LEONHARD EULER - MATEMÁTICO SUIZO
Leonhard Euler fue uno de los gigantes de las matemáticas del siglo XVIII. Como los Bernoulli, nació en Basilea, Suiza, y estudió durante un tiempo con Johann Bernoulli en la Universidad de Basilea. Pero, en parte debido al dominio abrumador de Bernoulli familia en matemáticas suizas, y la dificultad de encontrar una buena posición y reconocimiento en su ciudad natal, pasó la mayor parte de su vida académica en Rusia y Alemania, especialmente en el floreciente San Petersburgo de Pedro el Grande y Catalina la Grande.
A pesar de una larga vida y trece hijos, Euler tuvo más tragedias y muertes de las que le correspondían, e incluso su ceguera más adelante en la vida no frenó su prodigiosa producción: sus obras completas comprenden casi 900 libros y, en el año 1775, es dijo haber producido un promedio de un artículo matemático por semana, ya que lo compensó con sus habilidades de cálculo mental y memoria fotográfica (por ejemplo, podía repetir la Eneida de Virgilio de principio a fin sin dudarlo, y por cada página de la edición podía indicar qué línea era la primera y cuál la última).
Hoy, Euler es considerado uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos. Sus intereses abarcaron casi todos los aspectos de las matemáticas, desde la geometría hasta el cálculo, la trigonometría, el álgebra y la teoría de números, así como óptica, astronomía, cartografía, mecánica, pesos y medidas e incluso la teoría de la música.
Notación matemática creada o popularizada por Euler
Gran parte de la notación utilizada por los matemáticos hoy en día, incluidos e, i, f (x), ∑ y el uso de a, byc como constantes y x, y y z como incógnitas, fue creada, popularizada o estandarizada por Euler. . Sus esfuerzos por estandarizar estos y otros símbolos (incluidas π y las funciones trigonométricas) ayudaron a internacionalizar las matemáticas y a fomentar la colaboración en los problemas.
Incluso se las arregló para combinar varios de estos en una asombrosa hazaña de alquimia matemática para producir una de las ecuaciones matemáticas más hermosas, eiπ = -1, a veces conocida como Identidad de Euler. Esta ecuación combina aritmética, cálculo, trigonometría y análisis complejo en lo que se ha llamado “la fórmula más notable de las matemáticas”, “misteriosa y sublime” y “llena de belleza cósmica”, entre otras descripciones. Otro descubrimiento de este tipo, a menudo conocido simplemente como fórmula de Euler, es eix = cosx + isinx. De hecho, en una encuesta reciente de matemáticos, tres de las cinco fórmulas más bellas de todos los tiempos eran de Euler. Parecía tener una capacidad instintiva para demostrar las profundas relaciones entre trigonometría, exponenciales y números complejos.
El descubrimiento que selló inicialmente la reputación de Euler se anunció en 1735 y se refería al cálculo de sumas infinitas. Se llamó el problema de Basilea después de que los de Bernoulli intentaron y no pudieron resolverlo, y se preguntó cuál era la suma precisa de los recíprocos de los cuadrados de todos los números naturales hasta el infinito, es decir, 1⁄12 + 1⁄22 + 1⁄ 32 + 1⁄42… (una función zeta que usa una constante zeta de 2). El amigo de Euler, Daniel Bernoulli, había estimado la suma en alrededor de 13⁄5, pero el método superior de Euler arrojó el resultado exacto pero bastante inesperado de π2⁄6. También mostró que la serie infinita era equivalente a un producto infinito de números primos, una identidad que más tarde inspiraría la investigación de Riemann de las funciones zeta complejas.
El problema de los siete puentes de Königsberg
También en 1735, Euler resolvió un problema matemático y lógico intransigente, conocido como el Problema de los Siete Puentes de Königsberg, que había dejado perplejos a los estudiosos durante muchos años y, al hacerlo, sentó las bases de la teoría de grafos y presagió la importante idea matemática de la topología. La ciudad de Königsberg en Prusia (la actual Kaliningrado en Rusia) se estableció a ambos lados del río Pregel e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre sí y con el continente por siete puentes. El problema era encontrar una ruta por la ciudad que cruzara cada puente una sola vez.
De hecho, Euler demostró que el problema no tiene solución, pero al hacerlo dio el importante salto conceptual de señalar que la elección de la ruta dentro de cada masa de tierra es irrelevante y que la única característica importante es la secuencia de puentes cruzados. Esto le permitió reformular el problema en términos abstractos, reemplazando cada masa de tierra con un nodo abstracto y cada puente con una conexión abstracta. Esto resultó en una estructura matemática llamada “gráfico”, una representación pictórica compuesta por puntos (vértices) conectados por curvas (arcos) que no se cruzan, que pueden distorsionarse de cualquier manera sin cambiar el gráfico en sí.
De esta manera, Euler pudo deducir que, debido a que las cuatro masas de tierra en el problema original están tocadas por un número impar de puentes, la existencia de un sendero que atraviese cada puente una sola vez conduce inevitablemente a una contradicción. Si Königsberg hubiera tenido un puente menos, por otro lado, con un número par de puentes que conducen a cada terreno, entonces habría sido posible una solución.
Lista de teoremas y métodos iniciados por Euler
La lista de teoremas y métodos iniciados por Euler es inmensa, y en gran medida está fuera del alcance de un estudio de nivel de entrada como este, pero se pueden mencionar solo algunos de ellos:
- la demostración de propiedades geométricas como la línea de Euler y el círculo de Euler;
- la definición de la Chi característico de Euler (chi) para las superficies de poliedros, donde el número de vértices menos el número de aristas más el número de caras siempre es igual a 2 (ver tabla a la derecha);
- un nuevo método para resolver ecuaciones cuárticas;
- el Teorema de los números primos, que describe la distribución asintótica de los números primos;
- pruebas (y en algunos casos refutaciones) de algunos de los teoremas y conjeturas de Fermat;
- el descubrimiento de más de 60 números amigables (pares de números para los cuales la suma de los divisores de un número es igual al otro), aunque algunos eran realmente incorrectos;
- un método para calcular integrales con límites complejos (presagiando el desarrollo del análisis complejo moderno);
- el cálculo de variaciones, incluido su resultado más conocido, la ecuación de Euler-Lagrange; una prueba de la infinitud de los primos, usando la divergencia de la serie armónica;
- la integración del cálculo diferencial de Leibniz con el Método de Fluxiones de Newton en una forma de cálculo que reconoceríamos hoy, así como el desarrollo de herramientas para facilitar la aplicación del cálculo a problemas físicos reales;
- etc., etc.
En 1766, Euler aceptó una invitación de Catalina la Grande para regresar a la Academia de San Petersburgo y pasó el resto de su vida en Rusia. Sin embargo, su segunda estadía en el país se vio empañada por la tragedia, incluido un incendio en 1771 que le costó su casa (y casi su vida), y la pérdida en 1773 de su querida esposa durante 40 años, Katharina. Más tarde se casó con la media hermana de Katharina, Salome Abigail, y este matrimonio duraría hasta su muerte por una hemorragia cerebral en 1783.
