Matriz diagonal: explicación y ejemplos

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Alejandra Rangel
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Matriz diagonal: explicación y ejemplos

A matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos, distintos de la diagonal, son cero. Hay ciertas condiciones que deben cumplirse para que una matriz se llame matriz diagonal. En primer lugar, verifiquemos la definición formal de una matriz diagonal.

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos excepto la diagonal principal son cero se conoce como matriz diagonal.

En este artículo, veremos de cerca qué hace que una matriz sea diagonal, cómo encontrar matrices diagonales, propiedades de matrices diagonales y el determinante de una matriz diagonal. ¡Empecemos!



¿Qué es una matriz diagonal?

Una matriz para ser clasificada como una matriz diagonal, debe cumplir las siguientes condiciones:

  • matriz cuadrada
  • todos los elementos (entradas) de la matriz, que no sean la diagonal principal, tienen que ser $ 0 $

Se dice que una matriz cuadrada es:

  • triangular inferior si sus elementos por encima de la diagonal principal son todos $ 0 $
  • triangular superior si sus elementos debajo de la diagonal principal son todos $ 0 $

Matriz triangular inferior


Matriz triangular superior

matriz diagonal es una matriz cuadrada especial que es AMBOS triangular superior e inferior ya que todos los elementos, ya sea por encima o por debajo de la diagonal principal, son $ 0 $.


Cómo encontrar la matriz diagonal

Para encontrar, o identificar, una matriz diagonal, necesitamos ver si es una matriz cuadrada y todos los elementos además de la diagonal principal (diagonal que va de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) son $ 0 $. Echemos un vistazo a las matrices que se muestran a continuación:


$ A = begin {pmatrix} 3 & 0 0 & {- 3} end {pmatrix} $

$ B = begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & {- 2} end {pmatrix} $

$ C = comenzar {bmatrix} 10 & 0 0 & 12 0 & 12 end {bmatrix} $

$ D = begin {bmatrix} {- 5} & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & {9} end {bmatrix} $

Tenga en cuenta las siguientes observaciones sobre cada una de las matrices de $ 4 $ que se muestran arriba:

  • La matriz $ A $ es una matriz cuadrada porque tiene el mismo número de filas y columnas ($ 2 por 2 $ matriz). La diagonal principal tiene entradas $ 3 $ y $ -3 $, respectivamente. Todas las demás entradas son $ 0 $. Por lo tanto, esta es una matriz diagonal.
  • La matriz $ B $ es una matriz cuadrada porque tiene el mismo número de filas y columnas ($ 3 por 3 $ matriz). La diagonal principal tiene entradas $ 1 $, $ 5 $ y $ -2 $, respectivamente. Todas las demás entradas son $ 0 $. Por lo tanto, esta es una matriz diagonal.
  • Una mirada falsa a la Matriz $ C $ nos hará pensar que es una matriz diagonal. Pero, ante todo, es no es una matriz cuadrada. Por lo tanto, no puedo ser una matriz diagonal.
  • Este es un poco complicado. En primer lugar, es de hecho una matriz cuadrada ($ 3 por 3 $). Pensarás que es no es una matriz diagonal, pero ¿por qué? ¿Es porque hay $ 0 $ en el medio?

    Si observa más de cerca la definición de una matriz diagonal, verá que en ninguna parte dice que las entradas en la diagonal no pueden ser $ 0 $. La condición es que los elementos distintos de la diagonal tiene que ser $ 0 $. Entonces, incluso si hay elementos que son $ 0 $ en la diagonal, no importará. Mientras los elementos además de las diagonales son $ 0 $, será una matriz diagonal.



    Por lo tanto, la matriz $ D $ es de hecho una matriz diagonal.

Esto nos lleva a $ 2 $ especial tipos de matrices diagonales:

  • Matriz de identidad
  • Matriz cero

Matriz de identidad

Esta es una matriz cuadrada en la que todas las entradas de la diagonal principal son $ 1 $ y todos los demás elementos son $ 0 $. A continuación se muestran las matrices de identidad de $ 2 por 2 $ y $ 3 por 3 $.

$ 2 por 2 $ matriz de identidad

$ begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix} $

$ 3 por 3 $ matriz de identidad

$ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix} $

Puede leer más sobre las matrices de identidad aquí.

Matriz cero

Una matriz en la que todos los elementos son $ 0 $. A continuación se muestran las matrices de $ 2 por 2 $ y $ 3 por 3 $ cero.

$ 2 por 2 $ matriz cero

$ begin {bmatrix} 0 & 0 0 & 0 end {bmatrix} $

$ 3 por 3 $ matriz cero

$ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {bmatrix} $

Ahora, veamos algunas propiedades de las matrices diagonales.


Propiedades de las matrices diagonales

Hay varias propiedades de las matrices diagonales, pero para el propósito de este artículo, veremos las propiedades de $ 3 $ de las matrices diagonales. A continuación, echamos un vistazo a las propiedades y sus ejemplos.

Propiedad 1:

Cuando se suman o multiplican matrices diagonales de $ 2 $ del mismo orden, la matriz resultante es otra matriz diagonal con el mismo orden.

Considere las matrices que se muestran a continuación:

$ A = comenzar {bmatrix} 3 & 0 0 & 4 end {bmatrix} $
$ B = comenzar {bmatrix} 1 & 0 0 & 5 end {bmatrix} $

Ahora nosotros add ambas matrices $ 2 por 2 $ y demuestre que la matriz resultante también es diagonal.

$ A + B = comenzar {bmatrix} 3 + 1 & 0 + 0 0 + 0 & 4 + 5 end {bmatrix} $

$ A + B = comenzar {bmatrix} 4 & 0 0 & 9 end {bmatrix} $

Así, vemos que la matriz resultante, $ A + B $, también es una matriz diagonal del orden $ 2 por 2 $.

Comprobemos la multiplicación de matrices con las mismas matrices. Nosotros multiplicar Matriz $ A $ y Matriz $ B $ y demuestre que la resultante también es una matriz diagonal con el mismo orden. Mostrado a continuación:

$ A veces B = begin {bmatrix} 3 & 0 0 & 4 end {bmatrix} veces comienzan {bmatrix} 1 & 0 0 & 5 end {bmatrix} $

$ A veces B = comenzar {bmatrix} {3 veces1 + 0 veces0} y 3 veces 0 + 0 veces 5 0 veces 1 + 4 veces 0 y 0 veces0 + 4 veces 5 fin {bmatrix} $

$ A multiplicado por B = begin {bmatrix} 3 & 0 0 & 20 end {bmatrix} $

Por tanto, vemos que la matriz resultante, $ A por B $, también es una matriz diagonal del orden $ 2 por 2 $.

Para obtener más información sobre cómo hicimos la multiplicación de matrices, consulte el artículo aquí.

Propiedad 2:

La transposición de una matriz diagonal es la propia matriz.

Si tenemos una matriz $ A $, entonces denotamos su transposición como $ A ^ {T} $. Transponer una matriz significa invertir sus filas y columnas. Demostremos que esta propiedad es verdadera calculando la transposición de la matriz $ A $.

$ A = comenzar {bmatrix} 3 & 0 0 & 4 end {bmatrix} $

$ A ^ {T} = comenzar {bmatrix} 3 & 0 0 & 4 end {bmatrix} $

El intercambio de filas y columnas produce la misma matriz debido a que las entradas además de la diagonal son $ 0 $.

Propiedad 3:

En la multiplicación, las matrices diagonales son conmutativas. 

Si tenemos matrices de $ 2 $, $ A $ y $ B $, esto significa $ AB = BA $. Demostremos esta propiedad usando las dos matrices de arriba.

$ A veces B = comenzar {bmatrix} {3 veces1 + 0 veces0} y 3 veces 0 + 0 veces 5 0 veces 1 + 4 veces 0 y 0 veces0 + 4 veces 5 fin {bmatrix} $

$ A multiplicado por B = begin {bmatrix} 3 & 0 0 & 20 end {bmatrix} $

Ahora,

$ B por A = begin {bmatrix} {1times3 + 0times0} & 1times 0 + 0 times 4 0 times 3 + 5 times 0 & 0times0 + 5 times 4 end {bmatrix} $

$ B por A = begin {bmatrix} 3 & 0 0 & 20 end {bmatrix} $

Por tanto, hemos visto que $ AB = BA $.

Determinante de la matriz diagonal

Primero, veamos el determinante de una matriz de $ 2 x 2 $.

Considere la matriz $ M $ que se muestra a continuación:

$ M = comenzar {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix} $

El determinante de esta matriz es:

$ det (M) = anuncio - bc $

Una propiedad de una matriz diagonal es que el determinante de una matriz diagonal es igual al producto de los elementos en su diagonal principal.

Veamos si es cierto encontrando el determinante de la matriz diagonal que se muestra a continuación.

$ N = comenzar {pmatrix} 2 & 0 0 & 8 end {pmatrix} $

$ det (N) = (2veces8) - (0veces0) = 16 $

Este es de hecho el producto de los elementos en su diagonal, $ 2 x 8 = 16 $.

ejemplo 1

Para las matrices que se muestran a continuación, identifique si son matrices diagonales o no.

$ A = begin {bmatrix} {-2} & 0 0 & {-7} end {bmatrix} $

$ B = comenzar {bmatrix} a & 0 0 & b 0 & d end {bmatrix} $

$ C = comenzar {bmatrix} 3 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 11 end {bmatrix} $

$ D = comenzar {bmatrix} 0 & 0 0 & 0 final {bmatrix} $


Solución

  • La matriz A es una matriz de $ 2 x 2 $ con los elementos que son 0 distintos de la diagonal. Así que esto es una matriz diagonal.
  • La matriz B es una matriz de $ 3 x 2 $. No es cuadrado, así que inmediatamente podemos decir que no es una matriz diagonal.
  • La matriz C es una matriz cuadrada ($ 3 x 3 $). Además, todos los elementos además de la diagonal son $ 0 $. Por lo que es una matriz diagonal. Además, una entrada de la diagonal también es $ 0 $, no importa siempre que todas las entradas excepto la diagonal sean ceros.
  • La matriz D es un tipo especial de matriz diagonal. Es una matriz cero. Por lo tanto es una matriz diagonal.

ejemplo 2

¿Multiplicar la Matriz A y la Matriz B resultará en una matriz diagonal?

$ A = comenzar {bmatrix} {-9} & 0 0 & 0 end {bmatrix} $

$ B = comenzar {bmatrix} 1 & 0 1 & 1 end {bmatrix} $

Solución

La matriz A es una matriz diagonal, pero la matriz B no lo es. Entonces, multiplicar la matriz A y B no dará como resultado una matriz diagonal.

ejemplo 3

Encuentre el determinante de la matriz que se muestra a continuación:

$ B = comenzar {bmatrix} 8 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & {-1} end {bmatrix} $

Solución

La matriz B es una matriz diagonal de $ 3 x 3 $. Recuerde que el producto de todas las entradas de la diagonal de una matriz diagonal es su determinante. Por lo tanto, simplemente multiplicamos y encontramos la respuesta:

$ det (B) = 8 veces 4 veces {-1} = - 32 $

Preguntas de práctica

  1. Identifica cuáles de las siguientes matrices son matrices diagonales.
    $ J = comenzar {pmatrix} 0 & 0 0 & {-5} finalizar {pmatrix} $
    $ K = begin {pmatrix} 0 & 2 1 & {-1} end {pmatrix} $
    $ L = comenzar {bmatrix} -3 & 0 & 0 0 & {-5} & 0 0 & 0 & 3 end {bmatrix} $
  2. Calcule el determinante de la matriz que se muestra a continuación:
    $ T = comenzar {bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & {-1} & 0 0 & 0 & 4 end {bmatrix} $
  3. Dado
    $ A = begin {pmatrix} 2 & 0 0 & {-1} end {pmatrix} $
    $ B = comenzar {pmatrix} 1 & 0 1 & {-2} finalizar {pmatrix} $

    ¿$ AB = BA $?

respuestas

  1. Matriz J es una matriz cuadrada. Todos los elementos que no sean la diagonal principal son ceros. Esto es una matriz diagonal.
    Matriz K es una matriz cuadrada pero no todas los elementos, excepto la diagonal, son cero. Por lo tanto, este no es una matriz diagonal
    Matriz L es una matriz cuadrada (3 x 3). Los elementos distintos de las entradas diagonales son cero. Así que esto es una matriz diagonal.
  2. Esta es una matriz diagonal. Podemos encontrar el determinante de esta matriz tomando el producto de las 3 entradas de la diagonal. Por lo tanto, la determinante es:
    $ det (T) = -1 por -1 por 4 = 4 $
  3. Si dos matrices son diagonales, la multiplicación de esas dos matrices es conmutativo. Al observar las matrices A y B, podemos ver que la matriz A es diagonal, pero la matriz B no lo es. Por lo tanto, su multiplicación no será conmutativo.

    Por tanto, $ AB neq BA $.



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