La regla del coseno: explicación y ejemplos

La regla del coseno: explicación y ejemplos

En el √ļltimo art√≠culo, vimos c√≥mo la regla del seno nos ayuda a calcular el √°ngulo faltante o el lado faltante cuando se conocen dos lados y un √°ngulo o cuando se conocen dos √°ngulos y un lado.


Pero, ¬Ņqu√© har√°s cuando solo te den los tres lados de un tri√°ngulo y necesites encontrar todos los √°ngulos?

En el siglo XV, ese problema se resolvió cuando un matemático persa, Jamshid al-Kashi, presentó el Ley de Coseno en una forma adecuada para la triangulación. En Francia, todavía se conoce como Theoreme d'Al-Kashi.


En este artículo, aprenderá sobre:


  • La ley de los cosenos,
  • c√≥mo aplicar la ley de los cosenos para resolver problemas y,
  • la f√≥rmula de la ley de los cosenos.

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name="-qu--es-la-ley-de-los-cosenos-">¬ŅQu√© es la ley de los cosenos?

El ley de cosenos name="-nbsp-"> tambi√©n conocido como el regla del coseno, es una f√≥rmula que relaciona las tres longitudes de los lados de un tri√°ngulo con el coseno.

La regla del coseno es √ļtil de dos formas:

  • Podemos usar la regla del coseno para encontrar los tres √°ngulos desconocidos de un tri√°ngulo si se conocen las longitudes de los tres lados del tri√°ngulo dado.
  • Tambi√©n podemos usar la regla del coseno para encontrar la longitud del tercer lado de un tri√°ngulo si se conocen las longitudes de dos lados y el √°ngulo entre ellos.

name="la-f-rmula-de-la-ley-de-los-cosenos">La fórmula de la ley de los cosenos

Considere un tri√°ngulo oblicuo ABC que se muestra a continuaci√≥n. Un tri√°ngulo oblicuo es un tri√°ngulo no rect√°ngulo. Recuerde que las longitudes de los lados est√°n etiquetadas con letras min√ļsculas, mientras que los √°ngulos est√°n etiquetadas con letras may√ļsculas.



Adem√°s, tenga en cuenta que para cada √°ngulo, la longitud del lado opuesto se etiqueta con la misma letra.

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La ley de los cosenos establece que:

‚áí (a) 2 = [b2 + c2 - 2bc] cos (A)

‚áí (b) 2 = [a2 + c2 - 2ac] cos (B)

‚áí (c) 2 = [a2 + b2 - 2bc] cos (C)

Not√≥ que la ecuaci√≥n c2 = a2 + b2 - 2bc cos (C) se parece al Teorema de Pit√°goras, excepto por los √ļltimos t√©rminos, "- 2bc cos (C)". Por esta raz√≥n, podemos decir que el Teorema de Pit√°goras es un especial de la regla del seno.


name="prueba-de-la-ley-de-los-cosenos-">Prueba de la ley de los cosenos.

La regla del coseno se puede demostrar considerando el caso de un triángulo rectángulo. En este caso, dejemos caer una línea perpendicular desde el punto A hasta el punto O en el lado BC.

Sea el lado AM h.

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En el tri√°ngulo rect√°ngulo ABM, el coseno del √°ngulo B est√° dado por:

Cos (B) = adyacente / hipotenusa = BM / BA

Cos (B) = BM / c

BM = c cos (B)


Dado que BC = a, por lo tanto, MC se calcula como;

MC = a - BM

name="-nbsp-"> = a - c cos (B) ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ‚Ķ (i)

En el tri√°ngulo ABM, el seno del √°ngulo B est√° dado por;

Seno B = Opuesto / Hipotenusa = h / c

h = c seno B …………………………………………………… (ii)

Al aplicar el teorema de Pit√°goras en el tri√°ngulo rect√°ngulo AMC, tenemos,

AC2 = AM2 + MC2 ……………………………………………… (iii)

Sustituya la ecuación (i) y (ii) en la ecuación (iii).

b2 = (c Seno B) 2 + (a - c Cos B) 2

b2 = c2 Seno 2 B + a2 - 2ac Cos B + c2 Cos 2 C

Reordenando la ecuación anterior:

b2 = c2 Seno 2 B + c2 Cos 2 C + a2 - 2ac Cos B

Factorización.

b2 = c2 (Seno 2 B + Cos 2 C) + a2 - 2ac Cos B

Pero, por las identidades trigonométricas, sabemos que,

sin2őł + cos2őł = 1

Por lo tanto, b2 = c2 + a2 - 2ac Cos B

Por tanto, se prueba la ley del coseno.

name="-c-mo-utilizar-la-regla-del-coseno-">¬ŅC√≥mo utilizar la regla del coseno?

Si necesitamos encontrar las longitudes de los lados de un tri√°ngulo, usamos la regla del coseno en la forma de;

‚áí (a) 2 = [b2 + c2‚Äď 2bc] cos (A)

‚áí (b) 2 = [a2 + c2 - 2ac] cos (B)

‚áí (c) 2 = [a2 + b2 - 2bc] cos (C)

Y si necesitamos encontrar el tama√Īo de un √°ngulo, usamos la regla del coseno de la forma;

‚áí cos A = (b2 + c2 - a2) / 2bc

‚áí cos B = (a2 + c2‚Äď b2) / 2ac

‚áí cos C = (a2 + b2‚Äď c2) / 2ab

Comprobemos ahora nuestra comprensión de la regla del coseno intentando algunos problemas de muestra.

ejemplo 1

Calcula la longitud del lado AC del triángulo que se muestra a continuación.

src="/images/posts/8866a32483010c8854535efb298c9a32-2.jpg">

Solución

Como queremos calcular la longitud, usaremos el

regla del coseno en forma de;

‚áí (b) 2 = [a2 + c2 - 2ac] cos (B)

Por sustitución, tenemos,

b2 = 42 + 32 - 2 x 3 x 4 cos (50)

b2 = 16 + 9 - 24cos50

= 25 - 24cos 50

b2 = 9.575

Determine la raíz cuadrada de ambos lados para obtener,

b = ‚ąö9.575 = 3.094.

Por lo tanto, la longitud de AC = 3.094 cm.

ejemplo 2

Calcula los tres ángulos del triángulo que se muestra a continuación.

src="/images/posts/8866a32483010c8854535efb298c9a32-3.jpg">

Solución

Dado que se dan las tres longitudes de los lados del triángulo, entonces necesitamos encontrar las medidas de los tres ángulos A, B y C. Aquí, usaremos la regla del coseno en la forma;

‚áí Cos (A) = [b2 + c2 - a2] / 2bc

‚áí Cos (B) = [a2 + c2‚Äď b2] / 2ac

‚áí Cos (C) = [a2 + b2‚Äď c2] / 2ab

Resuelve para el √°ngulo A:

Cos A = (72 + 52 - 102) / 2 x 7 x 5

Cos A = (49 + 25 - 100) / 70

Cos A = -26/70

Cos A = - 0.3714.

Ahora, determine el cos inverso de - 0.3714.

A = Cos -1 - 0.3714.

A = 111.8 ¬į

Resuelve para el √°ngulo B:

Por sustitución,

cos B = (102 + 52‚Äď 72) / 2 x 10 x 7

Simplificar.

Cos B = (100 + 25 - 49) / 140

Cos B = 76/140

Determine el cos inverso de 76/140

B = 57.12 ¬į

Resuelve para el √°ngulo C:

Por sustitución,

cos C = (102 + 72‚Äď 52) / 2 x 10 x 7

Cos C = (100 + 49 - 25) / 140

Costo C = 124/140

Determine el cos inverso de 124/140.

C = 27.7 ¬į

Por tanto, los tres √°ngulos del tri√°ngulo son; A = 111.8 ¬į, B = 57.12 ¬į y C = 27.7 ¬į.



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