La fórmula del punto medio

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Aina Martin
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La fórmula del punto medio

Antes de profundizar y aprender a aplicar o usar la fórmula del punto medio para resolver problemas, hagamos una pausa por un momento y tengamos una comprensión práctica de la misma. Pensar en punto medio como el "medio" o punto medio de un segmento de línea. Este llamado punto central divide el segmento de línea en dos partes iguales o congruentes.

NOTA: El punto medio del segmento de línea AC denotado por el símbolo sobre la línea {AC} está ubicado en el punto B. Esto implica que el segmento de línea AB, escrito como sobrelínea {AB}, y el segmento de línea BC, escrito también como sobrelínea {BC}, tienen iguales la medida. Por lo tanto, overline {AB} = overline {BC}.




En pocas palabras, la fórmula para encontrar el punto medio de dos puntos dados es la siguiente.

La fórmula del punto medio

El punto medio M del segmento de l√≠nea con puntos finales A (x1, y1) y B (x2, y2) se calcula de la siguiente manera:


Observaciones:


a) La coordenada x del punto medio es el promedio de los valores x de los puntos dados.

b) La coordenada y del punto medio es el promedio de los valores y de los puntos dados.

Ejemplos sobre cómo utilizar la fórmula del punto medio

¡Repasemos cinco (5) ejemplos diferentes para ver la fórmula del punto medio en acción!

Ejemplo 1: Encuentre el punto medio del segmento de línea unido por los puntos finales (-3, 3) y (5, 3).

Cuando traza los puntos en el eje xy y los une con una regla, el segmento de l√≠nea es obviamente horizontal porque las coordenadas y de los puntos son iguales. Al hacerlo, es f√°cil aproximar o adivinar el punto medio incluso sin la f√≥rmula del punto medio. Puede hacerlo contando el mismo n√ļmero de unidades desde ambos lados de los extremos hasta que llegue al centro.

Sin embargo, vamos a resolverlo usando la fórmula para encontrar el punto medio.

Sea (‚Äď3, 3) el primer punto, por lo que x1 = ‚Äď3 e y1 = 3. De la misma manera, si (5,3) es el segundo punto, entonces x2 = 5 e y2 = 3. Sustituya estos valores en la f√≥rmula y simplifique para obtener el punto medio.


Aquí están los puntos trazados en el plano cartesiano, junto con el valor calculado del punto medio.


Ejemplo 2: Encuentre el punto central del segmento de línea unido por los puntos finales (1, 5) y (1, -1) usando la fórmula del punto medio.

Este segmento de l√≠nea en particular es claramente vertical porque los dos puntos tienen las mismas coordenadas x. M√°s a√ļn, trazar los puntos en el eje xy verifica el caso. Como en nuestro ejemplo anterior, el punto medio de este segmento de l√≠nea vertical se puede aproximar f√°cilmente contando el mismo n√ļmero de unidades de ambos lados de los puntos finales.

De todos modos, resolvamos esto usando la fórmula.

Así es como se ve en el gráfico.


Ejemplo 3: Encuentre el punto medio del segmento de línea unido por los puntos finales (-4, 5) y (2, -3).

Observe que cuando traza el segmento de l√≠nea generado por los puntos finales dados, el segmento de l√≠nea resultante no es ni horizontal ni vertical, a diferencia de los dos √ļltimos ejemplos. En cambio, obtienes un segmento de l√≠nea diagonal. Esta vez, es m√°s dif√≠cil adivinar o aproximar el punto medio. Sin embargo, con el uso de la f√≥rmula, esto no deber√≠a ser un problema.

Podemos dejar (x1, y1) = (- 4, 5) y (x2, y2) = (2, ‚ąí3).

Ahora, sustituya y eval√ļe los valores en la f√≥rmula del punto medio.

Aquí está el gráfico.

Ejemplo 4: Encuentra el valor faltante de h en los puntos (5, 7) y (1, h) si su punto medio est√° en (3, -2).

Dado que en realidad se nos da el punto medio, comience estableciendo la fórmula igual al valor numérico del punto medio. Al igual que esto ...

Dejamos (x1, y1) = (5, 7) y (x2, y2) = (1, h). Luego sustituya estos valores en la fórmula.

Si observa, dos puntos son iguales siempre que sus coordenadas correspondientes sean las mismas. Es decir, los valores de x son iguales y los valores de y también son iguales.

Observe que los valores de x son ambos iguales a 3. ¬°Genial!

Pero queremos hacer lo mismo con las coordenadas y haciéndolas iguales entre sí. Al hacerlo, creamos una ecuación simple que podemos resolver para el valor faltante de h.

Ejemplo 5:  Encuentra el centro de un c√≠rculo cuyo di√°metro tiene extremos (-1) y (5, -1).

Si lo piensa bien, el centro de un c√≠rculo es solo el punto medio del di√°metro. Este problema simplemente se reduce a resolver el punto medio del segmento de l√≠nea con puntos finales (- 1, - 5) y (5, ‚ąí1).

Estoy seguro de que ya sabes c√≥mo hacerlo. Sin embargo, solo una advertencia, tenga mucho cuidado al sumar o restar n√ļmeros con el mismo signo o con diferentes signos. Aqu√≠ es donde ocurren errores tontos porque los estudiantes tienden a "relajarse" cuando realizan operaciones aritm√©ticas b√°sicas. As√≠ que no lo est√©s.

Aquí está la gráfica del círculo que muestra su diámetro y centro.

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