MATEMÁTICAS GRIEGAS Y MATEMÁTICAS - Números y números

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Valery Aloyants
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MATEMÁTICAS GRIEGAS Y MATEMÁTICAS - Números y números

A este tenor, Imperio griego Comenzó a extender su esfera de influencia en Asia Menor, Mesopotamia y más allá, los griegos fueron lo suficientemente inteligentes como para adoptar y adaptar elementos útiles de las sociedades que conquistaron. Esto era tan cierto para sus matemáticas como cualquier otra cosa, y adoptaron elementos de las matemáticas tanto de los babilonios como de los egipcios. Pero pronto comenzaron a hacer contribuciones importantes por derecho propio y, por primera vez, podemos reconocer las contribuciones de los individuos. En el período helenístico, los griegos habían presidido uno de los más dramáticos e importantes revoluciones en el pensamiento matemático de todos los tiempos.



Números áticos o herodiánicos

El sistema de numeración griego antiguo, Conocido como Números áticos o herodiánicos, fue completamente desarrollado por aproximadamente 450 BCE, y en uso regular posiblemente ya en el siglo VII a. C. Era un sistema de base 7 similar al egipcio anterior (e incluso más similar al sistema romano posterior), con símbolos para 10, 1, 5, 10, 50, 100 y 500 repetidos tantas veces como sea necesario para representar el número deseado. . La suma se hizo sumando por separado los símbolos (1,000, 1, 10, etc.) en los números a sumar, y la multiplicación fue un proceso laborioso basado en duplicaciones sucesivas (la división se basó en el inverso de este proceso).


Teorema de intercepción de Tales

Pero la mayoria de Matemática griega se basó en la geometría. Thales, Uno de los Siete sabios de la antigua Grecia, quien vivió en la costa jónica de Asia Menor en la primera mitad del siglo VI a. C., generalmente se considera que fue el primero en establecer pautas para el desarrollo abstracto de la geometría, aunque lo que sabemos de su trabajo (como en triángulos similares y rectángulos) ahora parece bastante elemental.


Tales estableció lo que se conoce como Teorema de Tales, por lo que si se dibuja un triángulo dentro de un círculo con el lado largo como diámetro del círculo, entonces el ángulo opuesto siempre será un ángulo recto (así como algunas otras propiedades relacionadas derivadas de esto). También se le atribuye otro teorema, también conocido como el teorema de Thales o el Teorema de intercepción, sobre las proporciones de los segmentos de línea que se crean si dos líneas que se cruzan son interceptadas por un par de paralelos (y, por extensión, las proporciones de los lados de triángulos similares).

Sin embargo, hasta cierto punto, la leyenda del matemático Pitágoras de Samos del siglo VI a. C. se ha convertido en sinónimo del nacimiento de las matemáticas griegas. De hecho, se cree que acuñó tanto las palabras "filosofía" ("amor a la sabiduría") y "matemáticas"("lo que se aprende“). Pitágoras fue quizás el primero en darse cuenta de que se podía construir un sistema matemático completo, donde los elementos geométricos se correspondían con números. El Teorema de Pitágoras (o el Teorema de Pitágoras) es uno de los teoremas matemáticos más conocidos. Pero sigue siendo una figura controvertida, como veremos, y las matemáticas griegas no se limitaron de ninguna manera a un solo hombre.


Tres problemas geométricos

Tres problemas geométricos en particular, a menudo referidos como los Tres Problemas Clásicos, y todos para ser resueltos por medios puramente geométricos usando solo una regla y una brújula, se remontan a los primeros días de la geometría griega: “la cuadratura (o cuadratura) del círculo","nosotrosla duplicación (o duplicación) del cubo”Y“ la trisección de un ángulo ”. Estos problemas intransigentes influyeron profundamente en la geometría futura y dieron lugar a muchos descubrimientos fructíferos, aunque sus soluciones reales (o, como resultó, las pruebas de su imposibilidad) tuvieron que esperar hasta el siglo XIX.


Hipócrates de Quíos (que no debe confundirse con el gran médico griego Hipócrates de Cos. Una biografía detallada aquí) fue uno de esos matemáticos griegos que se aplicó a estos problemas durante el siglo V a. C. (su contribución al problema de "cuadrar el círculo" se conoce como la Luna de Hipócrates). Su influyente libro “Los elementos”, Que data de alrededor del 440 a. C., fue la primera recopilación de los elementos de la geometría, y su trabajo fue una fuente importante para el trabajo posterior de Euclides.

La paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga

Fueron los griegos los primeros en abordar la idea del infinito, como se describe en las conocidas paradojas atribuidas al filósofo. Zenón de Elea en el siglo V a. C.. La más famosa de sus paradojas es la de Aquiles y la tortuga, que describe una carrera teórica entre Aquiles y una tortuga. Aquiles le da una ventaja a la tortuga mucho más lenta, pero cuando llega al punto de partida de la tortuga, la tortuga ya ha avanzado. Para cuando Aquiles llega a ese punto, la tortuga se ha movido de nuevo, etc., etc., de modo que, en principio, el veloz Aquiles nunca podrá alcanzar a la tortuga lenta.


Paradojas como esta y La llamada paradoja de la dicotomía de Zenón se basan en la divisibilidad infinita del espacio y el tiempo, y se basan en la idea de que la mitad más un cuarto más un octavo más un dieciseisavo, etc., etc., hasta el infinito nunca serán iguales a un todo. La paradoja se deriva, sin embargo, a partir de la falsa suposición de que es imposible completar un número infinito de guiones discretos en un tiempo finito, aunque es extremadamente difícil probar definitivamente la falacia. El griego antiguo Aristóteles fue el primero de muchos en tratar de refutar las paradojas, particularmente porque era un firme creyente de que el infinito solo podía ser potencial y no real.


Demócrito, más famoso por sus ideas proféticas acerca de que toda la materia está compuesta de átomos diminutos, también fue un pionero de las matemáticas y la geometría en los siglos V y IV a. C., y produjo obras con títulos como “En números","Sobre geometría","Sobre tangencias","Sobre el mapeo"Y"Sobre irracionales“, Aunque estas obras no han sobrevivido. Sabemos que fue uno de los primeros en observar que un cono (o pirámide) tiene un tercio del volumen de un cilindro (o prisma) con la misma base y altura, y es quizás el primero en haber considerado seriamente la división. de objetos en un número infinito de secciones transversales.

Sin embargo, es ciertamente cierto que Pitágoras, en particular, influyó mucho en aquellos que le siguieron, incluido Platón, quien estableció su famosa Academia en Atenas en 387 a. C., y su protegido Aristóteles, cuyo trabajo sobre lógica se consideró definitivo durante más de dos mil años. . Platón, el matemático, es más conocido por su descripción de los cinco sólidos platónicos, pero el valor de su trabajo como profesor y divulgador de las matemáticas no puede exagerarse.

Al alumno de Platón, Eudoxo de Cnido, generalmente se le atribuye la primera implementación del "método de agotamiento" (más tarde desarrollado por Arquímedes), un método temprano de integración por aproximaciones sucesivas que utilizó para el cálculo del volumen de la pirámide y el cono. También desarrolló una teoría general de la proporción, que era aplicable a magnitudes inconmensurables (irracionales) que no pueden expresarse como una proporción de dos números enteros, así como a magnitudes conmensurables (racionales), extendiendo así las ideas incompletas de Pitágoras.

Sin embargo, quizás la contribución individual más importante de los griegos, y Pitágoras, Platón y Aristóteles fueron todos influyentes a este respecto, fue la idea de prueba y el método deductivo de usar pasos lógicos para probar o refutar teoremas a partir de axiomas asumidos inicialmente. Las culturas más antiguas, como la egipcia y la babilónica, se habían basado en el razonamiento inductivo, es decir, utilizando observaciones repetidas para establecer reglas prácticas. Es este concepto de prueba el que le da a las matemáticas su poder y asegura que las teorías probadas sean tan verdaderas hoy como lo eran hace dos mil años, y que sentó las bases para el enfoque sistemático de las matemáticas de Euclides y aquellos que vinieron después de él.



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