Líneas coplanares: explicaciones y ejemplos

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Aina Prat
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Líneas coplanares: explicaciones y ejemplos

Determinar si dos o m√°s l√≠neas son l√≠neas coplanares ser√° √ļtil, especialmente cuando se trabaja con geometr√≠a b√°sica y de coordenadas. Sigamos adelante y recordemos su definici√≥n.

                                      Las l√≠neas coplanares son l√≠neas que se encuentran en el mismo plano.

If los puntos coplanares son puntos que se encuentran en el mismo plano, lo mismo se aplica a las líneas coplanares: también comparten el mismo plano.



En este artículo, nos sumergiremos en la definición fundamental de líneas coplanares, sus propiedades y aprenderemos cómo podemos identificarlas a partir de ejemplos del mundo real.

¬ŅQu√© son las l√≠neas coplanares?

Las líneas y los segmentos de línea que se encuentran en el mismo plano (y, en consecuencia, el espacio) se consideran líneas coplanares.


La imagen de arriba es un buen ejemplo de un plano con tres segmentos de línea coplanares entre sí. $ overline {AB} $, $ overline {CD} $ y $ overline {EF} $ se encuentran todos en el mismo plano; por eso son líneas coplanares.

Analicemos también los términos importantes cuando aprendamos sobre las líneas coplanares:

  • l√≠nea: un conjunto de puntos que se extienden a ambos lados infinitamente
  • coplanar: cuando los puntos o las l√≠neas se encuentran en el mismo plano, se consideran coplanares
  • no coplanar: cuando los puntos o las l√≠neas no se encuentran en el mismo plano, se consideran no coplanar

¬ŅC√≥mo llamamos a las l√≠neas que no se encuentran en el mismo plano? Las rectas que no se encuentran en el mismo plano se llaman l√≠neas no coplanares.


¬ŅCu√°les son algunos ejemplos del mundo real de l√≠neas coplanares?

  • Las l√≠neas de un cuaderno son coplanares entre s√≠.
    • Dado que se encuentran en la misma p√°gina, se encuentran en el mismo plano. Dato curioso: estas l√≠neas no solo son coplanares, sino que tambi√©n son paralelas.
  • La pr√°ctica de nuestros relojes y relojes tambi√©n es coplanares.
    • Las manecillas de segundos, minutos y horas se encuentran todas en el mismo espacio circular.
  • Las cuadr√≠culas se encuentran en un papel cuadriculado.
    • Dado que las l√≠neas verticales y horizontales de la cuadr√≠cula se encuentran en el mismo papel, son puntos coplanares.

 

¬ŅC√≥mo encontrar puntos coplanares y l√≠neas coplanares?

Al buscar puntos y líneas coplanares, es importante volver a las definiciones básicas de los dos. Aquí hay una guía de preguntas para ayudarlo a decidir si dos o más puntos o líneas son coplanares entre sí:


  • ¬ŅLas l√≠neas se encuentran en el mismo plano?
  • ¬ŅLos puntos se encuentran en la misma l√≠nea?

Si la respuesta es sí a cualquiera de las dos preguntas, entonces son coplanares. Comience con un punto o línea de referencia, luego busque otro par que se encuentre a lo largo del mismo plano.

Definición de líneas coplanares

Como resumen, las líneas son coplanares siempre que compartan el mismo espacio y plano. En los polígonos, todas sus líneas son coplanares entre sí.

Intentemos buscar dos pares de puntos coplanares y líneas coplanares de las figuras que se muestran a continuación.



Cuando se le dé un punto de partida, busque puntos que se encuentren a lo largo del mismo plano. Como estamos trabajando con una figura bidimensional, todos los puntos que se encuentran en un plano son coplanares entre sí.

$ Q $ y $ R $ son coplanares.

$ K $ y $ L $ son coplanares.

Haga lo mismo con las líneas coplanares: busque una línea que se encuentre a lo largo del mismo plano.

$ overline {ST} $ y $ overline {UV} $ son coplanares.

$ overline {KL} $ y $ overline {MN} $ son coplanares.

¬°Hay muchas otras combinaciones posibles para que puedas probarlo por tu cuenta!

Intentemos responder los ejemplos que se muestran a continuación utilizando las propiedades que acabamos de aprender.


Líneas coplanares en geometría vectorial y de coordenadas

Seremos reintroducidos a las líneas coplanares cuando tomemos clases de matemáticas avanzadas que involucren ecuaciones en formas vectoriales y cartesianas.

  • En forma vectorial: si hay dos l√≠neas no paralelas, $ boldsymbol {r} = boldsymbol {a} + mboldsymbol {b} $ y $ s√≠mbolo en negrita {r} = s√≠mbolo en negrita {c} + s√≠mbolo en negrita {d} $ son coplanares, $ (s√≠mbolo en negrita {c}-s√≠mbolo en negrita {a}) (s√≠mbolo en negrita {b} s√≠mbolo en negrita {d} = 0) $.
  • En forma cartesiana: cuando los coeficientes y el determinante de sus correspondientes razones es cero, las l√≠neas son coplanares.

Estos son solo un vistazo rápido de cómo se aplican las líneas coplanares en matemáticas superiores, pero por ahora, centrémonos en la definición geométrica y las propiedades de los puntos y las líneas coplanares.

Intentemos comprobar nuestro conocimiento de las líneas y puntos coplanares probando estos ejemplos.

ejemplo 1

¬ŅCu√°les de las siguientes opciones no son coplanares?

  1. Marcas de l√≠nea en una br√ļjula.
  2. Dise√Īos lineales sobre un papel pintado.
  3. Coordenadas en un plano $ xy $.
  4. Las líneas en dos cuadernos diferentes.

Solución

Las tres primeras opciones se encuentran todas en el mismo plano.

  • La br√ļjula contiene todas las marcas de l√≠nea en una superficie.
  • Los fondos de pantalla son bidimensionales, por lo que todas las l√≠neas alrededor y dentro de √©l son coplanares.
  • Las coordenadas en un plano son todos puntos coplanares.

Sin embargo, las líneas en dos portátiles diferentes yacen sobre dos superficies diferentes, por lo que no son coplanares.

ejemplo 2

¬ŅVerdadero o falso? Las l√≠neas oblicuas son coplanares. Justifica tu respuesta.

Solución

Esta afirmación es falsa. Recuerde que las líneas oblicuas son líneas que no se encuentran en el mismo plano, nunca se cruzan ni son paralelas. Esto significa que las líneas sesgadas son nunca coplanar y en cambio son no coplanares.

ejemplo 3

Tome una captura de pantalla o un fragmento de la figura que se muestra a continuación, luego dibuje dos líneas coplanares.

Solución

Como estamos trabajando en una figura bidimensional, podemos construir líneas coplanares alrededor y dentro de la figura. Aquí hay algunas posibles respuestas a este problema:

Como puede ver, siempre que las líneas se encuentren dentro o alrededor del hexágono, la solución se considerará válida. ¡Ahora es el momento de trabajar por tu cuenta e intentar construir algunas líneas coplanares!

ejemplo 4

Tome una captura de pantalla o un fragmento de la figura que se muestra a continuación, luego dibuje dos líneas coplanares.

Solución

Como estamos trabajando en una figura tridimensional, podemos construir líneas coplanares alrededor y dentro de una superficie a la vez. Aquí hay algunas posibles respuestas a este problema:

Como puede ver, siempre que las líneas se encuentren dentro de una superficie cada vez, el par de líneas coplanares es válido.

Hay seis superficies en el prisma que se muestra, por lo que definitivamente podrá encontrar otras líneas coplanares.

 Utilice la imagen que se muestra a continuaci√≥n para responder los Ejemplos 5 a 6.

ejemplo 5

Use la imagen que se muestra arriba y nombre tres pares de puntos coplanares.

Solución

Recuerde que los puntos coplanares son puntos que se encuentran a lo largo del mismo plano. Podemos elegir tres pares de cualquiera de los dos planos siempre que sean del mismo plano cada vez.

A continuación se muestran tres posibles pares de puntos coplanares:

Puntos $ A $ y $ Z $

Puntos $ M $ y $ F $

Puntos $ J $ y $ N $

ejemplo 6

Use la misma imagen que se muestra arriba y nombre tres pares de líneas coplanares.

Solución

Recuerde que las líneas coplanares son líneas que se encuentran en el mismo plano. Podemos elegir tres pares de cualquiera de los dos planos siempre que sean del mismo plano.

A continuación se muestran tres posibles pares de líneas coplanares:

Líneas $ overline {ZA} $ y $ overline {VW} $

Líneas $ overline {JN} $ y $ overline {KL} $

Líneas $ overline {HG} $ y $ overline {CD} $

Utilice la imagen que se muestra a continuación para responder los Ejemplos 7 a 8.

ejemplo 7

Utilice la imagen que se muestra arriba y nombre dos conjuntos de tres puntos coplanares.

Solución

Recuerde que los puntos coplanares son puntos que se encuentran a lo largo del mismo plano. Para asegurarse de que los puntos sean coplanares, trabaje solo en una de las seis superficies del prisma rectangular.

Trabajemos en el plano frontal y nombremos nuestro primer conjunto de puntos coplanares. Podemos ver ocho puntos posibles, por lo que esto significa que puede haber m√ļltiples combinaciones para su respuesta.

Dos ejemplos del frente son:

Puntos $ I $, $ J $ y $ L $

Puntos $ J $, $ C $ y $ F $

También podemos intentar buscar dos conjuntos del lado derecho:

Puntos $ M $, $ N $ y $ H $

Puntos $ D $, $ B $ y $ G $

ejemplo 8

Utilice la imagen que se muestra arriba y nombre dos conjuntos de tres líneas coplanares.

Solución

Recuerde que las líneas coplanares son líneas que se encuentran en el mismo plano. Trabaje solo en una de las seis superficies del prisma rectangular cada vez que nombremos un conjunto.

Como en el ejemplo anterior, lo ideal es que nos enfoquemos en una superficie cada vez que nombramos un conjunto de tres líneas coplanares. Esto, intentemos encontrar dos conjuntos de la superficie en la parte posterior. Tenemos:

Líneas $ overline {IJ} $, $ overline {DG} $ y $ overline {KL} $

Líneas $ overline {FK} $, $ overline {CF} $, y $ overline {JD} $

También podemos intentar buscar dos conjuntos del lado derecho:

Líneas $ overline {DB} $, $ overline {DG} $ y $ overline {BH} $

Líneas $ overline {MN} $, $ overline {NG} $ y $ overline {HG} $

Sus respuestas pueden diferir de las que se muestran, pero siempre que cumplan las condiciones, deben ser v√°lidas.

Preguntas de pr√°ctica

1. ¬ŅVerdadero o falso? Las l√≠neas paralelas son coplanares. Justifica tu respuesta.
2. Llene el espacio en blanco con siempre, nunca o algunas veces haga que las siguientes afirmaciones sean verdaderas.
una. Las líneas que se cruzan son ___________ coplanares.
B. Las líneas paralelas son ___________ no coplanares.
C. Los puntos que se encuentran en el dado de seis lados son ___________ no coplanares.
3. Tome una captura de pantalla o un fragmento de la figura que se muestra a continuación, luego dibuje dos puntos coplanares.

4. Tome una captura de pantalla o un fragmento de la figura que se muestra a continuación, luego dibuje dos líneas coplanares.

Utilice la misma figura para las preguntas 5 a 6.

5. Nombra dos puntos que sean coplanares con el Punto $ S $.
6. Nombra otras dos líneas que son coplanares con la Línea $ overline {MN} $.

Utilice la misma figura para las preguntas 7 a 8.

7. Nombra dos puntos que sean coplanares con el punto $ M $.
8. Nombra otras dos líneas que son coplanares con la Línea $ overline {LG} $.



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