Debo decir que la división sintética es la forma más “divertida” de dividir polinomios. Tiene menos pasos para llegar a la respuesta en comparación con el método de división larga polinomial. En esta lección, repasaré cinco (5) ejemplos que, con suerte, deberían familiarizarlo con los procedimientos básicos para dividir polinomios con éxito mediante la división sintética.
Cosas para recordar:
- Asegúrese de que el dividendo esté en forma estándar. Eso significa que los poderes están en orden decreciente.
- El divisor debe tener la forma x - izquierda (c derecha).
Ejemplos de cómo dividir polinomios usando la división sintética
ejemplo 1: Divide el polinomio a continuación.
Examinemos nuevamente el problema dado y hagamos los ajustes necesarios, si es necesario.
El dividendo (cosas para dividir) está en forma estándar porque los exponentes están en orden decreciente. ¡Eso es bueno!
El divisor debe reescribirse como
En este punto, ahora puedo configurar la división sintética extrayendo los coeficientes del dividendo y luego alineándolos en la parte superior.
Directamente al lado izquierdo, coloque el valor de c = - 2 dentro de la “caja”.
Finalmente, construya una línea horizontal justo debajo de los coeficientes del dividendo.
Pasos:
1. Suelta el primer coeficiente debajo de la línea horizontal.
2. Multiplique ese número que suelte por el número en el "cuadro". Cualquiera que sea su producto, colóquelo sobre la línea horizontal justo debajo del segundo coeficiente.
3. Suma la columna de números, luego coloca la suma directamente debajo de la línea horizontal.
4. Repita el proceso hasta que se quede sin columnas para agregar.
Vea la solución animada a continuación:
El último número debajo de la línea horizontal es Siempre hay ¡el resto! El resto de este problema es 3.
Entonces, ¿cómo presentamos nuestra respuesta final?
- Muestra tu respuesta final en el formulario
Note que los números debajo de la línea horizontal excepto el último (resto) son los coeficientes del cociente.
Más aún, los exponentes de las variables del cociente se reducen todos en 1.
ejemplo 2: Divide el polinomio.
Esta no es una pregunta capciosa. Note que el cociente no tienen todos los exponentes de la variable x.
Puedo ver que nos faltan {x ^ 4} y {x ^ 2}. Para incluir todos los coeficientes de la variable x en potencia decreciente, debemos reescribir el problema original de esta manera. Adjunte ceros a las x faltantes. También exprese el divisor como x - (c) que revela claramente el valor de c, es decir, c = + 1.
Desde este punto, ahora puedo configurar los números para continuar con el proceso.
Pasos:
1. Suelta el primer coeficiente debajo de la línea horizontal.
2. Multiplique ese número que suelte por el número en el "cuadro". Cualquiera que sea su producto, colóquelo sobre la línea horizontal justo debajo del segundo coeficiente.
3. Suma la columna de números, luego coloca la suma directamente debajo de la línea horizontal.
4. Repita el proceso hasta que se quede sin columnas para agregar.
Vea la solución animada a continuación:
Entonces, poniendo la respuesta final en el formulario
tenemos
ejemplo 3: Divide el polinomio a continuación.
izquierda ({- 2 {x ^ 4} + x} derecha) div izquierda ({x - 3} derecha)
¡Esto se está volviendo más interesante! El cociente definitivamente se ve horrible porque falta mucho. No solo carece de algunas x, que son {x ^ 3} y {x ^ 2}, sino que la constante también desaparece.
Para solucionar esto, volveré a escribir el problema original de tal manera que se tengan en cuenta todas las x. Pero mas importante, no olvides para incluir la constante faltante que es cero.
El problema "nuevo y mejorado" debería verse así:
Desde aquí, continúe con los pasos como de costumbre.
Pasos:
1. Suelta el primer coeficiente debajo de la línea horizontal.
2. Multiplique ese número que suelte por el número en el "cuadro". Cualquiera que sea su producto, colóquelo sobre la línea horizontal justo debajo del segundo coeficiente.
3. Suma la columna de números, luego coloca la suma directamente debajo de la línea horizontal.
4. Repita el proceso hasta que se quede sin columnas para agregar.
Vea la solución animada a continuación:
Bien, entonces, la respuesta final para esto es
Puedes escribir la respuesta final de dos formas. El primero es usar el símbolo menos o resta para indicar que el resto es negativo. El segundo está usando el símbolo + pero adjuntando un símbolo negativo al numerador. ¡Quieren decir lo mismo!
ejemplo 4: Divide el polinomio a continuación.
izquierda ({- {x ^ 5} + 1} derecha) div izquierda ({x + 1} derecha)
No se desanime por este problema. En realidad, esto es bastante fácil, especialmente ahora que ya ha revisado algunos ejemplos. Recuerde siempre “completar las partes que faltan”, ¿verdad?
Observe el dividendo y debe estar de acuerdo en que las partes que faltan son {x ^ 4}, {x ^ 3}, {x ^ 2} y x.
Reescribiendo el problema original que está listo para la división sintética, obtenemos ...
Rellenamos las x faltantes con ceros y resolvimos explícitamente c = -1.
Pasos:
1. Suelta el primer coeficiente debajo de la línea horizontal.
2. Multiplique ese número que suelte por el número en el "cuadro". Cualquiera que sea su producto, colóquelo sobre la línea horizontal justo debajo del segundo coeficiente.
3. Suma la columna de números, luego coloca la suma directamente debajo de la línea horizontal.
4. Repita el proceso hasta que se quede sin columnas para agregar.
Vea la solución animada a continuación:
El último número debajo de la línea horizontal siempre será el resto. No lo olvides. En este caso, el resto es igual a 2.
Nuestra respuesta final es
ejemplo 5: Divide el polinomio por un binomio.
En este ejemplo, obtendremos un resto de cero. Cuando eso sucede, el divisor se convierte en un factor del dividendo. En otras palabras, el divisor divide uniformemente el dividendo.
Al examinar el problema, veo que no faltan componentes. Se tienen en cuenta todas las potencias de x y tenemos una constante. ¡Genial! De hecho, este problema está preparado para la división sintética.
Pasos:
1. Suelta el primer coeficiente debajo de la línea horizontal.
2. Multiplique ese número que suelte por el número en el "cuadro". Cualquiera que sea su producto, colóquelo sobre la línea horizontal justo debajo del segundo coeficiente.
3. Suma la columna de números, luego coloca la suma directamente debajo de la línea horizontal.
4. Repita el proceso hasta que se quede sin columnas para agregar.
Vea la solución animada a continuación:
Como el resto es cero, esto significa que el divisor x - 5 es un factor del dividendo
por lo tanto
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