Leyes de límites: definición, propiedades y ejemplos

Leyes de límites: definición, propiedades y ejemplos

¿Alguna vez se preguntó si existe una manera más fácil de encontrar los límites de una función sin su gráfica o tabla de valores? Podemos utilizar las diferentes propiedades y leyes de límites disponibles. Las leyes de límites son importantes para manipular y evaluar los límites de las funciones.


Las leyes de límite son reglas y propiedades útiles que podemos usar para evaluar el límite de una función. 

Las leyes de límites también son útiles para comprender cómo podemos descomponer expresiones y funciones más complejas para encontrar sus propios límites. En este artículo, aprenderemos sobre las diferentes leyes de límites y también discutiremos otras propiedades de límites que pueden ayudarnos en nuestros próximos temas de precálculo y cálculo.



Antes de establecer estas propiedades y aprender a aplicarlas, ¿por qué no seguimos adelante y comenzamos con la definición de leyes límite?

name="-cu-les-son-las-leyes-de-l-mites-">¿Cuáles son las leyes de límites?

Como hemos mencionado, las leyes de límites son las diferentes leyes o propiedades que podemos aplicar para manipular funciones y eventualmente encontrar sus límites.

Por ejemplo, si queremos encontrar el límite de $ f (x) = -2x ^ 2 + 5x - 8 $ a medida que se acerca a 6, nuestro conocimiento previo nos indicaría que graficamos o construyamos una tabla de valores.


Sin embargo, con las leyes de límites, necesitaremos algunos pasos para evaluar $ lim {x rightarrow 6} -2x ^ 2 + 5x - 8 $.

$ begin {align} lim_ {xrightarrow6} -2x ^ 2 + 5x - 8 & = lim_ {xrightarrow6} -2x ^ 2 + lim_ {xrightarrow6} 5x + lim_ {xrightarrow6} -8color {blue} texto {{Ley de suma}} & = lim_ {xrightarrow6} -2x ^ 2 + lim_ {xrightarrow6} 5x + -8color {blue} text {{Ley constante}} & = - 72 + 30 + -8color {blue} text {{Propiedad de la función polinomial} } & = - 50 final {alineado} $


No te preocupes. Una vez que se le presente una lista de leyes de límites, ¡evaluar los límites también será más fácil para usted! De hecho, ya hemos aprendido algunas de estas leyes de límites en el pasado, pero se encuentran en formas mucho más simples y generales.


Note que a lo largo de toda la discusión, asumiremos que las dos expresiones, $ lim_ {xrightarrow a} f (x) $ y $ lim_ {xrightarrow a} g (x) $, existen y $ a $ es una constante.

name="-cu-les-son-las-propiedades-de-los-l-mites-">¿Cuáles son las propiedades de los límites?

¿Por qué no nos presentamos lentamente a las propiedades de los límites y las leyes que pueden ayudarnos? Esta sección también explorará ejemplos que hacen uso de estas propiedades y leyes, para que también podamos comprenderlas mejor.

Si es la primera vez que se encuentra con estas propiedades, intente escribir los nombres de las leyes límite y las definiciones algebraicas. Resuma estos en una tabla como guía para los ejemplos de esta sección y los siguientes temas que puede encontrar relacionados con el límite de una función.

¿No tienes un papel o tu aplicación para tomar notas cerca? No se preocupe, ¡también resumimos estas propiedades al final de esta sección!

name="comprender-las-dos-leyes-de-l-mites-m-s-fundamentales">Comprender las dos leyes de límites más fundamentales

Agruparemos con estas dos leyes básicas de límites porque son las dos leyes más aplicadas y las leyes de límites más simples. Estas son leyes constantes y de identidad.

Ley constante: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} c = c} $

Esta ley de límite establece que el límite de una constante $ c $, cuando $ x $ se acerca a $ a $, es igual a la constante misma.

src="/images/posts/7799ceb14335430cdc002f33a5f7210b-0.jpg">


El gráfico anterior ilustra por qué la ley constante es verdadera para todos los valores de $ a $ y $ c $. Independientemente del valor de $ a $, la función seguirá siendo igual a $ c $.

Aquí hay algunos ejemplos sobre cómo podemos aplicar la ley constante para algunos límites.

Ley de identidad: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} x = c} $

¿Sabes por qué llamamos a esto la ley de identidad? Eso es porque estamos tratando con la función lineal, $ y = x $, para esta ley del límite. La ley del límite establece que el límite de $ y = x $ cuando se acerca a $ a $ es igual al número (o $ a $) cuando $ x $ se acerca.

src="/images/posts/7799ceb14335430cdc002f33a5f7210b-1.jpg">


Aquí hay una ilustración de por qué la ley de identidad es cierta para todos los valores de $ x $. A medida que $ x $ se acerca a $ a $, el valor de $ y $ dependerá del valor de $ x $, de modo que cuando $ x $ se acerque a $ a $, $ y $ también se acercará a $ a $.

Consulte estos tres ejemplos para comprender mejor la ley de identidad.

¿Listo para conocer más leyes de límites? Aquí hay cinco más que se enfocan en las cuatro operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división.

name="limitar-leyes-que-involucran-operaciones-aritm-ticas">Limitar leyes que involucran operaciones aritméticas

Estamos agrupando estas leyes de límites porque comparten formas similares y contienen las cuatro operaciones aritméticas más utilizadas en una función determinada.

Ley de adición: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] = lim_ {xrightarrow a} f (x) + lim_ {xrightarrow a} g (x)} $

La ley de la adición reitera que cuando tomamos el límite de la suma de dos funciones, el resultado es equivalente a la suma de los límites respectivos de la función cuando $ x $ se acerca a $ a $.

Si $ lim_ {xrightarrow 3} f (x) = -2 $ y $ lim_ {xrightarrow 3} g (x) = 5 $, esto significa que $ {lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x) ] $ se puede determinar como se muestra a continuación.

$ begin {align} lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] & = lim_ {xrightarrow a} f (x) + lim_ {xrightarrow a} g (x) & = - 2 + 5 & = 3 final {alineado} $

Ley de resta: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} [f (x) - g (x)] = lim_ {xrightarrow a} f (x) - lim_ {xrightarrow a} g (x)} $

Esta ley es similar a su contraparte adicional. Establece que el límite de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia entre los límites de cada función como $ x flecha derecha a $.

¿Por qué no aplicamos esta ley junto con las leyes de constante e identidad para simplificar $ lim_ {x flecha derecha -6} (x - 4) $?

$ begin {alineado} lim_ {x flecha derecha -6} (x - 4) & = lim_ {x flecha derecha -6} x - lim_ {x flecha derecha -6} -4 color {azul} texto {{Ley de resta}} & = lim_ {x flecha derecha -6} x -4color {azul} texto {{Ley constante}} & = -6 - 4 colores {azul} texto {{Ley de identidad}} & = - 10 final {alineado} $

Este es un buen ejemplo que muestra cómo se aplican todas estas propiedades para simplificar y evaluar límites.

Ley de coeficientes: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} c cdot f (x) = c lim_ {xrightarrow a} f (x)} $

Esta ley establece que el límite del producto compartido por una constante, $ c $, y la función, $ f (x) $, será la misma cuando multiplicamos $ c $ hasta el límite de $ f (x) $ como se acerca a $ a $.

Aquí hay algunas aplicaciones sencillas de esta ley:

Ley de producto: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} [f (x) cdot g (x)] = lim_ {xrightarrow a} f (x) cdot lim_ {xrightarrow a} g (x)} $

Al igual que las leyes de suma y resta, esta ley de límite particular establece que el límite del producto de dos funciones es igual al producto de los límites correspondientes de cada función.

¿Por qué no intentamos simplificar $ lim_ {xrightarrow 5} 2x $ usando la ley del producto y las leyes anteriores que hemos aprendido?

$ begin {align} lim_ {x rightarrow 5} 2x & = lim_ {x rightarrow 5} (2 cdot x) & = lim_ {x rightarrow 5} 2 cdot lim_ {x rightarrow 5} xcolor {blue} texto {{Producto Ley}} & = 2 cdot lim_ {x flecha derecha 5} xcolor {azul} texto {{Ley constante}} & = 2 cdot 5 color {azul} texto {{Ley de identidad}} & = 10 final {alineado} PS

Ley del cociente: $ boldsymbol {lim_ {xrightarrow a} dfrac {f (x)} {g (x)} = dfrac {lim_ {xrightarrow a} f (x)} {lim_ {xrightarrow a} g (x)}} $, dónde $ negrita símbolo {lim_ {xrightarrow a} g (x) neq 0} $

Esto significa que el límite del cociente de dos funciones es equivalente a la razón de cada uno de los límites de las funciones. Tenga en cuenta que esta ley solo se aplica cuando $ lim_ {xrightarrow a} g (x) neq 0 $.

Esto significa que si $ lim_ {xrightarrow a} f (x) = P $ y $ lim_ {xrightarrow a} g (x) = Q $, el límite de $ dfrac {f (x)} {g (x)} $ como $ x flecha derecha a $ es igual a $ dfrac {lim_ {x flecha derecha a} f (x)} {lim_ {x flecha derecha a} g (x)} = dfrac {P} {Q} $.

name="limitar-leyes-que-involucran-exponentes-y-ra-ces">Limitar leyes que involucran exponentes y raíces

Ahora que hemos cubierto todas las leyes de límite que involucran las cuatro operaciones básicas, es hora de mejorar nuestro juego y aprendamos sobre las leyes de límite para funciones que contienen exponentes y raíces.

Ley de potencia: $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} [f (x)] ^ n = left [lim_ {xrightarrow a} f (x) right] ^ n} $, dónde $ negrita símbolo {lim_ {xrightarrow a} f (x) neq 0} $ at $ símbolo en negrita {n <0} $

El límite de la función que se eleva a $ n ^ {th} $ potencia devolverá el mismo resultado cuando encontramos el límite de $ f (x) $ primero cuando $ x $ se acerca a $ a $ y luego aumenta el resultado en $ n ^ {th} $ poder.

Tenga en cuenta que esta ley solo es cierta cuando el límite de $ f (x) $ cuando $ x $ se acerca a $ a $ no es cero cuando $ n $ es negativo.

Simplificar $ lim_ {xrightarrow -2} (x - 1) ^ 4 $ requerirá que usemos la ley de potencias. Sigamos adelante y veamos cómo podemos simplificar esta expresión.

$ begin {align} lim_ {x rightarrow -2} (x -1) ^ 4 & = left [lim_ {x rightarrow -2} (x -1) right] ^ 4 color {blue} text {{Power Law}} & = izquierda (lim_ {x flecha derecha -2} x - lim_ {x flecha derecha -2} 1 derecha) ^ 4color {azul} texto {{Ley de resta}} & = izquierda (-2 - lim_ {x flecha derecha -2} 1 derecha) ^ 4color {azul} texto {{Ley de identidad}} & = (-2 - 1) ^ 4color {azul} texto {{Ley constante}} & = (- 3) ^ 4 & = 81 end { alineado} $

Ley de la raíz: $ negrita símbolo {lim_ {xrightarrow a} sqrt [n] {f (x)} = sqrt [n] {lim_ {xrightarrow a} f (x)}} $, dónde $ símbolo en negrita {lim_ {xrightarrow a} f (x) geq} $ dónde $ boldsymbol {n} $ incluso

Recuerde que $ k ^ {{1} {n}} = sqrt [n] {k} $, por lo que la ley de la raíz es en realidad una extensión de la ley de potencia. Esto significa que el límite de la raíz $ n ^ {th} $ de la función también es igual a la raíz $ n ^ {th} $ del límite de la función cuando $ x $ se acerca a $ a $.

Dado que tenemos restricciones cuando la raíz es par, asegúrese de que el límite de $ f (x) $ cuando se acerca a $ a $ sea positivo cuando $ n $ sea par.

Apliquemos lo que acabamos de aprender para simplificar $ lim_ {xrightarrow 4} sqrt [3] {f (x)} $ if $ lim_ {xrightarrow 4} f (x) = -27 $?

Usando la ley de la raíz, tenemos $ lim_ {xrightarrow 4} sqrt [3] {f (x)} = sqrt [3] {lim_ {xrightarrow 4} f (x)} $. Dado que $ lim_ {xrightarrow 4} f (x) = -27 $, ahora tenemos $ lim_ {xrightarrow 4} sqrt [3] {f (x)} = sqrt [3] {-27} $ o $ -3 PS

¿Ha notado un patrón común compartido por todas las leyes de límites que acabamos de aprender? La regla general que muestran las leyes del límite es que siempre que aplicamos una operación en el límite de una función, podemos encontrar el límite de la función primero y luego tomar el límite de la expresión resultante.

name="resumen-de-las-propiedades-de-los-l-mites">Resumen de las propiedades de los límites

Aprenderemos más sobre las aplicaciones de las leyes de límites cuando aprendamos a evaluar los límites de funciones más complejas. Por ahora, avancemos primero y resumamos las leyes de límites que acabamos de aprender a lo largo de este artículo.

Asegúrese de revisar todas las propiedades que hemos discutido en la sección anterior antes de responder los problemas que siguen.

ejemplo 1

Dado que $ lim_ {xrightarrow a} f (x) = -24 $ y $ lim_ {xrightarrow a} g (x) = 4 $, encuentre el valor de las siguientes expresiones usando las propiedades de los límites que acabamos de aprender.

una. $ lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] $

B. $ lim_ {xrightarrow a} [4 g (x)] $

C. $ lim_ {xrightarrow a} dfrac {sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} $

Solución

Cuando trabaje con problemas como estos por primera vez, siempre es útil tener una lista de las leyes de límites que acabamos de discutir. De esta manera, siempre puede verificar si existe una ley de límite que pueda aplicarse a nuestro problema.

Podemos reescribir $ lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] $ como $ lim_ {xrightarrow a} f (x) + lim_ {xrightarrow a} g (x) $ usando la ley de la adición.

Sustituya los valores dados por los límites de $ f (x) $ y $ g (x) $ a medida que se acercan a $ a $.

$ begin {align} lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] & = lim_ {xrightarrow a} f (x) + lim_ {xrightarrow a} g (x) & = - 24 + 4 & = -20end {alineado} $

una. Esto significa que $ lim_ {xrightarrow a} [f (x) + g (x)] = negrita símbolo {24} $.

De manera similar, podemos reescribir $ lim_ {xrightarrow a} [4 g (x)] $ como $ 4lim_ {xrightarrow a} g (x) $ usando la ley del coeficiente.

$ comenzar {alineado} lim_ {xrightarrow a} [4g (x)] & = 4lim_ {xrightarrow a} g (x) & = 4 (4) & = 16end {alineado} $

B. Por tanto, $ lim_ {xrightarrow a} [4 g (x)] $ es igual a $ boldsymbol {16} $.

La tercera expresión requerirá múltiples leyes de límites antes de que podamos encontrar el valor de la expresión. De hecho, para este elemento, necesitaremos las siguientes propiedades:

  • Ley del cociente para romper el límite de la fracción.
  • Ley de la raíz para el numerador.
  • Ley de coeficientes para el denominador.

Sigamos adelante y analicemos $ lim_ {xrightarrow a} dfrac {sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} $ para ver cómo estas leyes serían útiles para este artículo.

$ begin {align} lim_ {xrightarrow a} dfrac {sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} & = dfrac {color {blue} {lim_ {xrightarrow a} sqrt {g (x)}}} {color {blue} {lim_ {xrightarrow a} [0.5f (x)]}} color {blue} text {Quotient Law} & = dfrac {color {blue} {sqrt {lim_ {xrightarrow a} g (x) }}} {lim_ {xrightarrow a} [0.5f (x)]} color {blue} text {Root Law} & = dfrac {sqrt {lim_ {xrightarrow a} g (x)}} {color {blue} 0.5 lim_ {xrightarrow a} f (x)} color {blue} text {Coefficient Law} & = dfrac {sqrt {lim_ {xrightarrow a} g (x)}} {0.5lim_ {xrightarrow a} f (x)} end {alineado} $

Usando la expresión final, sustituyamos $ lim_ {xrightarrow a} f (x) = -24 $ y $ lim_ {xrightarrow a} g (x) = 4 $ en la expresión racional.

$ begin {align} lim_ {xrightarrow a} dfrac {sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} & = dfrac {sqrt {lim_ {xrightarrow a} g (x)}} {0.5lim_ {xrightarrow a } f (x)} & = dfrac {sqrt {4}} {0.5 (-24)} & = dfrac {2} {- 12} & = - dfrac {1} {6} end {alineado} $

C. Esto significa que $ lim_ {xrightarrow a} dfrac {sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} $ es igual a $ boldsymbol {-dfrac {1} {6}} $.

ejemplo 2

Utilice las diferentes propiedades de los límites para encontrar los valores de las siguientes expresiones.

una. $ lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - 2x +1 $
B. $ lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 + bx + c $, donde $ a $, $ b $ y $ c $ son constantes distintas de cero

¿Qué puedes observar de los resultados? En general, ¿cómo podemos evaluar los límites de una función cuadrática?

Solución

Aplique la ley de la suma en la expresión $ lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - 2x +1 $.

$ begin {align} lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - 2x +1 & = lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - lim_ {xrightarrow 2} 2x + lim_ {xrightarrow 2} 1 final {alineado} $

Simplifique esto aún más aplicando las siguientes leyes de límites en cada uno de los términos:

  • Ley de potencia y luego ley de identidad para simplificar $ lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 $.
  • Ley de coeficientes y ley de identidad para simplificar $ lim_ {xrightarrow 2} 2x $.
  • Ley constante para evaluar $ lim_ {xrightarrow 2} 1 $.

una. Esto significa que $ lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2 - 2x + 1 $ es igual a $ boldsymbol {1} ​​$.

Como estamos trabajando con una expresión que tiene una expresión similar, también usaremos pasos similares y las mismas leyes de límites para simplificar $ lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 + bx + c $.

Usando la ley de la adición, tendremos $ lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 + bx + c = lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 + lim_ {xrightarrow k} bx + lim_ {xrightarrow k} c $.

Simplifiquemos cada término y tengamos en cuenta que $ a $, $ b $ y $ c $ son constantes distintas de cero.

  • Usa el coeficiente, la potencia y luego las leyes de identidad para simplificar $ lim_ {xrightarrow k} ax ^ 2 $.
  • Ley de coeficientes y ley de identidad para simplificar $ lim_ {xrightarrow k} bx $.
  • Ley constante para evaluar $ lim_ {xrightarrow k} c $.

B. Por tanto, el límite de $ ax ^ 2 + bx + c $ cuando $ x $ se acerca a $ k $ es $ boldsymbol {ak ^ 2 - bk + c} $.

De los resultados de ayb, tenemos:

Podemos ver que para cada caso, los límites resultantes fueron equivalentes a que encontráramos el valor de la expresión dada en $ x = 2 $ y $ x = k $, respectivamente.

Dado que $ ax ^ 2 + bx + c $ es la forma general de expresiones cuadráticas y $ k $ puede ser cualquier constante distinta de cero, esta observación se aplica a todas las funciones cuadráticas.

Es decir, cuando se le da una función cuadrática, su límite como $ símbolo en negrita {x} $ enfoques $ boldsymbol {k} $ se puede determinar encontrando el valor de la función en $ símbolo en negrita {x = k} $.

¿Quieres echar un vistazo a los próximos conceptos que aprenderás sobre los límites? En general, el límite de una función polinomial cuando se acerca a $ a $ es igual al valor de la función en $ x = a $.

ejemplo 3

Suponga que $ lim_ {xrightarrow 2} f (x) = 4 $, $ lim_ {xrightarrow 2} g (x) = -2 $ y $ lim_ {xrightarrow 2} h (x) = 3 $. Utilice las leyes de límites para encontrar el valor de $ lim_ {xrightarrow 2} sqrt [3] {f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2}} $.

Solución

Al verificar la expresión, podemos ver que necesitaremos varias leyes de límites para encontrar el valor de la expresión.

Empiece por trabajar en la expresión radical y aplicar la ley de la raíz.

$ lim_ {xrightarrow 2} sqrt [3] {f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2}} = sqrt [3] {lim_ {xrightarrow 2} left { f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2} derecha}} $

Aplica la ley de la resta para separar los dos términos dentro de la raíz cúbica.

$ sqrt [3] {lim_ {xrightarrow 2} left {f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2} right}} = sqrt [3] {lim_ {xrightarrow 2} izquierda {f (x) [g (x)] ^ 2 derecha} -lim_ {xrightarrow 2} dfrac {h (x)} {x ^ 2}} $

Centrémonos en el límite del primer término dentro de la raíz cúbica, $ lim_ {xrightarrow 2} f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2} $, y encuentre su valor numérico aplicando las siguientes leyes de límites:

  • Ley de productos para ampliar aún más los términos.
  • Ley de potencia para simplificar el segundo factor.
  • Sustituye $ lim_ {xrightarrow 2} f (x) = 4 $ y $ lim_ {xrightarrow 2} g (x) = -2 $ de nuevo en la expresión.

$ begin {align} lim_ {xrightarrow 2} left {f (x) [g (x)] ^ 2 right} & = {color {blue} lim_ {xrightarrow 2} f (x)} cdot {color {blue} lim_ {xrightarrow 2} [g (x)] ^ 2} color {blue} text {Product Law} & = lim_ {xrightarrow 2} f (x) cdot {color {blue} left [lim_ {xrightarrow 2} g (x ) derecha] ^ 2} color {azul} texto {Ley de potencia} & = 4 cdot (-2) ^ 2 & = 16 final {alineado} $

Ahora, busquemos el valor numérico de $ lim_ {xrightarrow 2} dfrac {h (x)} {x ^ 2} $ aplicando las siguientes leyes de límites.

  • Ley del cociente para aplicar las leyes de límites tanto en el numerador como en el denominador.
  • Usa la ley de la potencia para reescribir el denominador.
  • Encuentre el valor de $ lim_ {xrightarrow 2} x $ usando la ley de identidad.
  • Sustituya $ lim_ {xrightarrow 2} h (x) = 3 $ en la expresión.

$ begin {align} lim_ {xrightarrow 2} dfrac {h (x)} {x ^ 2} & = dfrac {color {blue} {lim_ {xrightarrow 2} h (x)}} {lim_ {xrightarrow 2} x ^ 2} color {blue} text {Ley del cociente} & = dfrac {lim_ {xrightarrow 2} h (x)} {color {blue} left (lim_ {xrightarrow 2} x right) ^ 2} color {blue} text { Ley de potencia} & = dfrac {lim_ {xrightarrow 2} h (x)} {color {blue} left (2 right) ^ 2} color {blue} text {Identity Law} & = dfrac {3} {(2 ) ^ 2} & = dfrac {3} {4} final {alineado} $

Sustituyamos los valores $ lim_ {xrightarrow 2} f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2} = 16 $ y $ lim_ {xrightarrow 2} dfrac {h ( x)} {x ^ 2} = dfrac {3} {4} $, en nuestra expresión original.

$ begin {align} sqrt [3] {lim_ {xrightarrow 2} left {f (x) [g (x)] ^ 2 right} -lim_ {xrightarrow 2} dfrac {h (x)} {x ^ 2}} & = sqrt [3] {16 - dfrac {3} {4}} & = sqrt [3] {dfrac {64 -3} {4}} & = sqrt [3] {dfrac {61} {4} } final {alineado} $

Por lo tanto, tenemos $ lim_ {xrightarrow 2} sqrt [3] {f (x) [g (x)] ^ 2-dfrac {h (x)} {x ^ 2}} $ es igual a $ boldsymbol {sqrt [ 3] {dfrac {61} {4}}} $.

ejemplo 4

Utilice las leyes de límites para encontrar el valor de $ lim_ {hrightarrow 0} f (h) $ dado que $ f (h) = dfrac {sqrt {5 - h} + 8} {h - 1} $.

Solución

Dado que $ f (x) $ contiene una expresión racional, podemos aplicar la ley del cociente aplicar las leyes de límites tanto en el numerador como en el denominador.

$ begin {align} lim_ {h h rightarrow 0} f (x) & = lim_ {h h rightarrow 0} dfrac {sqrt {5 - h} + 8} {h - 1} & = dfrac {lim_ {h h rightarrow 0} (raíz {5 - h} + 8)} {lim_ {h flecha derecha 0} h - 1} fin {alineado} $

Primero, simplifica el denominador usando las siguientes leyes de límites:

  • Separe los dos términos usando el ley de diferencia.
  • Aplique la identidad y leyes constantes para simplificar aún más la expresión en el denominador.

$ begin {alineado} lim_ {hrightarrow 0} (h - 1) & = lim_ {hrightarrow 0} h - lim_ {hrightarrow 0} 1 & = 0 -lim_ {hrightarrow 0} 1 & = 0 - 1 & = -1 fin {alineado} $

Ahora que tenemos un valor numérico para el denominador, sigamos adelante y simplifiquemos la expresión.

$ begin {align} dfrac {lim_ {h rightarrow 0} (sqrt {5 - h} + 8)} {lim_ {h rightarrow 0} h - 1} & = dfrac {lim_ {h rightarrow 0} (sqrt {5 - h} + 8)} {- 1} & = -lim_ {h flecha derecha 0} (raíz cuadrada {5 - h} + 8) fin {alineado} $

Simplifique esta expresión aplicando las siguientes propiedades:

  • Aplique la ley de adición para ampliar los términos y aplicar límites a cada término.
  • Utiliza el leyes de raíz, resta y constante, luego, finalmente, ley de identidad para simplificar $ lim_ {h rightarrow 0} sqrt {5 - h} $.
  • Utiliza el ley constante en el segundo término para evaluar $ lim_ {h rightarrow 0} 8 $.

$ begin {align} -left [sqrt {lim_ {h rightarrow 0} (5 - h)} + lim_ {h rightarrow 0} 8right] & = -left (sqrt {lim_ {h h rightarrow 0} 5 - lim_ {h h rightarrow 0} h} + lim_ {h flecha derecha 0} 8 derecha) & = -left (sqrt {5 - lim_ {h flecha derecha 0} h} + lim_ {h flecha derecha 0} 8 derecha) & = -left (sqrt {5 - 0} + lim_ {h flecha derecha 0} 8 derecha) & = - (raíz cuadrada {5} + 8) & = -sqrt {5} - 8 final {alineado} $

Esto significa que $ lim_ {hrightarrow 0} dfrac {sqrt {5 - h} + 8} {h - 1} $ es igual a $ boldsymbol {-sqrt {5} - 8} $.

¿Te diviertes con el proceso de encontrar los límites usando las diferentes propiedades? ¿Adivina qué? En realidad, aprenderá más propiedades y técnicas para evaluar los límites en este artículo.

Por ahora, le hemos proporcionado más problemas para que pruebe por su cuenta y domine estas leyes de límites.

name="preguntas-de-pr-ctica">Preguntas de práctica

1. Usa lo que has aprendido sobre las funciones cuadráticas y sus límites para encontrar los siguientes límites:

una. $ lim_ {xrightarrow -1} x ^ 2 - 3x +2 $
B. $ lim_ {xrightarrow 4} 2x ^ 2 + 12x + $ 18
C. $ lim_ {xrightarrow h} ax ^ 2 - bx - c $, donde $ a $, $ b $ y $ c $ son constantes distintas de cero

2. Dado que $ lim_ {xrightarrow a} f (x) = -144 $ y $ lim_ {xrightarrow a} g (x) = 36 $, encuentre el valor de las siguientes expresiones usando las propiedades de los límites que acabamos de aprender .

una. $ lim_ {xrightarrow a} [f (x) - g (x)] $
B. $ lim_ {xrightarrow a} [-2 g (x)] $
C. $ lim_ {xrightarrow a} dfrac {12sqrt {g (x)}} {0.5f (x)} $

3. Suponga que $ lim_ {xrightarrow 4} f (x) = 12 $, $ lim_ {xrightarrow 4} g (x) = 4 $ y $ lim_ {xrightarrow 4} h (x) = -2 $. Use las leyes de límites para encontrar el valor de $ lim_ {xrightarrow 4} sqrt [4] {f (x) [g (x)] ^ 3-dfrac {h (x)} {x ^ 2}} $.

4. Utilice las leyes de límites para encontrar el valor de $ lim_ {hrightarrow 0} f (h) $ dado que $ f (h) = dfrac {sqrt {15 - h} - 1} {h + 1} $.

clave de respuestas

1.

una. $ 6 $

B. $ 98 $

C. $ ah ^ 2 -bh- c $

2.

una. $ -180 $

B. $ -72 $

C. $ -1 $

3. $ 4sqrt [4] {dfrac {6145} {8}} aproximadamente 21.06 $

4. $ sqrt {15} -1 $

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



Añade un comentario de Leyes de límites: definición, propiedades y ejemplos
¡Comentario enviado con éxito! Lo revisaremos en las próximas horas.