La regla del coseno: explicación y ejemplos

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Alejandra Rangel
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La regla del coseno: explicación y ejemplos

En el último artículo, vimos cómo la regla del seno nos ayuda a calcular el ángulo faltante o el lado faltante cuando se conocen dos lados y un ángulo o cuando se conocen dos ángulos y un lado.

Pero, ¿qué harás cuando solo te den los tres lados de un triángulo y necesites encontrar todos los ángulos?

En el siglo XV, ese problema se resolvió cuando un matemático persa, Jamshid al-Kashi, presentó el Ley de Coseno en una forma adecuada para la triangulación. En Francia, todavía se conoce como Theoreme d'Al-Kashi.



En este artículo, aprenderá sobre:

  • La ley de los cosenos,
  • cómo aplicar la ley de los cosenos para resolver problemas y,
  • la fórmula de la ley de los cosenos.

 

¿Qué es la ley de los cosenos?

El ley de cosenos también conocido como el regla del coseno, es una fórmula que relaciona las tres longitudes de los lados de un triángulo con el coseno.

La regla del coseno es útil de dos formas:

  • Podemos usar la regla del coseno para encontrar los tres ángulos desconocidos de un triángulo si se conocen las longitudes de los tres lados del triángulo dado.
  • También podemos usar la regla del coseno para encontrar la longitud del tercer lado de un triángulo si se conocen las longitudes de dos lados y el ángulo entre ellos.

La fórmula de la ley de los cosenos

Considere un triángulo oblicuo ABC que se muestra a continuación. Un triángulo oblicuo es un triángulo no rectángulo. Recuerde que las longitudes de los lados están etiquetadas con letras minúsculas, mientras que los ángulos están etiquetadas con letras mayúsculas.



Además, tenga en cuenta que para cada ángulo, la longitud del lado opuesto se etiqueta con la misma letra.

La ley de los cosenos establece que:

⇒ (a) 2 = [b2 + c2 - 2bc] cos (A)

⇒ (b) 2 = [a2 + c2 - 2ac] cos (B)

⇒ (c) 2 = [a2 + b2 - 2bc] cos (C)

Notó que la ecuación c2 = a2 + b2 - 2bc cos (C) se parece al Teorema de Pitágoras, excepto por los últimos términos, "- 2bc cos (C)". Por esta razón, podemos decir que el Teorema de Pitágoras es un especial de la regla del seno.


Prueba de la ley de los cosenos.

La regla del coseno se puede demostrar considerando el caso de un triángulo rectángulo. En este caso, dejemos caer una línea perpendicular desde el punto A hasta el punto O en el lado BC.

Sea el lado AM h.

En el triángulo rectángulo ABM, el coseno del ángulo B está dado por:


Cos (B) = adyacente / hipotenusa = BM / BA

Cos (B) = BM / c

BM = c cos (B)


Dado que BC = a, por lo tanto, MC se calcula como;

MC = a - BM

 = a - c cos (B) ……………………………………………… (i)

En el triángulo ABM, el seno del ángulo B está dado por;

Seno B = Opuesto / Hipotenusa = h / c

h = c seno B …………………………………………………… (ii)

Al aplicar el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo AMC, tenemos,

AC2 = AM2 + MC2 ……………………………………………… (iii)

Sustituya la ecuación (i) y (ii) en la ecuación (iii).

b2 = (c Seno B) 2 + (a - c Cos B) 2

b2 = c2 Seno 2 B + a2 - 2ac Cos B + c2 Cos 2 C

Reordenando la ecuación anterior:

b2 = c2 Seno 2 B + c2 Cos 2 C + a2 - 2ac Cos B

Factorización.

b2 = c2 (Seno 2 B + Cos 2 C) + a2 - 2ac Cos B

Pero, por las identidades trigonométricas, sabemos que,

sin2θ + cos2θ = 1

Por lo tanto, b2 = c2 + a2 - 2ac Cos B

Por tanto, se prueba la ley del coseno.

¿Cómo utilizar la regla del coseno?

Si necesitamos encontrar las longitudes de los lados de un triángulo, usamos la regla del coseno en la forma de;


⇒ (a) 2 = [b2 + c2– 2bc] cos (A)

⇒ (b) 2 = [a2 + c2 - 2ac] cos (B)

⇒ (c) 2 = [a2 + b2 - 2bc] cos (C)

Y si necesitamos encontrar el tamaño de un ángulo, usamos la regla del coseno de la forma;

⇒ cos A = (b2 + c2 - a2) / 2bc

⇒ cos B = (a2 + c2– b2) / 2ac

⇒ cos C = (a2 + b2– c2) / 2ab

Comprobemos ahora nuestra comprensión de la regla del coseno intentando algunos problemas de muestra.

ejemplo 1

Calcula la longitud del lado AC del triángulo que se muestra a continuación.

Solución

Como queremos calcular la longitud, usaremos el

regla del coseno en forma de;

⇒ (b) 2 = [a2 + c2 - 2ac] cos (B)

Por sustitución, tenemos,

b2 = 42 + 32 - 2 x 3 x 4 cos (50)

b2 = 16 + 9 - 24cos50

= 25 - 24cos 50

b2 = 9.575

Determine la raíz cuadrada de ambos lados para obtener,

b = √9.575 = 3.094.

Por lo tanto, la longitud de AC = 3.094 cm.

ejemplo 2

Calcula los tres ángulos del triángulo que se muestra a continuación.

Solución

Dado que se dan las tres longitudes de los lados del triángulo, entonces necesitamos encontrar las medidas de los tres ángulos A, B y C. Aquí, usaremos la regla del coseno en la forma;

⇒ Cos (A) = [b2 + c2 - a2] / 2bc

⇒ Cos (B) = [a2 + c2– b2] / 2ac

⇒ Cos (C) = [a2 + b2– c2] / 2ab

Resuelve para el ángulo A:

Cos A = (72 + 52 - 102) / 2 x 7 x 5

Cos A = (49 + 25 - 100) / 70

Cos A = -26/70

Cos A = - 0.3714.

Ahora, determine el cos inverso de - 0.3714.

A = Cos -1 - 0.3714.

A = 111.8 °

Resuelve para el ángulo B:

Por sustitución,

cos B = (102 + 52– 72) / 2 x 10 x 7

Simplificar.

Cos B = (100 + 25 - 49) / 140

Cos B = 76/140

Determine el cos inverso de 76/140

B = 57.12 °

Resuelve para el ángulo C:

Por sustitución,

cos C = (102 + 72– 52) / 2 x 10 x 7

Cos C = (100 + 49 - 25) / 140

Costo C = 124/140

Determine el cos inverso de 124/140.

C = 27.7 °

Por tanto, los tres ángulos del triángulo son; A = 111.8 °, B = 57.12 ° y C = 27.7 °.



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