación, si existe.
Paso 1:: Encuentre el determinante de la matriz E.
Paso 2:: Reorganice las entradas de la matriz E para que se ajusten a la fórmula y sustituya el valor resuelto del determinante de la matriz E. Distribuya el valor de {1 sobre {{rm {det}} E}} grande a las entradas de la matriz E y luego simplificar, si es posible.
Paso 3:: Verifique su respuesta comprobando que obtiene la matriz de identidad en ambos escenarios.
Primer escenario:
Segundo escenario:
Practica con hojas de trabajo
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