La dirección de un vector: explicación y ejemplos

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La dirección de un vector: explicación y ejemplos

En el ámbito de la geometría vectorial, la dirección de un vector juega un papel fundamental. La dirección de un vector se define como:

"La dirección de un vector es la dirección en la que actúa".

Teniendo en cuenta la importancia de la dirección, sigamos adelante.   

Cubriremos los siguientes temas en esta sección:

  • ¿Cuál es la dirección de un vector?
  • ¿Cómo encontrar la dirección de un vector?
  • ¿Cuál es la fórmula para encontrar la dirección de un vector?
  • Ejemplos
  • Problemas de práctica 

 

¿Cuál es la dirección de un vector?

Un vector es una cantidad física descrita por una magnitud y una dirección. Una cantidad vectorial se representa mediante un diagrama vectorial y, por tanto, tiene una dirección: la orientación a la que apunta el vector se especifica como la dirección de un vector. 



En la convención, donde su diagrama vectorial representa un vector, su dirección está determinada por el ángulo en sentido antihorario que forma con el eje x positivo. Según una escala, el diagrama vectorial es una línea con una punta de flecha que indica la dirección del vector. 

A = | A | A

| A | representa la magnitud y  representa el vector unitario.

Por ejemplo, para describir completamente la velocidad de un cuerpo, tendremos que mencionar su magnitud y dirección. Esto significa que tendremos que mencionar qué tan rápido va en términos de distancia recorrida por unidad de tiempo y describir en qué dirección se dirige. 

Entonces, si decimos que un automóvil se mueve a 40 km / h. Esta declaración solo describe la velocidad del cuerpo. Si alguien dice que un automóvil se mueve a 40 km / hr y se dirige hacia el norte. Esta declaración describe la velocidad del automóvil. Nos dice la magnitud en la que se mueve el automóvil y la dirección en la que se dirige.  



Por eso, para que describamos un vector, la dirección es tan vital como la magnitud. Si dijéramos que los chocolates están a 3 metros del aula hacia el norte, tendría más sentido. 

Hemos visto en el ejemplo mencionado anteriormente cómo la dirección es importante para una cantidad vectorial.

La punta de flecha dona la dirección del vector y la cola representa el punto de acción. Hay dos formas convencionales de describir la dirección de un vector.

  • La dirección de un vector se puede describir por el ángulo que forma su cola con el Este, Norte, Oeste o Sur. Por ejemplo, al describir un vector, se puede decir que un vector se dirige 80 ° al sur del este. Esto significa que el vector se ha girado 80 ° desde el este hacia el sur. El vector violeta representa esto. 

De manera similar, otro vector puede estar 65 ° al sur del oeste. Esto significa que se dirige 65 ° alrededor de la cola desde el oeste hacia el sur. El vector verde denota esto.

  • Otra forma de describir un vector es mediante el ángulo de rotación en sentido antihorario desde el "Este". Según esto, un vector con una dirección de 50 ° se dirige 50 ° desde el Este.

Veamos este diagrama vectorial. Si se dice que un vector tiene una dirección de 50 °. El truco para averiguarlo es precisar la cola del vector alineado con el este o el eje x. Ahora rote el vector 50 ° en sentido antihorario alrededor de su cola. 


Ahora tome otro ejemplo. Suponga que un vector tiene una dirección de 200 °. Esto significa que la cola del vector se fija en el este y luego se gira 200 ° en sentido antihorario.


Del mismo modo, también se puede utilizar un sistema de coordenadas rectangular. En ese caso, el ángulo se calculará a partir del eje x positivo. 

Ahora, consideremos algunos ejemplos para comprender mejor este concepto. 

ejemplo 1

Dibuja un vector 30 ° al norte del oeste. 

Solución

ejemplo 2

Dibuja un vector con dirección 60 ° al este del norte.

Solución

¿Cómo encontrar la dirección de un vector?

La dirección de un vector está determinada por el ángulo que forma con la línea horizontal. 


Hay dos métodos para encontrar la dirección de un vector: 

  1. Método gráfico
  2. Usando la fórmula de la tangente inversa

Método gráfico

El método gráfico, como su nombre indica, requiere que dibuje el vector gráficamente y luego calcule el ángulo. Los pasos para el método gráfico son los siguientes: 


  1. Dibuja los vectores individuales con sus colas en el origen y según sus ángulos. 
  2. Usando la regla de la cabeza a la cola, suma los vectores. 
  3. El vector resultante R se dirige desde la cola del primer vector A a la cabeza del segundo vector B
  4. Luego, la magnitud y la dirección del vector se determinan usando la regla y el transportador. La longitud del vector resultante R le dará magnitud. 
  5. Para la dirección, dibuje una línea paralela al eje x que pase por el punto de inicio del vector resultante R. Mide el ángulo entre la línea horizontal y la resultante.

Sin embargo, aquí está el problema: este método es solo para una comprensión básica. Se complica si tiene que agregar varios vectores y no siempre da el resultado más preciso. Siempre existe la posibilidad de un error humano. Por tanto, tenemos el segundo método: 

La fórmula de la tangente inversa 

Usamos la función de tangente inversa para encontrar el ángulo que forma con la línea horizontal

Esto es posible si tiene los puntos de coordenadas inicial y final de un vector en un plano. Está dado por:

θ = tan-1 (y/x)

ejemplo 3

Un vector se dirige desde el origen al (3,5). Determina su dirección. 

Solución

Aquí podemos ver eso 

a = x = 3

b = y = 5

θ = tan-1 (a / b) 

θ = tan-1 (3/5)

θ = 30.9 °

El vector se dirige a 30.9 ° desde el eje x. 

Ahora, considere un caso en el que la cola no está ubicada en el origen, sino que el vector está ubicado en otro lugar del plano. En este caso, la fórmula se modifica de la siguiente manera: 

Por propiedad pitagórica, sabemos: 

tanθ = Δy / Δx

tanθ = (y2 - y1) / (x2 - x1)

θ = tan-1 (y2 - y1) / (x2 - x1)

Entonces, la fórmula se modifica como:

θ = tan-1 (y1 - y0) / (x1 - x0)

El ángulo dado por esto es de la línea horizontal, que corre paralela al eje x. 

Resolvamos algunos ejemplos para entender este concepto. 

ejemplo 4

Encuentre la dirección del vector ubicado de A (2,1) a B (6,9)

Δx = x1 - x0 = 6 -2 = 4

Δy = y1 - y0 = 9 -1 = 8

Solución

Usando fórmula:

θ = tan-1 (y1 - y0) / (x1 - x0)

θ = tan-1 (8/4)

θ = 63.4 °

Las convenciones para la dirección de un vector

Pasemos a un caso mucho más difícil. 

Hemos visto que en el ejemplo anterior, el vector se encuentra en el primer cuadrante. Veamos cómo funciona para el resto de cuadrantes. Esto se puede determinar mediante los signos de las coordenadas del vector, que determinan el cuadrante en el que se encuentra el ángulo. 

Para ello, se deben seguir ciertas convenciones:

  1. Si ambas coordenadas son positivas, entonces el ángulo existe en el primer cuadrante y se considera como el ángulo estándar. θ = Ⲫ
  2. Si la coordenada y es positiva, pero la coordenada x es negativa, entonces el ángulo existe en el segundo cuadrante, entonces el ángulo estándar es: θ = 2 + Ⲫ
  3. Si ambas coordenadas son negativas, entonces el ángulo existe en el tercer cuadrante, entonces el ángulo estándar es: θ = 3 + Ⲫ
  4. Si la coordenada x es positiva, pero la coordenada y es negativa, entonces el ángulo estándar es: θ = 360 + Ⲫ. 

Veamos esto con la ayuda de ejemplos.

ejemplo 5

Encuentre la dirección de un vector dirigido desde el origen a las coordenadas (6, -7). 

Solución

Tomaremos la ayuda de la fórmula de la tangente inversa: 

θ = tan-1 (-7/6)

θ = -49.23 °

Aquí podemos ver a partir de las coordenadas del vector que estaba en el cuadrante IV. 

Ahora, aquí está el trato:

La fórmula da el ángulo más corto desde el eje x positivo o negativo. La convención es representar el ángulo con un signo positivo desde el eje x positivo. Para ello restamos 360 ° al ángulo obtenido. 

θ '= -49.23 + 360

θ = 310.77 °

ejemplo 6

Encuentre la dirección del vector (-4,3).

Solución

Al observar las coordenadas, sabemos que el vector se encuentra en el cuadrante II:

θ = tan-1 (3 / -4)

θ = -36.87 °

Este es el ángulo del eje x negativo. Ahora, para obtener la respuesta positiva y calculada a partir del eje x positivo en sentido antihorario: 

θ = -36.87 + 180

θ = 143.13 °

desde el eje x positivo en sentido antihorario. 

Para encontrar la dirección del vector resultante

Continuando, veamos cómo podemos encontrar la dirección de la resultante de dos o más vectores. 

Como sabe, para calcular el vector resultante de dos o más vectores individuales, primero encontramos sus respectivas coordenadas rectangulares. A continuación, sumamos el componente xy el componente y de los dos vectores. El componente x y el componente y resultantes son, de hecho, los componentes del vector resultante. 

A continuación se muestran los pasos para calcular la dirección de una resultante de dos o más vectores: 

Digamos que tienes vectores A y B, y desea encontrar su resultante y dirección.

  1. Disuelva ambos vectores en sus componentes rectangulares. 
  2. Sabemos, R = A + B. De manera similar, los Rₓ = Aₓ + Bₓ y R? = A? + B?
  3. Ahora, usando la propiedad de la tangente inversa, reemplace xey con componentes x, y de la resultante, es decir, = tan-1(Ry / Rx)
  4. Determine el cuadrante de la resultante y modifique theta de acuerdo con él.

Problemas de práctica 

  1. Encuentre la dirección de un vector cuyos puntos inicial y final son (5, 2) y (4, 3), respectivamente. 
  2. Encuentre la dirección de un vector cuyos puntos inicial y final son (2, 3) y (5, 8), respectivamente. 
  3. Un vector se dirige desde el origen a (7, 4). Encuentra su dirección. 
  4. Encuentre la dirección de un vector cuyas coordenadas son (-7, -5).
  5. Encuentre la dirección de un vector cuyas coordenadas son (1, -1).

respuestas

  1. -45 ° o 135 °
  2. 59 °
  3. 29.74 °
  4. 234 °
  5. -45 ° o 135 °

Todos los diagramas vectoriales se construyen utilizando GeoGebra.



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