Líneas paralelas: definición, propiedades y ejemplos

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Martí Micolau
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Líneas paralelas: definición, propiedades y ejemplos

Cuando se trabaja con lineas paralelas, es importante estar familiarizado con su definición y propiedades. Sigamos adelante y comencemos con su definición.

                      Las l√≠neas paralelas son l√≠neas que se encuentran en el mismo plano pero que nunca se encontrar√°n.

Comprender qué son las líneas paralelas puede ayudarnos a encontrar ángulos faltantes, resolver valores desconocidos e incluso aprender lo que representan en geometría de coordenadas.



Dado que las líneas paralelas se utilizan en diferentes ramas de las matemáticas, debemos dominarlas desde ahora.

¬ŅQu√© son las rectas paralelas?

Las l√≠neas paralelas son l√≠neas equidistantes (l√≠neas que tienen la misma distancia entre s√≠) que nunca se encontrar√°n. 

Estos son algunos ejemplos de líneas paralelas en diferentes direcciones: horizontal, diagonal y verticalmente.

Otro dato importante sobre las líneas paralelas: comparten la misma dirección.

¬ŅCu√°les son algunos ejemplos del mundo real de l√≠neas paralelas?

  • Carreteras y pistas: las pistas y carreteras opuestas compartir√°n la misma direcci√≥n, pero nunca se encontrar√°n en un punto.
  • L√≠neas en un panel de escritura: todas las l√≠neas se encuentran en el mismo plano, pero nunca se encontrar√°n.
  • Cruces de peatones: todas las l√≠neas pintadas se encuentran a lo largo de la misma direcci√≥n y carretera, pero estas l√≠neas nunca se encontrar√°n. 

¬ŅC√≥mo utilizamos las l√≠neas paralelas en la geometr√≠a de coordenadas?

  • Cuando las gr√°ficas de dos ecuaciones lineales son paralelas en geometr√≠a de coordenadas, la dos ecuaciones no comparten una soluci√≥n.
  • El las pendientes de dos rectas paralelas son iguales en geometr√≠a de coordenadas.

Aprenderemos más sobre esto en geometría de coordenadas, pero por ahora, centrémonos en las propiedades de las líneas paralelas y usándolas para resolver problemas.



¬ŅC√≥mo probar que las l√≠neas son paralelas?

Varias se pueden utilizar relaciones geométricas para demostrar que dos rectas son paralelas.

Antes de comenzar, repasemos la definición de líneas transversales.

Las líneas transversales son líneas que cruzan dos o más líneas

La imagen que se muestra a la derecha muestra cómo la línea transversal corta un par de líneas paralelas

Cuando una línea transversal corta un par de líneas paralelas, se forman diferentes pares de ángulos. Estos diferentes tipos de ángulos son utilizado para probar si dos rectas son paralelas el uno al otro


En la siguiente sección, aprenderá cuáles son los siguientes ángulos y sus propiedades:

  •  √Āngulos correspondientes
  • Alternar angulos interiores
  • √Āngulos exteriores alternativos
  • √Āngulos interiores consecutivos

Propiedades de la línea paralela

Cuando una línea transversal corta dos líneas, las propiedades a continuación nos ayudarán a determinar si las líneas son paralelas.

1. Dos líneas cortadas por una línea transversal son paralelas cuando el los ángulos correspondientes son iguales.

Los dos pares de √°ngulos que se muestran arriba son ejemplos de √°ngulos correspondientes. En general, son √°ngulos que est√°n en posiciones relativas y que se encuentran a lo largo del mismo lado.


2. Dos líneas cortadas por una línea transversal son paralelas cuando el los ángulos alternos internos son iguales.

Los √°ngulos alternos internos son un par de √°ngulos que se encuentran en el lado interno pero que se encuentran uno frente al otro. 

3. Dos líneas cortadas por una línea transversal son paralelas cuando el los ángulos exteriores alternos son iguales.

Los √°ngulos exteriores alternos son un par de √°ngulos que se encuentran en el lado exterior pero que se encuentran uno frente al otro. 

4. Dos líneas cortadas por una línea transversal son paralelas cuando el suma de los ángulos interiores consecutivos es $ Boldsymbol {180 ^ {circ}} $.

Los ángulos interiores consecutivos son ángulos consecutivos que comparten el mismo lado interior a lo largo de la línea.

5. Dos líneas cortadas por una línea transversal son paralelas cuando el suma de los ángulos exteriores consecutivos es $ Boldsymbol {180 ^ {circ}} $.

Los ángulos exteriores consecutivos son ángulos consecutivos que comparten el mismo lado exterior a lo largo de la línea.

Resumen de la definición de líneas paralelas

Resumamos lo que hemos aprendido hasta ahora sobre las líneas paralelas:


  • son lineas coplanares
  • son equidistantes
  • ellos nunca se encontrar√°n

Las propiedades a continuación nos ayudarán a determinar y demostrar que dos rectas son paralelas.

1. Los √°ngulos correspondientes son iguales.

      Ejemplo: $ √°ngulo b ^ circ} = √°ngulo f ^ circ, √°ngulo a ^ {circ} = √°ngulo e ^ {circ} e $


2. Los √°ngulos alternos internos son iguales. 

      Ejemplo: $ √°ngulo c ^ {circ} = √°ngulo f ^ {circ}, √°ngulo d ^ {circ} = √°ngulo e ^ {circ} $

3. Los √°ngulos alternos exteriores son iguales. 

      Ejemplo: $ √°ngulo a ^ {circ} = √°ngulo h ^ {circ}, √°ngulo b ^ {circ} = √°ngulo g ^ {circ} $

4. Los √°ngulos interiores consecutivos suman $ 180 ^ {circ} $.

      Ejemplo: $ √°ngulo c circo + √°ngulo e circo = 180 circo $, $ √°ngulo d circo + √°ngulo f circo = 180 circo $

5. Los √°ngulos exteriores consecutivos suman $ 180 ^ {circ} $.

      Ejemplo: $ √°ngulo a ^ {circ} + √°ngulo g ^ {circ} = $ 180 ^ {circ} $, $ √°ngulo b ^ {circ} + √°ngulo h ^ {circ} = $ 180 ^ {circ} $

Intentemos responder los ejemplos que se muestran a continuación utilizando las definiciones y propiedades que acabamos de aprender.

ejemplo 1

¬ŅCu√°l de los siguientes t√©rminos no describe un par de l√≠neas paralelas?

     a. Noncoplanar

     B. Coplanar

     C. Equidistante

     D. Misma direcci√≥n

Solución

Regrese a la definición de líneas paralelas: son líneas coplanares que comparten la misma distancia pero nunca se encuentran. Esto muestra que las líneas paralelas nunca son no coplanares.

ejemplo 2

¬ŅCu√°l de los siguientes ejemplos del mundo real no representa un par de l√≠neas paralelas?

     una. Manecillas de un reloj

     B. Limpiaparabrisas

     C. Escalera y barandillas

     D. Cuerdas verticales de la red de una raqueta de tenis

Soluci√≥n 

Las opciones en bc, d son objetos que comparten las mismas direcciones, pero que nunca se encontrar√°n. Todos se encuentran en el mismo plano (es decir, las cuerdas se encuentran en el mismo plano de la red). 

Sin embargo, las manecillas de un reloj se encuentran en el centro del reloj, por lo que un par de líneas paralelas nunca las representarán.

Por tanto, la respuesta correcta es a.

ejemplo 3

¬ŅSon paralelas las dos l√≠neas cortadas por la l√≠nea transversal? ¬ŅQu√© propiedad puede utilizar para justificar su respuesta?

Solución

Las dos líneas son paralelas si los ángulos alternos internos son iguales.

Dado que $ a $ y $ c $ comparten los mismos valores, $ a = c $. Los dos √°ngulos tambi√©n son √°ngulos alternos internos. 
Esto muestra que las dos líneas son paralelas.

ejemplo 4

Si las l√≠neas $ overline {AB} $ y $ overline {CD} $ son paralelas y $ √°ngulo 8 ^ {circ} = 108 ^ {circ} $, ¬Ņcu√°l debe ser el valor de $ √°ngulo 1 ^ {circ} $?

Solución

Dado que las l√≠neas son paralelas y $ √°ngulo 1 ^ {circ} $ y $ √°ngulo 8 ^ {circ} $ son √°ngulos externos alternos, $ √°ngulo 1 ^ {circ} = √°ngulo 8 ^ {circ} $.

Esto significa que $ boldsymbol {ángulo 1 ^ {circ}} $ también es igual a $ Boldsymbol {108 ^ {circ}} $.

ejemplo 5

Si las dos l√≠neas son paralelas y est√°n cortadas por una l√≠nea transversal, ¬Ņcu√°l es el valor de $ x $?

Solución

Dado que las l√≠neas son paralelas y $ boldsymbol {√°ngulo B} $ y $ boldsymbol {√°ngulo C} $ son los √°ngulos correspondientes, por lo que $ boldsymbol {√°ngulo B = √°ngulo C} $.

Iguale sus dos expresiones para encontrar $ x $.

$ 60 = 2x + 8 $

Aísle $ 2x $ en el lado izquierdo de la ecuación.

$ 2x = 60 - 8 $

$ 2x = 52 $

Divida ambos lados de la ecuación por $ 2 $ para encontrar $ x $.

$x = 26$

Esto significa que $ boldsymbol {x = 26} $.

ejemplo 6

If ‚ą†WTS y ‚ą†YUV son suplementarios (comparten una suma de 180 ¬į), muestra esa WX y YZ son l√≠neas paralelas.

Solución

Los √°ngulos $ √°ngulo WTS $ y $ angle YUV $ son un par de √°ngulos exteriores consecutivos compartiendo una suma de $ boldsymbol {180 ^ {circ}} $.

Recuerde que dos líneas son paralelas si su par de ángulos externos consecutivos suman $ boldsymbol {180 ^ {circ}} $. Por tanto, $ overline {WX} $ y $ overline {YZ} $ son líneas paralelas.

ejemplo 7

 Si $ overline {AB} $ y $ overline {CD} $ son l√≠neas paralelas, ¬Ņcu√°l es la medida real del $ √°ngulo EFA $?

Solución

Los √°ngulos $ √°ngulo EFB $ y $ √°ngulo FGD $ son un par de √°ngulos correspondientes, por lo que ambos son iguales.

Esto significa que $ √°ngulo EFB = (x + 48) ^ {circ} $.

Los √°ngulos $ √°ngulo EFA $ y $ √°ngulo EFB $ son adyacentes entre s√≠ y forman una l√≠nea. Suman $ boldsymbol {180 ^ {circ}} $

Use esta información para establecer una ecuación y luego podemos resolver $ x $.

$ √°ngulo EFB + √°ngulo EFA = 180 ^ {circ} $

$ (X + 48) ^ {circ} + (3x - 120) ^ {circ} = 180 ^ {circ} $

Suma las dos expresiones para simplificar el lado izquierdo de la ecuación.

$ x + 48 + 3x - 120 = 180 $

$ 4x - 72 = $ 180

Suma $ 72 $ a ambos lados de la ecuación para aislar $ 4x $.

$ 4x = 252 $

Divida ambos lados de la ecuación por $ 4 $ para encontrar $ x $.

$x = 63$

Sustituya este valor de $ x $ en la expresi√≥n de $ √°ngulo EFA $ para encontrar su medida real. 

$ inicio {alineado} 3x - 120 & = 3 (63) - 120 & = 69end {alineado} $

Esto significa que la medida real de $ √°ngulo EFA $ es $ boldsymbol {69 ^ {circ}} $.

ejemplo 8

Si $ √°ngulo 1 ^ {circ} $ y $ √°ngulo 8 ^ {circ} $ son iguales, demuestre que $ √°ngulo 4 ^ {circ} $ y $ √°ngulo 5 ^ {circ} $ tambi√©n son iguales.

Solución

Los √°ngulos $ √°ngulo 1 ^ {circ} $ y $ √°ngulo 8 ^ {circ} $ son un par de √°ngulos exteriores alternos y son iguales.

Recuerda que dos l√≠neas son paralelas si su par de √°ngulos externos alternos son iguales. Por lo tanto, $ overline {AB} $ y $ overline {CD} $ son l√≠neas paralelas.

Ahora que hemos demostrado que las rectas son paralelas, entonces el Alternar angulos interiores son iguales.

Los √°ngulos $ √°ngulo 4 ^ {circ} $ y $ √°ngulo 5 ^ {circ} $ son √°ngulos alternos internos dentro de un par de l√≠neas paralelas, por lo que ambas son iguales.

Preguntas de pr√°ctica

1. ¬ŅVerdadero o falso? Las l√≠neas paralelas pueden cruzarse entre s√≠.

2. ¬ŅSon paralelas las dos l√≠neas cortadas por la l√≠nea transversal? Justifica tu respuesta. 

3. Con el mismo gr√°fico, tome un fragmento o una captura de pantalla y dibuje otros dos √°ngulos correspondientes.

Utilice la imagen que se muestra a continuación para responder las preguntas 4 a 6.

4. Completa el espacio en blanco: si las dos líneas son paralelas, $ ángulo b ^ {circ} $, y $ ángulo h ^ {circ} $ son ángulos ___________.

5. Completa el espacio en blanco: si las dos l√≠neas son paralelas, $ √°ngulo c ^ {circ} $, y $ √°ngulo f ^ {circ} $ son √°ngulos ___________.

6. Completa el espacio en blanco: si las dos l√≠neas son paralelas, $ √°ngulo c ^ {circ} $, y $ √°ngulo g ^ {circ} $ son √°ngulos ___________.

7. Si las líneas $ overline {AB} $ y $ overline {CD} $ son paralelas, identifique los valores de los siete ángulos restantes.

8. Usando la misma figura y medidas de √°ngulos de la Pregunta 7, ¬Ņcu√°l es la suma de $ √°ngulo 1 ^ {circ} $ y $ √°ngulo 8 ^ {circ} $?

Utilice la imagen que se muestra a continuación para responder las preguntas 9-12.

9. Si $ √°ngulo STX $ y $ √°ngulo TUZ $ son iguales, muestra que $ overline {WX} $ y $ overline {YZ} $ son l√≠neas paralelas.

10. Si $ √°ngulo WTU $ y $ angle YUT $ son suplementarios, muestra que $ overline {WX} $ y $ overline {YZ} $ son l√≠neas paralelas.

11. Dado que se demostr√≥ que $ overline {WX} $ y $ overline {YZ} $ son rectas paralelas, ¬Ņcu√°l es el valor $ √°ngulo YUT $ si $ √°ngulo WTU = 140 ^ {circ} $?

12. Si $ overline {WX} $ y $ overline {YZ} $ son l√≠neas paralelas, ¬Ņcu√°l es el valor de $ x $ cuando $ √°ngulo WTU = (5x - 36) ^ {circ} $ y $ √°ngulo TUZ = (3x - 12) ^ {circ} e $?



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