Matemáticas conjugadas: explicación y ejemplos

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Alejandra Rangel
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Matemáticas conjugadas: explicación y ejemplos

¿Has visto dos pares de expresiones que solo se diferencian por el signo del medio? Es posible que haya encontrado un par de conjugados. Los conjugados en matemáticas son extremadamente útiles cuando queremos racionalizar expresiones radicales y números complejos.


Dos binomios son conjugados cuando tienen los mismos términos pero signos opuestos en el medio.

Este artículo mostrará cómo encontrar conjugados, comprender por qué los necesitamos y aplicarlos al racionalizar expresiones. Comencemos con lo más fundamental: comprender qué representan los conjugados.


¿Qué es un conjugado en matemáticas?

Un ejemplo de un par de conjugados son los números complejos a + bi y a - bi. ¿Observa cómo los términos son iguales? Solo difieren los signos que se encuentran en el medio de cada binomio. Eso es exactamente lo que representan los conjugados en matemáticas.

Definición de matemáticas conjugadas

Conjugados en matemáticas son dos pares de binomios con términos idénticos pero que comparten operaciones opuestas en el medio. A continuación se muestran algunos ejemplos más de pares de conjugados:

  • x - y y x + y
  • 2√2 - 1 y 2√2 + 1
  • 3 - 2i y 3 + 2i

De acuerdo con la definición de conjugados, cada par tiene términos idénticos, y cada uno solo se diferencia por el signo en el medio.


¿Cómo encontrar el conjugado?

¿Qué pasa si nos dan un binomio y necesitamos encontrar su conjugado? Siempre podemos determinar el conjugado de un binomio dado identificando primero los términos y el signo del término original.

Una vez que los tengamos, su conjugado contendrá los mismos términos, pero el signo del medio se cambia (de + a - o de - a +). Aquí hay una tabla que muestra cómo se determinan los conjugados de cuatro binomios:


¿Cómo multiplicar por el conjugado?

 Â¿Qué pasa si multiplicamos un binomio con conjugados? Hay dos casos posibles y, en cada caso, aplicaremos un método diferente.

Caso 1: Multiplicar un binomio con su conjugado

Si tenemos un binomio, m + n, su conjugado será m - n. ¿Notas algo sobre los dos? Estos dos, cuando se multiplican, devolverán la diferencia de sus cuadrados. Si necesita un repaso sobre esta propiedad algebraica, eche un vistazo a este artículo. Para nuestro ejemplo, tenemos:

(m - n) (m + n) = m2 - n2

Esto significa que cuando un binomio y su conjugado se multiplican, el resultado será la diferencia de los cuadrados de sus términos. Aquí hay algunos ejemplos más que puede probar:

Caso 2: Multiplicar el conjugado de un binomio con una expresión diferente


En algunos casos (como racionalizar expresiones radicales), es posible que necesitemos multiplicar el conjugado de un binomio con una expresión diferente. Al lidiar con estos problemas, asegúrese de revisar sus conocimientos sobre:


  • Multiplicar dos binomios por el método FOIL.
  • Al multiplicar expresiones con diferentes términos, aplique las técnicas adecuadas.
  • Otra propiedad útil es el uso de la técnica de cuadrar binomios.

Digamos que queremos multiplicar √3 + 1 por el conjugado de √2 - 1. Primero tendremos que encontrar el conjugado de √2 - 1. Tenemos √2 + 1. Dado que tanto √3 + 1 como √2 + 1 son binomios, podemos aplicar el método FOIL para encontrar y simplificar el producto de dos binomios.

(√3 + 1) (√2 + 1) = (√3) (√2) + (√3) (1) + (1) (√2) + (1) (1)

= √6 + √3 + √2 + 1

Es hora de que aprendamos las aplicaciones comunes de los conjugados en matemáticas.

¿Cómo racionalizar expresiones radicales usando conjugados?

Una de las aplicaciones más comunes de los conjugados ocurre cuando queremos racionalizar una expresión que contiene binomios radicales en el denominador.

Cuando racionalizamos una expresión racional, nuestro objetivo es tener un denominador que no contenga un término radical. Los conjugados son útiles cuando tenemos una expresión binomial en el denominador.

Podemos multiplica tanto el numerador como el denominador por los conjugados del denominador. ¿Por qué no probamos un ejemplo y vemos qué pasa con la expresión?

(√2 - 1) / (√2 + 1)

Si queremos racionalizar la expresión que se muestra arriba, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador.


(√2 - 1) / (√2 + 1) · (√2 - 1) / (√2 -1)


= [(√2 - 1) · (√2 - 1)] / [(√2 + 1) (√2 - 1)]

Simplifica el denominador usando la diferencia de dos cuadrados y simplifica el numerador elevando al cuadrado la expresión (√2 - 1).

= [(√2) 2 - 2 (√2) (1) + (1) 2] / [(√2) 2 - (1) 2]

= [2 - 2√2 + 1] / [2 - 1]

= 3 - 2√2

La expresión resultante ya no tiene expresiones radicales en su denominador para confirmar que fue racionalizado usando el conjugado del denominador. Por lo tanto, hemos visto cómo se usan los conjugados para racionalizar expresiones.

ejemplo 1

Encuentra los conjugados de los siguientes binomios.

una. 2xy - y

B. mn2 + m2n

C. desde - cd

Solución

Regrese a la definición fundamental de conjugados: comparten términos idénticos pero signos diferentes.

una. Para 2xy - y, su conjugado seguirá teniendo los mismos términos excepto que tiene + como su operación. Por tanto, su conjugado es 2xy + y.

B. De manera similar, usamos los mismos términos pero la operación opuesta, por lo que el conjugado de mn2 + m2n es mn2 - m2n.

C. Por último, si usamos el mismo proceso, encontraremos que el conjugado de ab - cd es desde + cd.

ejemplo 2

Cuando se le dé una expresión lineal, ax + b, describa el resultado cuando:

una. se añaden la expresión lineal y su conjugado.
B. el conjugado de la expresión lineal se resta de él.

Solución

Sigamos adelante y encontremos primero el conjugado de la expresión lineal. Usando los mismos términos pero la operación opuesta, el conjugado de ax + b es ax - b.

Sumando los dos binomios, tenemos ax + b + ax - b = 2ax. La suma es en realidad el doble del valor del término.

una. En general, el suma de una expresión lineal y su conjugado es igual al doble del valor del primer término del binomio.

Hagamos lo mismo por su diferencia. Tenemos:

(ax + b) - (ax - b) = ax + b - ax + b

= 2b

La diferencia es igual al doble del segundo término del binomio.

B. Esto significa que cuando el conjugado de un binomio se resta del binomio, el resultado es el doble del segundo término del binomio.

ejemplo 3

Use su conocimiento en conjugados para responder las siguientes preguntas.

una. ¿Cuál es el conjugado de (1000 - 1)?
B. ¿Cuál es el resultado cuando multiplica (1000 - 1) por su conjugado?
C. Usando lo que has observado, describe cómo puedes hallar el producto de 81 y 79.

Solución

una. Usando los mismos términos pero la operación opuesta, el conjugado de (1000 - 1) es (+ 1000 1).

B. Cuando multiplicamos un binomio con su conjugado, elevamos al cuadrado ambos términos y restamos el resultado. Por lo tanto, tenemos (1000) 2 - 12 = 999 999.

C. Esto significa que podemos expresar 81 y 79 como conjugados entre sí: 81 = 80 + 1 y 79 = 80 - 1. Usando los dos binomios, el producto de 81 y 79 es 802 - 12 = 6399.

ejemplo 4

Encuentra el conjugado del denominador, luego racionaliza la expresión (-2 + √3) / (6 - 3√3).

Solución

Usando los mismos términos pero operaciones opuestas, el conjugado de 6 - 3√3 es 6 + 3√3. Multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado.

(-1 + √3) / (6 - 3√3) · (6 + 3√3) / (6 + 3√3)

= [(-1 + √3) (6 + 3√3)] / [(6 - 3√3) (6 + 3√3)]

Usa el método FOIL para simplificar el numerador y la diferencia de dos cuadrados en el denominador.

= [(-1) (6) + (-1) (3√3) + (√3) (6) + (√3) (3√3)] / [(6) 2 - (3√3) 2]

= [-6 - 3√3 + 6√3 + 9] / [36 - 27]

= (3√3 + 3) / 9

= 3 (√3 +1) / 9

= 1/3 (√3 + 1)

Acabamos de racionalizar la expresión dada y ahora tenemos 1 / 3 (√3 + 1).

Preguntas de práctica

1. Encuentra los conjugados de los siguientes binomios.

una. √3 - 1

B. 2ab2 + 3a2b

C. 3√x + y

2. Completa la tabla que se muestra a continuación, encontrando el conjugado de la expresión, su suma, diferencia y producto.

3. ¿Verdadero o falso? El conjugado del binomio solo se puede multiplicar por otro binomio.

4. ¿Verdadero o falso? El conjugado de 1 es -1.

5. Usa tu conocimiento en conjugados y el hecho de que i2 = -1 para responder las siguientes preguntas.

una. ¿Cuál es el conjugado de a + bi?

B. ¿Cuál es el resultado al multiplicar a + bi con su conjugado?

C. Usando lo que has observado, describe cómo puedes hallar el producto de (3 + 2i) y su conjugado.

6. Encuentra el conjugado del denominador, luego racionaliza la expresión, (3 + √2) / (2 - √2).



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