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    Leyes de límites: definición, propiedades y ejemplos

    Quien soy
    Lluís Enric Mayans
    @lluísenricmayans

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    Leyes de límites: definición, propiedades y ejemplos

    ¬ŅAlguna vez se pregunt√≥ si existe una manera m√°s f√°cil de encontrar los l√≠mites de una funci√≥n sin su gr√°fica o tabla de valores? Podemos utilizar las diferentes propiedades y leyes de l√≠mites disponibles. Las leyes de l√≠mites son importantes para manipular y evaluar los l√≠mites de las funciones.

    Las leyes de l√≠mite son reglas y propiedades √ļtiles que podemos usar para evaluar el l√≠mite de una funci√≥n. 


    Las leyes de l√≠mites tambi√©n son √ļtiles para comprender c√≥mo podemos descomponer expresiones y funciones m√°s complejas para encontrar sus propios l√≠mites. En este art√≠culo, aprenderemos sobre las diferentes leyes de l√≠mites y tambi√©n discutiremos otras propiedades de l√≠mites que pueden ayudarnos en nuestros pr√≥ximos temas de prec√°lculo y c√°lculo.


    Antes de establecer estas propiedades y aprender a aplicarlas, ¬Ņpor qu√© no seguimos adelante y comenzamos con la definici√≥n de leyes l√≠mite?

    ¬ŅCu√°les son las leyes de l√≠mites?

    Como hemos mencionado, las leyes de límites son las diferentes leyes o propiedades que podemos aplicar para manipular funciones y eventualmente encontrar sus límites.

    Por ejemplo, si queremos encontrar el límite de $ f (x) = -2x ^ 2 + 5x - 8 $ a medida que se acerca a 6, nuestro conocimiento previo nos indicaría que graficamos o construyamos una tabla de valores.

    Sin embargo, con las leyes de límites, necesitaremos algunos pasos para evaluar $ lim {x rightarrow 6} -2x ^ 2 + 5x - 8 $.

    $ begin {align} lim_ {xrightarrow6} -2x ^ 2 + 5x - 8 & = lim_ {xrightarrow6} -2x ^ 2 + lim_ {xrightarrow6} 5x + lim_ {xrightarrow6} -8color {blue} texto {{Ley de suma}} & = lim_ {xrightarrow6} -2x ^ 2 + lim_ {xrightarrow6} 5x + -8color {blue} text {{Ley constante}} & = - 72 + 30 + -8color {blue} text {{Propiedad de la función polinomial} } & = - 50 final {alineado} $


    No te preocupes. Una vez que se le presente una lista de leyes de límites, ¡evaluar los límites también será más fácil para usted! De hecho, ya hemos aprendido algunas de estas leyes de límites en el pasado, pero se encuentran en formas mucho más simples y generales.


    Note que a lo largo de toda la discusión, asumiremos que las dos expresiones, $ lim_ {xrightarrow a} f (x) $ y $ lim_ {xrightarrow a} g (x) $, existen y $ a $ es una constante.

    ¬ŅCu√°les son las propiedades de los l√≠mites?

    ¬ŅPor qu√© no nos presentamos lentamente a las propiedades de los l√≠mites y las leyes que pueden ayudarnos? Esta secci√≥n tambi√©n explorar√° ejemplos que hacen uso de estas propiedades y leyes, para que tambi√©n podamos comprenderlas mejor.

    Si es la primera vez que se encuentra con estas propiedades, intente escribir los nombres de las leyes límite y las definiciones algebraicas. Resuma estos en una tabla como guía para los ejemplos de esta sección y los siguientes temas que puede encontrar relacionados con el límite de una función.

    ¬ŅNo tienes un papel o tu aplicaci√≥n para tomar notas cerca? No se preocupe, ¬°tambi√©n resumimos estas propiedades al final de esta secci√≥n!

    Comprender las dos leyes de límites más fundamentales

    Agruparemos con estas dos leyes básicas de límites porque son las dos leyes más aplicadas y las leyes de límites más simples. Estas son leyes constantes y de identidad.

    Ley constante: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} c = c} $

    Esta ley de límite establece que el límite de una constante $ c $, cuando $ x $ se acerca a $ a $, es igual a la constante misma.



    El gráfico anterior ilustra por qué la ley constante es verdadera para todos los valores de $ a $ y $ c $. Independientemente del valor de $ a $, la función seguirá siendo igual a $ c $.

    Aquí hay algunos ejemplos sobre cómo podemos aplicar la ley constante para algunos límites.

    • $ lim_ {xrightarrow 2} 3 = 3 $
    • $ lim_ {xrightarrow 1} -6 = -6 $
    • $ lim_ {xrightarrow 6} pi = pi $

    Ley de identidad: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} x = c} $

    ¬ŅSabes por qu√© llamamos a esto la ley de identidad? Eso es porque estamos tratando con la funci√≥n lineal, $ y = x $, para esta ley del l√≠mite. La ley del l√≠mite establece que el l√≠mite de $ y = x $ cuando se acerca a $ a $ es igual al n√ļmero (o $ a $) cuando $ x $ se acerca.


    Aquí hay una ilustración de por qué la ley de identidad es cierta para todos los valores de $ x $. A medida que $ x $ se acerca a $ a $, el valor de $ y $ dependerá del valor de $ x $, de modo que cuando $ x $ se acerque a $ a $, $ y $ también se acercará a $ a $.


    Consulte estos tres ejemplos para comprender mejor la ley de identidad.

    • $ lim_ {xrightarrow -4} x = -4 $
    • $ lim_ {xrightarrow sqrt {2}} x = sqrt {2} $
    • $ lim_ {xrightarrow pi} x = pi $

    ¬ŅListo para conocer m√°s leyes de l√≠mites? Aqu√≠ hay cinco m√°s que se enfocan en las cuatro operaciones aritm√©ticas: suma, resta, multiplicaci√≥n y divisi√≥n.

    Limitar leyes que involucran operaciones aritméticas

    Estamos agrupando estas leyes de límites porque comparten formas similares y contienen las cuatro operaciones aritméticas más utilizadas en una función determinada.

    Ley de adición: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] = lim_ {xrightarrow a} f (x) + lim_ {xrightarrow a} g (x)} $

    La ley de la adición reitera que cuando tomamos el límite de la suma de dos funciones, el resultado es equivalente a la suma de los límites respectivos de la función cuando $ x $ se acerca a $ a $.

    Si $ lim_ {xrightarrow 3} f (x) = -2 $ y $ lim_ {xrightarrow 3} g (x) = 5 $, esto significa que $ {lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x) ] $ se puede determinar como se muestra a continuación.

    $ begin {align} lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] & = lim_ {xrightarrow a} f (x) + lim_ {xrightarrow a} g (x) & = - 2 + 5 & = 3 final {alineado} $

    Ley de resta: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} [f (x) - g (x)] = lim_ {xrightarrow a} f (x) - lim_ {xrightarrow a} g (x)} $

    Esta ley es similar a su contraparte adicional. Establece que el límite de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia entre los límites de cada función como $ x flecha derecha a $.

    ¬ŅPor qu√© no aplicamos esta ley junto con las leyes de constante e identidad para simplificar $ lim_ {x flecha derecha -6} (x - 4) $?

    $ begin {alineado} lim_ {x flecha derecha -6} (x - 4) & = lim_ {x flecha derecha -6} x - lim_ {x flecha derecha -6} -4 color {azul} texto {{Ley de resta}} & = lim_ {x flecha derecha -6} x -4color {azul} texto {{Ley constante}} & = -6 - 4 colores {azul} texto {{Ley de identidad}} & = - 10 final {alineado} $

    Este es un buen ejemplo que muestra cómo se aplican todas estas propiedades para simplificar y evaluar límites.

    Ley de coeficientes: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} c cdot f (x) = c lim_ {xrightarrow a} f (x)} $

    Esta ley establece que el límite del producto compartido por una constante, $ c $, y la función, $ f (x) $, será la misma cuando multiplicamos $ c $ hasta el límite de $ f (x) $ como se acerca a $ a $.

    Aquí hay algunas aplicaciones sencillas de esta ley:

    • Si $ lim_ {xrightarrow 2} f (x) = -4 $, $ lim_ {xrightarrow 2} -5 cdot f (x) $ es igual a $ -4 cdot -5 = 20 $
    • Si $ lim_ {xrightarrow 3} g (x) = dfrac {1} {2} $, $ lim_ {xrightarrow 3} -12 cdot g (x) $ es igual a $ -12 cdot dfrac {1} {2} = 8 $

    Ley de producto: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} [f (x) cdot g (x)] = lim_ {xrightarrow a} f (x) cdot lim_ {xrightarrow a} g (x)} $

    Al igual que las leyes de suma y resta, esta ley de límite particular establece que el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites correspondientes de cada función.

    ¬ŅPor qu√© no intentamos simplificar $ lim_ {xrightarrow 5} 2x $ usando la ley del producto y las leyes anteriores que hemos aprendido?

    $ begin {align} lim_ {x rightarrow 5} 2x & = lim_ {x rightarrow 5} (2 cdot x) & = lim_ {x rightarrow 5} 2 cdot lim_ {x rightarrow 5} xcolor {blue} texto {{Producto Ley}} & = 2 cdot lim_ {x flecha derecha 5} xcolor {azul} texto {{Ley constante}} & = 2 cdot 5 color {azul} texto {{Ley de identidad}} & = 10 final {alineado} PS

    Ley del cociente: $ boldsymbol {lim_ {xrightarrow a} dfrac {f (x)} {g (x)} = dfrac {lim_ {xrightarrow a} f (x)} {lim_ {xrightarrow a} g (x)}} $, dónde $ negrita símbolo {lim_ {xrightarrow a} g (x) neq 0} $

    Esto significa que el límite del cociente de dos funciones es equivalente a la razón de cada uno de los límites de las funciones. Tenga en cuenta que esta ley solo se aplica cuando $ lim_ {xrightarrow a} g (x) neq 0 $.

    Esto significa que si $ lim_ {xrightarrow a} f (x) = P $ y $ lim_ {xrightarrow a} g (x) = Q $, el límite de $ dfrac {f (x)} {g (x)} $ como $ x flecha derecha a $ es igual a $ dfrac {lim_ {x flecha derecha a} f (x)} {lim_ {x flecha derecha a} g (x)} = dfrac {P} {Q} $.

    Limitar leyes que involucran exponentes y raíces

    Ahora que hemos cubierto todas las leyes de límite que involucran las cuatro operaciones básicas, es hora de mejorar nuestro juego y aprendamos sobre las leyes de límite para funciones que contienen exponentes y raíces.

    Ley de potencia: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} [f (x)] ^ n = left [lim_ {xrightarrow a} f (x) right] ^ n} $, dónde $ negrita símbolo {lim_ {xrightarrow a} f (x) neq 0} $ at $ símbolo en negrita {n <0} $

    El límite de la función que se eleva a $ n ^ {th} $ potencia devolverá el mismo resultado cuando encontramos el límite de $ f (x) $ primero cuando $ x $ se acerca a $ a $ y luego aumenta el resultado en $ n ^ {th} $ poder.

    Tenga en cuenta que esta ley solo es cierta cuando el límite de $ f (x) $ cuando $ x $ se acerca a $ a $ no es cero cuando $ n $ es negativo.

    Simplificar $ lim_ {xrightarrow -2} (x - 1) ^ 4 $ requerirá que usemos la ley de potencias. Sigamos adelante y veamos cómo podemos simplificar esta expresión.

    $ begin {align} lim_ {x rightarrow -2} (x -1) ^ 4 & = left [lim_ {x rightarrow -2} (x -1) right] ^ 4 color {blue} text {{Power Law}} & = izquierda (lim_ {x flecha derecha -2} x - lim_ {x flecha derecha -2} 1 derecha) ^ 4color {azul} texto {{Ley de resta}} & = izquierda (-2 - lim_ {x flecha derecha -2} 1 derecha) ^ 4color {azul} texto {{Ley de identidad}} & = (-2 - 1) ^ 4color {azul} texto {{Ley constante}} & = (- 3) ^ 4 & = 81 end { alineado} $

    Ley de la raíz: $ negrita símbolo {lim_ {xrightarrow a} sqrt [n] {f (x)} = sqrt [n] {lim_ {xrightarrow a} f (x)}} $, dónde $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} f (x) geq} $ dónde $ boldsymbol {n} $ incluso

    Recuerde que $ k ^ {{1} {n}} = sqrt [n] {k} $, por lo que la ley de la raíz es en realidad una extensión de la ley de potencia. Esto significa que el límite de la raíz $ n ^ {th} $ de la función también es igual a la raíz $ n ^ {th} $ del límite de la función cuando $ x $ se acerca a $ a $.

    Dado que tenemos restricciones cuando la ra√≠z es par, aseg√ļrese de que el l√≠mite de $ f (x) $ cuando se acerca a $ a $ sea positivo cuando $ n $ sea par.

    Apliquemos lo que acabamos de aprender para simplificar $ lim_ {xrightarrow 4} sqrt [3] {f (x)} $ if $ lim_ {xrightarrow 4} f (x) = -27 $?

    Usando la ley de la raíz, tenemos $ lim_ {xrightarrow 4} sqrt [3] {f (x)} = sqrt [3] {lim_ {xrightarrow 4} f (x)} $. Dado que $ lim_ {xrightarrow 4} f (x) = -27 $, ahora tenemos $ lim_ {xrightarrow 4} sqrt [3] {f (x)} = sqrt [3] {-27} $ o $ -3 PS

    ¬ŅHa notado un patr√≥n com√ļn compartido por todas las leyes de l√≠mites que acabamos de aprender? La regla general que muestran las leyes del l√≠mite es que siempre que aplicamos una operaci√≥n en el l√≠mite de una funci√≥n, podemos encontrar el l√≠mite de la funci√≥n primero y luego tomar el l√≠mite de la expresi√≥n resultante.

    Resumen de las propiedades de los límites

    Aprenderemos más sobre las aplicaciones de las leyes de límites cuando aprendamos a evaluar los límites de funciones más complejas. Por ahora, avancemos primero y resumamos las leyes de límites que acabamos de aprender a lo largo de este artículo.

    Aseg√ļrese de revisar todas las propiedades que hemos discutido en la secci√≥n anterior antes de responder los problemas que siguen.

    ejemplo 1

    Dado que $ lim_ {xrightarrow a} f (x) = -24 $ y $ lim_ {xrightarrow a} g (x) = 4 $, encuentre el valor de las siguientes expresiones usando las propiedades de los límites que acabamos de aprender.

    una. $ lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] $

    B. $ lim_ {xrightarrow a} [4 g (x)] $

    C. $ lim_ {xrightarrow a} dfrac {sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} $

    Solución

    Cuando trabaje con problemas como estos por primera vez, siempre es √ļtil tener una lista de las leyes de l√≠mites que acabamos de discutir. De esta manera, siempre puede verificar si existe una ley de l√≠mite que pueda aplicarse a nuestro problema.

    Podemos reescribir $ lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] $ como $ lim_ {xrightarrow a} f (x) + lim_ {xrightarrow a} g (x) $ usando la ley de la adición.

    Sustituya los valores dados por los límites de $ f (x) $ y $ g (x) $ a medida que se acercan a $ a $.

    $ begin {align} lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] & = lim_ {xrightarrow a} f (x) + lim_ {xrightarrow a} g (x) & = - 24 + 4 & = -20end {alineado} $

    una. Esto significa que $ lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] = negrita símbolo {24} $.

    De manera similar, podemos reescribir $ lim_ {xrightarrow a} [4 g (x)] $ como $ 4lim_ {xrightarrow a} g (x) $ usando la ley del coeficiente.

    $ comenzar {alineado} lim_ {xrightarrow a} [4g (x)] & = 4lim_ {xrightarrow a} g (x) & = 4 (4) & = 16end {alineado} $

    B. Por tanto, $ lim_ {xrightarrow a} [4 g (x)] $ es igual a $ boldsymbol {16} $.

    La tercera expresi√≥n requerir√° m√ļltiples leyes de l√≠mites antes de que podamos encontrar el valor de la expresi√≥n. De hecho, para este elemento, necesitaremos las siguientes propiedades:

    • Ley del cociente para romper el l√≠mite de la fracci√≥n.
    • Ley de la ra√≠z para el numerador.
    • Ley de coeficientes para el denominador.

    Sigamos adelante y analicemos $ lim_ {xrightarrow a} dfrac {sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} $ para ver c√≥mo estas leyes ser√≠an √ļtiles para este art√≠culo.

    $ begin {align} lim_ {xrightarrow a} dfrac {sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} & = dfrac {color {blue} {lim_ {xrightarrow a} sqrt {g (x)}}} {color {blue} {lim_ {xrightarrow a} [0.5f (x)]}} color {blue} text {Quotient Law} & = dfrac {color {blue} {sqrt {lim_ {xrightarrow a} g (x) }}} {lim_ {xrightarrow a} [0.5f (x)]} color {blue} text {Root Law} & = dfrac {sqrt {lim_ {xrightarrow a} g (x)}} {color {blue} 0.5 lim_ {xrightarrow a} f (x)} color {blue} text {Coefficient Law} & = dfrac {sqrt {lim_ {xrightarrow a} g (x)}} {0.5lim_ {xrightarrow a} f (x)} end {alineado} $

    Usando la expresión final, sustituyamos $ lim_ {xrightarrow a} f (x) = -24 $ y $ lim_ {xrightarrow a} g (x) = 4 $ en la expresión racional.

    $ begin {align} lim_ {xrightarrow a} dfrac {sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} & = dfrac {sqrt {lim_ {xrightarrow a} g (x)}} {0.5lim_ {xrightarrow a } f (x)} & = dfrac {sqrt {4}} {0.5 (-24)} & = dfrac {2} {- 12} & = - dfrac {1} {6} end {alineado} $

    C. Esto significa que $ lim_ {xrightarrow a} dfrac {sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} $ es igual a $ boldsymbol {-dfrac {1} {6}} $.

    ejemplo 2

    Utilice las diferentes propiedades de los límites para encontrar los valores de las siguientes expresiones.

    una. $ lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - 2x +1 $
    B. $ lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 + bx + c $, donde $ a $, $ b $ y $ c $ son constantes distintas de cero

    ¬ŅQu√© puedes observar de los resultados? En general, ¬Ņc√≥mo podemos evaluar los l√≠mites de una funci√≥n cuadr√°tica?

    Solución

    Aplique la ley de la suma en la expresión $ lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - 2x +1 $.

    $ begin {align} lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - 2x +1 & = lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - lim_ {xrightarrow 2} 2x + lim_ {xrightarrow 2} 1 final {alineado} $

    Simplifique esto a√ļn m√°s aplicando las siguientes leyes de l√≠mites en cada uno de los t√©rminos:

    • Ley de potencia y luego ley de identidad para simplificar $ lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 $.
    • Ley de coeficientes y ley de identidad para simplificar $ lim_ {xrightarrow 2} 2x $.
    • Ley constante para evaluar $ lim_ {xrightarrow 2} 1 $.

    una. Esto significa que $ lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - 2x + 1 $ es igual a $ boldsymbol {1} ‚Äč‚Äč$.

    Como estamos trabajando con una expresión que tiene una expresión similar, también usaremos pasos similares y las mismas leyes de límites para simplificar $ lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 + bx + c $.

    Usando la ley de la adición, tendremos $ lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 + bx + c = lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 + lim_ {xrightarrow k} bx + lim_ {xrightarrow k} c $.

    Simplifiquemos cada término y tengamos en cuenta que $ a $, $ b $ y $ c $ son constantes distintas de cero.

    • Usa el coeficiente, la potencia y luego las leyes de identidad para simplificar $ lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 $.
    • Ley de coeficientes y ley de identidad para simplificar $ lim_ {xrightarrow k} bx $.
    • Ley constante para evaluar $ lim_ {xrightarrow k} c $.

    B. Por tanto, el límite de $ ax ^ 2 + bx + c $ cuando $ x $ se acerca a $ k $ es $ boldsymbol {ak ^ 2 - bk + c} $.

    De los resultados de ayb, tenemos:

    • $ lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - 2x +1 = (2) ^ 2 -2 (2) + 1 $
    • $ lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 + bx + c = a (k) ^ 2 - b (k) + c $

    Podemos ver que para cada caso, los límites resultantes fueron equivalentes a que encontráramos el valor de la expresión dada en $ x = 2 $ y $ x = k $, respectivamente.

    Dado que $ ax ^ 2 + bx + c $ es la forma general de expresiones cuadráticas y $ k $ puede ser cualquier constante distinta de cero, esta observación se aplica a todas las funciones cuadráticas.

    Es decir, cuando se le da una función cuadrática, su límite como $ símbolo en negrita {x} $ enfoques $ boldsymbol {k} $ se puede determinar encontrando el valor de la función en $ símbolo en negrita {x = k} $.

    ¬ŅQuieres echar un vistazo a los pr√≥ximos conceptos que aprender√°s sobre los l√≠mites? En general, el l√≠mite de una funci√≥n polinomial cuando se acerca a $ a $ es igual al valor de la funci√≥n en $ x = a $.

    ejemplo 3

    Suponga que $ lim_ {xrightarrow 2} f (x) = 4 $, $ lim_ {xrightarrow 2} g (x) = -2 $ y $ lim_ {xrightarrow 2} h (x) = 3 $. Utilice las leyes de límites para encontrar el valor de $ lim_ {xrightarrow 2} sqrt [3] {f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2}} $.

    Solución

    Al verificar la expresión, podemos ver que necesitaremos varias leyes de límites para encontrar el valor de la expresión.

    Empiece por trabajar en la expresión radical y aplicar la ley de la raíz.

    $ lim_ {xrightarrow 2} sqrt [3] {f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2}} = sqrt [3] {lim_ {xrightarrow 2} left { f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2} derecha}} $

    Aplica la ley de la resta para separar los dos t√©rminos dentro de la ra√≠z c√ļbica.

    $ sqrt [3] {lim_ {xrightarrow 2} left {f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2} right}} = sqrt [3] {lim_ {xrightarrow 2} izquierda {f (x) [g (x)] ^ 2 derecha} -lim_ {xrightarrow 2} dfrac {h (x)} {x ^ 2}} $

    Centr√©monos en el l√≠mite del primer t√©rmino dentro de la ra√≠z c√ļbica, $ lim_ {xrightarrow 2} f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2} $, y encuentre su valor num√©rico aplicando las siguientes leyes de l√≠mites:

    • Ley de productos para ampliar a√ļn m√°s los t√©rminos.
    • Ley de potencia para simplificar el segundo factor.
    • Sustituye $ lim_ {xrightarrow 2} f (x) = 4 $ y $ lim_ {xrightarrow 2} g (x) = -2 $ de nuevo en la expresi√≥n.

    $ begin {align} lim_ {xrightarrow 2} left {f (x) [g (x)] ^ 2 right} & = {color {blue} lim_ {xrightarrow 2} f (x)} cdot {color {blue} lim_ {xrightarrow 2} [g (x)] ^ 2} color {blue} text {Product Law} & = lim_ {xrightarrow 2} f (x) cdot {color {blue} left [lim_ {xrightarrow 2} g (x ) derecha] ^ 2} color {azul} texto {Ley de potencia} & = 4 cdot (-2) ^ 2 & = 16 final {alineado} $

    Ahora, busquemos el valor numérico de $ lim_ {xrightarrow 2} dfrac {h (x)} {x ^ 2} $ aplicando las siguientes leyes de límites.

    • Ley del cociente para aplicar las leyes de l√≠mites tanto en el numerador como en el denominador.
    • Usa la ley de la potencia para reescribir el denominador.
    • Encuentre el valor de $ lim_ {xrightarrow 2} x $ usando la ley de identidad.
    • Sustituya $ lim_ {xrightarrow 2} h (x) = 3 $ en la expresi√≥n.

    $ begin {align} lim_ {xrightarrow 2} dfrac {h (x)} {x ^ 2} & = dfrac {color {blue} {lim_ {xrightarrow 2} h (x)}} {lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2} color {blue} text {Ley del cociente} & = dfrac {lim_ {xrightarrow 2} h (x)} {color {blue} left (lim_ {xrightarrow 2} x right) ^ 2} color {blue} text { Ley de potencia} & = dfrac {lim_ {xrightarrow 2} h (x)} {color {blue} left (2 right) ^ 2} color {blue} text {Identity Law} & = dfrac {3} {(2 ) ^ 2} & = dfrac {3} {4} final {alineado} $

    Sustituyamos los valores $ lim_ {xrightarrow 2} f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2} = 16 $ y $ lim_ {xrightarrow 2} dfrac {h ( x)} {x ^ 2} = dfrac {3} {4} $, en nuestra expresión original.

    $ begin {align} sqrt [3] {lim_ {xrightarrow 2} left {f (x) [g (x)] ^ 2 right} -lim_ {xrightarrow 2} dfrac {h (x)} {x ^ 2}} & = sqrt [3] {16 - dfrac {3} {4}} & = sqrt [3] {dfrac {64 -3} {4}} & = sqrt [3] {dfrac {61} {4} } final {alineado} $

    Por lo tanto, tenemos $ lim_ {xrightarrow 2} sqrt [3] {f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2}} $ es igual a $ boldsymbol {sqrt [ 3] {dfrac {61} {4}}} $.

    ejemplo 4

    Utilice las leyes de límites para encontrar el valor de $ lim_ {hrightarrow 0} f (h) $ dado que $ f (h) = dfrac {sqrt {5 - h} + 8} {h - 1} $.

    Solución

    Dado que $ f (x) $ contiene una expresión racional, podemos aplicar la ley del cociente aplicar las leyes de límites tanto en el numerador como en el denominador.

    $ begin {align} lim_ {h h rightarrow 0} f (x) & = lim_ {h h rightarrow 0} dfrac {sqrt {5 - h} + 8} {h - 1} & = dfrac {lim_ {h h rightarrow 0} (raíz {5 - h} + 8)} {lim_ {h flecha derecha 0} h - 1} fin {alineado} $

    Primero, simplifica el denominador usando las siguientes leyes de límites:

    • Separe los dos t√©rminos usando el ley de diferencia.
    • Aplique la identidad y leyes constantes para simplificar a√ļn m√°s la expresi√≥n en el denominador.

    $ begin {alineado} lim_ {hrightarrow 0} (h - 1) & = lim_ {hrightarrow 0} h - lim_ {hrightarrow 0} 1 & = 0 -lim_ {hrightarrow 0} 1 & = 0 - 1 & = -1 fin {alineado} $

    Ahora que tenemos un valor numérico para el denominador, sigamos adelante y simplifiquemos la expresión.

    $ begin {align} dfrac {lim_ {h rightarrow 0} (sqrt {5 - h} + 8)} {lim_ {h rightarrow 0} h - 1} & = dfrac {lim_ {h rightarrow 0} (sqrt {5 - h} + 8)} {- 1} & = -lim_ {h flecha derecha 0} (raíz cuadrada {5 - h} + 8) fin {alineado} $

    Simplifique esta expresión aplicando las siguientes propiedades:

    • Aplique la ley de adici√≥n para ampliar los t√©rminos y aplicar l√≠mites a cada t√©rmino.
    • Utiliza el leyes de ra√≠z, resta y constante, luego, finalmente, ley de identidad para simplificar $ lim_ {h rightarrow 0} sqrt {5 - h} $.
    • Utiliza el ley constante en el segundo t√©rmino para evaluar $ lim_ {h rightarrow 0} 8 $.

    $ begin {align} -left [sqrt {lim_ {h rightarrow 0} (5 - h)} + lim_ {h rightarrow 0} 8right] & = -left (sqrt {lim_ {h h rightarrow 0} 5 - lim_ {h h rightarrow 0} h} + lim_ {h flecha derecha 0} 8 derecha) & = -left (sqrt {5 - lim_ {h flecha derecha 0} h} + lim_ {h flecha derecha 0} 8 derecha) & = -left (sqrt {5 - 0} + lim_ {h flecha derecha 0} 8 derecha) & = - (raíz cuadrada {5} + 8) & = -sqrt {5} - 8 final {alineado} $

    Esto significa que $ lim_ {hrightarrow 0} dfrac {sqrt {5 - h} + 8} {h - 1} $ es igual a $ boldsymbol {-sqrt {5} - 8} $.

    ¬ŅTe diviertes con el proceso de encontrar los l√≠mites usando las diferentes propiedades? ¬ŅAdivina qu√©? En realidad, aprender√° m√°s propiedades y t√©cnicas para evaluar los l√≠mites en este art√≠culo.

    Por ahora, le hemos proporcionado más problemas para que pruebe por su cuenta y domine estas leyes de límites.

    Preguntas de pr√°ctica

    1. Usa lo que has aprendido sobre las funciones cuadráticas y sus límites para encontrar los siguientes límites:

    una. $ lim_ {xrightarrow -1} x ^ 2 - 3x +2 $
    B. $ lim_ {xrightarrow 4} 2x ^ 2 + 12x + $ 18
    C. $ lim_ {xrightarrow h} ax ^ 2 - bx - c $, donde $ a $, $ b $ y $ c $ son constantes distintas de cero

    2. Dado que $ lim_ {xrightarrow a} f (x) = -144 $ y $ lim_ {xrightarrow a} g (x) = 36 $, encuentre el valor de las siguientes expresiones usando las propiedades de los límites que acabamos de aprender .

    una. $ lim_ {xrightarrow a} [f (x) - g (x)] $
    B. $ lim_ {xrightarrow a} [-2 g (x)] $
    C. $ lim_ {xrightarrow a} dfrac {12sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} $

    3. Suponga que $ lim_ {xrightarrow 4} f (x) = 12 $, $ lim_ {xrightarrow 4} g (x) = 4 $ y $ lim_ {xrightarrow 4} h (x) = -2 $. Use las leyes de límites para encontrar el valor de $ lim_ {xrightarrow 4} sqrt [4] {f (x) [g (x)] ^ 3-dfrac {h (x)} {x ^ 2}} $.

    4. Utilice las leyes de límites para encontrar el valor de $ lim_ {hrightarrow 0} f (h) $ dado que $ f (h) = dfrac {sqrt {15 - h} - 1} {h + 1} $.

    clave de respuestas

    1.

    una. $ 6 $

    B. $ 98 $

    C. $ ah ^ 2 -bh- c $

    2.

    una. $ -180 $

    B. $ -72 $

    C. $ -1 $

    3. $ 4sqrt [4] {dfrac {6145} {8}} aproximadamente 21.06 $

    4. $ sqrt {15} -1 $

    Las im√°genes / dibujos matem√°ticos se crean con GeoGebra.



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