Líneas paralelas: definición, propiedades y ejemplos

Líneas paralelas: definición, propiedades y ejemplos

Cuando se trabaja con lineas paralelas, es importante estar familiarizado con su definición y propiedades. Sigamos adelante y comencemos con su definición.


                      Las líneas paralelas son líneas que se encuentran en el mismo plano pero que nunca se encontrarán.

Comprender qué son las líneas paralelas puede ayudarnos a encontrar ángulos faltantes, resolver valores desconocidos e incluso aprender lo que representan en geometría de coordenadas.


Dado que las líneas paralelas se utilizan en diferentes ramas de las matemáticas, debemos dominarlas desde ahora.

name="-qu--son-las-rectas-paralelas-">¿Qué son las rectas paralelas?

Las líneas paralelas son líneas equidistantes (líneas que tienen la misma distancia entre sí) que nunca se encontrarán. 


Estos son algunos ejemplos de líneas paralelas en diferentes direcciones: horizontal, diagonal y verticalmente.

Otro dato importante sobre las líneas paralelas: comparten la misma dirección.

name="-cu-les-son-algunos-ejemplos-del-mundo-real-de-l-neas-paralelas-">¿Cuáles son algunos ejemplos del mundo real de líneas paralelas?

  • Carreteras y pistas: las pistas y carreteras opuestas compartirán la misma dirección, pero nunca se encontrarán en un punto.
  • Líneas en un panel de escritura: todas las líneas se encuentran en el mismo plano, pero nunca se encontrarán.
  • Cruces de peatones: todas las líneas pintadas se encuentran a lo largo de la misma dirección y carretera, pero estas líneas nunca se encontrarán. 

name="-c-mo-utilizamos-las-l-neas-paralelas-en-la-geometr-a-de-coordenadas-">¿Cómo utilizamos las líneas paralelas en la geometría de coordenadas?

  • Cuando las gráficas de dos ecuaciones lineales son paralelas en geometría de coordenadas, la dos ecuaciones no comparten una solución.
  • El las pendientes de dos rectas paralelas son iguales en geometría de coordenadas.

Aprenderemos más sobre esto en geometría de coordenadas, pero por ahora, centrémonos en las propiedades de las líneas paralelas y usándolas para resolver problemas.



name="-c-mo-probar-que-las-l-neas-son-paralelas-">¿Cómo probar que las líneas son paralelas?

Varias se pueden utilizar relaciones geométricas para demostrar que dos rectas son paralelas.

Antes de comenzar, repasemos la definición de líneas transversales.

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Las líneas transversales son líneas que cruzan dos o más líneas


La imagen que se muestra a la derecha muestra cómo la línea transversal corta un par de líneas paralelas

Cuando una línea transversal corta un par de líneas paralelas, se forman diferentes pares de ángulos. Estos diferentes tipos de ángulos son utilizado para probar si dos rectas son paralelas el uno al otro


En la siguiente sección, aprenderá cuáles son los siguientes ángulos y sus propiedades:

  •  Ángulos correspondientes
  • Alternar angulos interiores
  • Ángulos exteriores alternativos
  • Ángulos interiores consecutivos

name="propiedades-de-la-l-nea-paralela">Propiedades de la línea paralela

Cuando una línea transversal corta dos líneas, las propiedades a continuación nos ayudarán a determinar si las líneas son paralelas.

1. Dos líneas cortadas por una línea transversal son paralelas cuando el los ángulos correspondientes son iguales.

Los dos pares de ángulos que se muestran arriba son ejemplos de ángulos correspondientes. En general, son ángulos que están en posiciones relativas y que se encuentran a lo largo del mismo lado.

2. Dos líneas cortadas por una línea transversal son paralelas cuando el los ángulos alternos internos son iguales.

Los ángulos alternos internos son un par de ángulos que se encuentran en el lado interno pero que se encuentran uno frente al otro. 

3. Dos líneas cortadas por una línea transversal son paralelas cuando el los ángulos exteriores alternos son iguales.

Los ángulos exteriores alternos son un par de ángulos que se encuentran en el lado exterior pero que se encuentran uno frente al otro. 

4. Dos líneas cortadas por una línea transversal son paralelas cuando el suma de los ángulos interiores consecutivos es $ Boldsymbol {180 ^ {circ}} $.

Los ángulos interiores consecutivos son ángulos consecutivos que comparten el mismo lado interior a lo largo de la línea.

5. Dos líneas cortadas por una línea transversal son paralelas cuando el suma de los ángulos exteriores consecutivos es $ Boldsymbol {180 ^ {circ}} $.

Los ángulos exteriores consecutivos son ángulos consecutivos que comparten el mismo lado exterior a lo largo de la línea.

name="resumen-de-la-definici-n-de-l-neas-paralelas">Resumen de la definición de líneas paralelas

Resumamos lo que hemos aprendido hasta ahora sobre las líneas paralelas:


  • son lineas coplanares
  • son equidistantes
  • ellos nunca se encontrarán

Las propiedades a continuación nos ayudarán a determinar y demostrar que dos rectas son paralelas.

1. Los ángulos correspondientes son iguales.

      Ejemplo: $ ángulo b ^ circ} = ángulo f ^ circ, ángulo a ^ {circ} = ángulo e ^ {circ} e $

2. Los ángulos alternos internos son iguales. 

      Ejemplo: $ ángulo c ^ {circ} = ángulo f ^ {circ}, ángulo d ^ {circ} = ángulo e ^ {circ} $

3. Los ángulos alternos exteriores son iguales. 

      Ejemplo: $ ángulo a ^ {circ} = ángulo h ^ {circ}, ángulo b ^ {circ} = ángulo g ^ {circ} $

4. Los ángulos interiores consecutivos suman $ 180 ^ {circ} $.

      Ejemplo: $ ángulo c circo + ángulo e circo = 180 circo $, $ ángulo d circo + ángulo f circo = 180 circo $

5. Los ángulos exteriores consecutivos suman $ 180 ^ {circ} $.

      Ejemplo: $ ángulo a ^ {circ} + ángulo g ^ {circ} = $ 180 ^ {circ} $, $ ángulo b ^ {circ} + ángulo h ^ {circ} = $ 180 ^ {circ} $

Intentemos responder los ejemplos que se muestran a continuación utilizando las definiciones y propiedades que acabamos de aprender.

ejemplo 1

¿Cuál de los siguientes términos no describe un par de líneas paralelas?

     a. Noncoplanar

     B. Coplanar

     C. Equidistante

     D. Misma dirección

Solución

Regrese a la definición de líneas paralelas: son líneas coplanares que comparten la misma distancia pero nunca se encuentran. Esto muestra que las líneas paralelas nunca son no coplanares.

ejemplo 2

¿Cuál de los siguientes ejemplos del mundo real no representa un par de líneas paralelas?

     una. Manecillas de un reloj

     B. Limpiaparabrisas

     C. Escalera y barandillas

     D. Cuerdas verticales de la red de una raqueta de tenis

Solución 

Las opciones en bc, d son objetos que comparten las mismas direcciones, pero que nunca se encontrarán. Todos se encuentran en el mismo plano (es decir, las cuerdas se encuentran en el mismo plano de la red). 

Sin embargo, las manecillas de un reloj se encuentran en el centro del reloj, por lo que un par de líneas paralelas nunca las representarán.

Por tanto, la respuesta correcta es a.

ejemplo 3

¿Son paralelas las dos líneas cortadas por la línea transversal? ¿Qué propiedad puede utilizar para justificar su respuesta?

Solución

Las dos líneas son paralelas si los ángulos alternos internos son iguales.

Dado que $ a $ y $ c $ comparten los mismos valores, $ a = c $. Los dos ángulos también son ángulos alternos internos. 
Esto muestra que las dos líneas son paralelas.

ejemplo 4

Si las líneas $ overline {AB} $ y $ overline {CD} $ son paralelas y $ ángulo 8 ^ {circ} = 108 ^ {circ} $, ¿cuál debe ser el valor de $ ángulo 1 ^ {circ} $?

Solución

Dado que las líneas son paralelas y $ ángulo 1 ^ {circ} $ y $ ángulo 8 ^ {circ} $ son ángulos externos alternos, $ ángulo 1 ^ {circ} = ángulo 8 ^ {circ} $.

Esto significa que $ boldsymbol {ángulo 1 ^ {circ}} $ también es igual a $ Boldsymbol {108 ^ {circ}} $.

ejemplo 5

Si las dos líneas son paralelas y están cortadas por una línea transversal, ¿cuál es el valor de $ x $?

Solución

Dado que las líneas son paralelas y $ boldsymbol {ángulo B} $ y $ boldsymbol {ángulo C} $ son los ángulos correspondientes, por lo que $ boldsymbol {ángulo B = ángulo C} $.

Iguale sus dos expresiones para encontrar $ x $.

$ 60 = 2x + 8 $

Aísle $ 2x $ en el lado izquierdo de la ecuación.

$ 2x = 60 - 8 $

$ 2x = 52 $

Divida ambos lados de la ecuación por $ 2 $ para encontrar $ x $.

$x = 26$

Esto significa que $ boldsymbol {x = 26} $.

ejemplo 6

If ∠WTS y ∠YUV son suplementarios (comparten una suma de 180 °), muestra esa WX y YZ son líneas paralelas.

Solución

Los ángulos $ ángulo WTS $ y $ angle YUV $ son un par de ángulos exteriores consecutivos compartiendo una suma de $ boldsymbol {180 ^ {circ}} $.

Recuerde que dos líneas son paralelas si su par de ángulos externos consecutivos suman $ boldsymbol {180 ^ {circ}} $. Por tanto, $ overline {WX} $ y $ overline {YZ} $ son líneas paralelas.

ejemplo 7

src="/images/posts/4be8ec3ee0fec247035fefad0f3843c3-1.jpg">

 Si $ overline {AB} $ y $ overline {CD} $ son líneas paralelas, ¿cuál es la medida real del $ ángulo EFA $?

Solución

Los ángulos $ ángulo EFB $ y $ ángulo FGD $ son un par de ángulos correspondientes, por lo que ambos son iguales.

Esto significa que $ ángulo EFB = (x + 48) ^ {circ} $.

Los ángulos $ ángulo EFA $ y $ ángulo EFB $ son adyacentes entre y forman una línea. Suman $ boldsymbol {180 ^ {circ}} $

Use esta información para establecer una ecuación y luego podemos resolver $ x $.

$ ángulo EFB + ángulo EFA = 180 ^ {circ} $

$ (X + 48) ^ {circ} + (3x - 120) ^ {circ} = 180 ^ {circ} $

Suma las dos expresiones para simplificar el lado izquierdo de la ecuación.

$ x + 48 + 3x - 120 = 180 $

$ 4x - 72 = $ 180

Suma $ 72 $ a ambos lados de la ecuación para aislar $ 4x $.

$ 4x = 252 $

Divida ambos lados de la ecuación por $ 4 $ para encontrar $ x $.

$x = 63$

Sustituya este valor de $ x $ en la expresión de $ ángulo EFA $ para encontrar su medida real. 

$ inicio {alineado} 3x - 120 & = 3 (63) - 120 & = 69end {alineado} $

Esto significa que la medida real de $ ángulo EFA $ es $ boldsymbol {69 ^ {circ}} $.

ejemplo 8

Si $ ángulo 1 ^ {circ} $ y $ ángulo 8 ^ {circ} $ son iguales, demuestre que $ ángulo 4 ^ {circ} $ y $ ángulo 5 ^ {circ} $ también son iguales.

Solución

Los ángulos $ ángulo 1 ^ {circ} $ y $ ángulo 8 ^ {circ} $ son un par de ángulos exteriores alternos y son iguales.

Recuerda que dos líneas son paralelas si su par de ángulos externos alternos son iguales. Por lo tanto, $ overline {AB} $ y $ overline {CD} $ son líneas paralelas.

Ahora que hemos demostrado que las rectas son paralelas, entonces el Alternar angulos interiores son iguales.

Los ángulos $ ángulo 4 ^ {circ} $ y $ ángulo 5 ^ {circ} $ son ángulos alternos internos dentro de un par de líneas paralelas, por lo que ambas son iguales.

Preguntas de práctica

1. ¿Verdadero o falso? Las líneas paralelas pueden cruzarse entre sí.

2. ¿Son paralelas las dos líneas cortadas por la línea transversal? Justifica tu respuesta. 

3. Con el mismo gráfico, tome un fragmento o una captura de pantalla y dibuje otros dos ángulos correspondientes.

Utilice la imagen que se muestra a continuación para responder las preguntas 4 a 6.

4. Completa el espacio en blanco: si las dos líneas son paralelas, $ ángulo b ^ {circ} $, y $ ángulo h ^ {circ} $ son ángulos ___________.

5. Completa el espacio en blanco: si las dos líneas son paralelas, $ ángulo c ^ {circ} $, y $ ángulo f ^ {circ} $ son ángulos ___________.

6. Completa el espacio en blanco: si las dos líneas son paralelas, $ ángulo c ^ {circ} $, y $ ángulo g ^ {circ} $ son ángulos ___________.

7. Si las líneas $ overline {AB} $ y $ overline {CD} $ son paralelas, identifique los valores de los siete ángulos restantes.

8. Usando la misma figura y medidas de ángulos de la Pregunta 7, ¿cuál es la suma de $ ángulo 1 ^ {circ} $ y $ ángulo 8 ^ {circ} $?

Utilice la imagen que se muestra a continuación para responder las preguntas 9-12.

9. Si $ ángulo STX $ y $ ángulo TUZ $ son iguales, muestra que $ overline {WX} $ y $ overline {YZ} $ son líneas paralelas.

10. Si $ ángulo WTU $ y $ angle YUT $ son suplementarios, muestra que $ overline {WX} $ y $ overline {YZ} $ son líneas paralelas.

11. Dado que se demostró que $ overline {WX} $ y $ overline {YZ} $ son rectas paralelas, ¿cuál es el valor $ ángulo YUT $ si $ ángulo WTU = 140 ^ {circ} $?

12. Si $ overline {WX} $ y $ overline {YZ} $ son líneas paralelas, ¿cuál es el valor de $ x $ cuando $ ángulo WTU = (5x - 36) ^ {circ} $ y $ ángulo TUZ = (3x - 12) ^ {circ} e $?



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