Antes de profundizar y aprender a aplicar o usar la fórmula del punto medio para resolver problemas, hagamos una pausa por un momento y tengamos una comprensión práctica de la misma. Pensar en punto medio como el "medio" o punto medio de un segmento de línea. Este llamado punto central divide el segmento de línea en dos partes iguales o congruentes.
NOTA: El punto medio del segmento de línea AC denotado por el símbolo sobre la línea {AC} está ubicado en el punto B. Esto implica que el segmento de línea AB, escrito como sobrelínea {AB}, y el segmento de línea BC, escrito también como sobrelínea {BC}, tienen iguales la medida. Por lo tanto, overline {AB} = overline {BC}.
En pocas palabras, la fórmula para encontrar el punto medio de dos puntos dados es la siguiente.
La fórmula del punto medio
El punto medio M del segmento de línea con puntos finales A (x1, y1) y B (x2, y2) se calcula de la siguiente manera:
Observaciones:
a) La coordenada x del punto medio es el promedio de los valores x de los puntos dados.
b) La coordenada y del punto medio es el promedio de los valores y de los puntos dados.
Ejemplos sobre cómo utilizar la fórmula del punto medio
¡Repasemos cinco (5) ejemplos diferentes para ver la fórmula del punto medio en acción!
Ejemplo 1: Encuentre el punto medio del segmento de línea unido por los puntos finales (-3, 3) y (5, 3).
Cuando traza los puntos en el eje xy y los une con una regla, el segmento de línea es obviamente horizontal porque las coordenadas y de los puntos son iguales. Al hacerlo, es fácil aproximar o adivinar el punto medio incluso sin la fórmula del punto medio. Puede hacerlo contando el mismo número de unidades desde ambos lados de los extremos hasta que llegue al centro.
Sin embargo, vamos a resolverlo usando la fórmula para encontrar el punto medio.
Sea (–3, 3) el primer punto, por lo que x1 = –3 e y1 = 3. De la misma manera, si (5,3) es el segundo punto, entonces x2 = 5 e y2 = 3. Sustituya estos valores en la fórmula y simplifique para obtener el punto medio.
Aquí están los puntos trazados en el plano cartesiano, junto con el valor calculado del punto medio.
Ejemplo 2: Encuentre el punto central del segmento de línea unido por los puntos finales (1, 5) y (1, -1) usando la fórmula del punto medio.
Este segmento de línea en particular es claramente vertical porque los dos puntos tienen las mismas coordenadas x. Más aún, trazar los puntos en el eje xy verifica el caso. Como en nuestro ejemplo anterior, el punto medio de este segmento de línea vertical se puede aproximar fácilmente contando el mismo número de unidades de ambos lados de los puntos finales.
De todos modos, resolvamos esto usando la fórmula.
Así es como se ve en el gráfico.
Ejemplo 3: Encuentre el punto medio del segmento de línea unido por los puntos finales (-4, 5) y (2, -3).
Observe que cuando traza el segmento de línea generado por los puntos finales dados, el segmento de línea resultante no es ni horizontal ni vertical, a diferencia de los dos últimos ejemplos. En cambio, obtienes un segmento de línea diagonal. Esta vez, es más difícil adivinar o aproximar el punto medio. Sin embargo, con el uso de la fórmula, esto no debería ser un problema.
Podemos dejar (x1, y1) = (- 4, 5) y (x2, y2) = (2, −3).
Ahora, sustituya y evalúe los valores en la fórmula del punto medio.
Aquí está el gráfico.
Ejemplo 4: Encuentra el valor faltante de h en los puntos (5, 7) y (1, h) si su punto medio está en (3, -2).
Dado que en realidad se nos da el punto medio, comience estableciendo la fórmula igual al valor numérico del punto medio. Al igual que esto ...
Dejamos (x1, y1) = (5, 7) y (x2, y2) = (1, h). Luego sustituya estos valores en la fórmula.
Si observa, dos puntos son iguales siempre que sus coordenadas correspondientes sean las mismas. Es decir, los valores de x son iguales y los valores de y también son iguales.
Observe que los valores de x son ambos iguales a 3. ¡Genial!
Pero queremos hacer lo mismo con las coordenadas y haciéndolas iguales entre sí. Al hacerlo, creamos una ecuación simple que podemos resolver para el valor faltante de h.
Ejemplo 5: Encuentra el centro de un círculo cuyo diámetro tiene extremos (-1) y (5, -1).
Si lo piensa bien, el centro de un círculo es solo el punto medio del diámetro. Este problema simplemente se reduce a resolver el punto medio del segmento de línea con puntos finales (- 1, - 5) y (5, −1).
Estoy seguro de que ya sabes cómo hacerlo. Sin embargo, solo una advertencia, tenga mucho cuidado al sumar o restar números con el mismo signo o con diferentes signos. Aquí es donde ocurren errores tontos porque los estudiantes tienden a "relajarse" cuando realizan operaciones aritméticas básicas. Así que no lo estés.
Aquí está la gráfica del círculo que muestra su diámetro y centro.
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