Multiplicación de matrices: explicación y ejemplos

Multiplicación de matrices: explicación y ejemplos

Hay operaciones generales de $ 3 $ en matrices. Estos son:

• Adición de matrices
• Resta de matrices
• Multiplicación de matrices

La suma y la resta de matrices son operaciones sencillas. Puede leer más sobre la suma de matrices aquí y más sobre la resta de matrices aquí.

Multiplicación de matrices es de $ 2 $ tipos:

• Multiplicación escalar
• Multiplicación de matrices

La multiplicación escalar no es muy complicada y sencilla. Aún así, la multiplicación de matrices puede ser un poco intimidante al principio. Después de leer esta lección, será tan fácil como las otras operaciones con matrices.

Echemos un vistazo a la definición de multiplicación de matrices:

La multiplicación de matrices es la operación que implica multiplicar una matriz por un escalar o la multiplicación de matrices de $ 2 $ juntas (después de cumplir ciertas condiciones).

Esta lección mostrará cómo multiplicar matrices, multiplicar $ 2 por 2 $ matrices, multiplicar $ 3 por 3 $ matrices, multiplicar otras matrices y ver si la multiplicación de matrices está definida y algunas propiedades de la multiplicación de matrices.

Cómo multiplicar matrices

Para multiplicar dos matrices juntas, primero debemos asegurarnos de que el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Si ellos no son iguales, entonces la multiplicación de matrices es indefinido.

Si son iguales, podemos multiplicar las matrices de $ 2 $ juntas. La matriz resultante tendrá una dimensión igual al número de filas de la 1ª matriz y al número de columnas de la 2ª matriz.

Si la primera matriz tiene una dimensión de $ a por b $ y la dimensión de la segunda matriz es $ m por n $, para que la multiplicación de matrices sea se define, el número de columnas de la primera matriz ($ b $) debe ser igual el número de filas de la segunda matriz ($ m $). La matriz resultante tendrá dimensiones $ a por n $.

Para multiplicar matrices de $ 2 $, necesitamos entender el producto de punto. Considere las dos matrices de $ 1 por 3 $ que se muestran a continuación:

$ begin {bmatrix} {1} & {2} & 1 end {bmatrix} $

$ begin {bmatrix} {2} & {0} & 4 end {bmatrix} $

Para tomar su producto escalar, multiplicamos cada entrada correspondiente de las matrices de $ 2 $ entre sí y obtenemos la suma. Mostrado a continuación:

$ = (1) (2) + (2) (0) + (1) (4) = 2 + 0 + 4 = 6 $

Tenga en cuenta que el producto escalar es solo un número. Recuerde, para que exista un producto escalar, ¡ambas matrices deben tener el mismo número de entradas! Por lo tanto, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz cuando multiplicamos matrices de $ 2 $. Lo veremos en breve.

Pasos para multiplicar dos matrices

1. Compruebe si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Si es así, podemos realizar una multiplicación de matrices. Si no, la operación es indefinido. Tenga en cuenta que la matriz resultante tendrá una dimensión igual al número de fila de la primera matriz y al número de columna de la segunda matriz.
2. Tome producto de punto de la primera fila de la primera matriz con la primera columna de la segunda matriz. Coloque la respuesta en la primera fila, marcador de posición de la primera columna en la matriz resultante.
3. Tome producto de punto de la primera fila de la primera matriz con la segunda columna de la segunda matriz. Coloque la respuesta en la primera fila, marcador de posición de la segunda columna en la matriz resultante.
4. Continúe este proceso hasta que se agoten todas las filas y columnas de ambas matrices. La matriz resultante es tu respuesta. Recuerde una regla general, si está multiplicando la fila $ n ^ {th} $ por la columna $ m ^ {th} $, recuerde poner la respuesta en la fila $ n ^ {th} $, $ m ^ { th} $ columna de la matriz resultante.

Cómo multiplicar matrices 2 x 2

Considere Matrix $ A $ y Matrix $ B $ que se muestran a continuación:

$ A = begin {bmatrix} {1} & {3} 1 & {- 2} end {bmatrix} $

$ B = comenzar {bmatrix} {0} & {- 3} 1 & {1} finalizar {bmatrix} $

Tanto la Matriz $ A $ como $ B $ son matrices de $ 2 por 2 $. Seguiremos los pasos descritos anteriormente para realizar la multiplicación entre Matriz $ A $ y Matriz $ B $. Dado que el número de columna de la primera matriz es igual al número de fila de la segunda matriz, podemos continuar y realizar la multiplicación. El proceso se muestra a continuación:

$ A veces B = begin {bmatrix} {1} & {3} 1 & {- 2} end {bmatrix} tiempos comienzan {bmatrix} {0} & {- 3} 1 & {1} end {bmatrix} PS

$ = comenzar {bmatrix} {(1) (0) + (3) (1)} & {(1) (- 3) + (3) (1)} {(1) (0) + (- 2 ) (1)} & {(1) (- 3) + (-2) (1)} end {bmatrix} $

$ = begin {bmatrix} {3} & {0} {- 2} & {- 5} end {bmatrix} $

Por lo tanto,

$ A multiplicado por B = begin {bmatrix} {3} & {0} {- 2} & {- 5} end {bmatrix} $

El proceso de multiplicar matrices de $ 3 por 3 $ es similar. Lo veremos a continuación.

Cómo multiplicar matrices 3 x 3

Considere Matrix $ A $ y Matrix $ B $ que se muestran a continuación:

$ A = begin {bmatrix} {1} & {3} & {- 1} 1 & {- 2} & 0 1 & {- 1} & 2 end {bmatrix} $

$ B = begin {bmatrix} {- 2} & {6} & {0} 1 & {- 5} & 1 0 & {- 1} & {- 4} end {bmatrix} $

Tanto la Matriz $ A $ como $ B $ son matrices de $ 3 por 3 $. Seguiremos los pasos descritos anteriormente para realizar la multiplicación entre Matriz $ A $ y Matriz $ B $. Dado que el número de columna de la primera matriz es igual al número de fila de la segunda matriz, podemos continuar y realizar la multiplicación. El proceso se muestra a continuación:

$ A veces B = begin {bmatrix} {1} & {3} & {- 1} 1 & {- 2} & 0 1 & {- 1} & 2 end {bmatrix} veces comienzan {bmatrix} {- 2} & {6} & {0} 1 & {- 5} & 1 0 & {- 1} & {- 4} end {bmatrix} $

$ = comenzar {bmatrix} {(1) (- 2) + (3) (1) + (-1) (0)} & {(1) (6) + (3) (- 5) + (-1 ) (- 1)} & {(1) (0) + (3) (1) + (-1) (- 4)} {(1) (- 2) + (-2) (1) + ( 0) (0)} & {(1) (6) + (-2) (- 5) + (0) (- 1)} & {(1) (0) + (-2) (1) + ( 0) (- 4)} {(1) (- 2) + (-1) (1) + (2) (0)} & {(1) (6) + (-1) (- 5) + (2) (- 1)} & {(1) (0) + (-1) (1) + (2) (- 4)} end {bmatrix} $

$ = begin {bmatrix} {1} & {- 8} & {7} {- 4} & {16} & {- 2} {- 3} & {9} & {- 9} end {bmatrix} PS

Por lo tanto,

$ A multiplicado por B = begin {bmatrix} {1} & {- 8} & {7} {- 4} & {16} & {- 2} {- 3} & {9} & {- 9} end {bmatrix} $

Multiplicar matrices con diferentes dimensiones

Hemos visto solo la multiplicación de matrices cuadradas (por ejemplo, $ 2 por 2 $ matriz con otra $ 2 por 2 $ matriz y $ 3 por 3 $ matriz con otra $ 3 por 3 $ matriz).

¿Qué pasa si las dos matrices que se van a multiplicar no son del mismo orden?

¡No es un problema! Simplemente verifique si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. Si es así, seguimos los pasos descritos anteriormente y multiplicamos las matrices de $ 2 $. Además, recuerde que la dimensión de la matriz resultante sería $ a por n $, donde $ a $ es el número de filas de la primera matriz y $ n $ es el número de columnas de la segunda matriz. Veremos un ejemplo más adelante.

Reglas de multiplicación de matrices

Veremos las propiedades de $ 5 $ de la multiplicación de matrices. Se describen en la tabla que se muestra a continuación ($ A $ y $ B $ son matrices de $ n por n $, $ I $ es la matriz de identidad de $ n por n $ y $ 0 $ es la matriz de $ n por n $ cero ):

Ahora, veamos algunos ejemplos para aclarar nuestra comprensión de la multiplicación de matrices.

ejemplo 1

Comente si las siguientes matrices se pueden multiplicar o no. Si es así, ¿cuál será la dimensión de la matriz resultante?

1. $ 2 por 2 $ matriz con otra matriz de $ 2 por 2 $
2. $ 1 por 4 $ matriz con una matriz de $ 4 por 1 $
3. $ 3 por 3 $ matriz con una matriz de $ 2 por 3 $

Solución

Recuerde que si el número de columna de la primera matriz es igual al número de fila de la segunda matriz, las dos matrices se pueden multiplicar. La matriz resultante tendrá dimensión $ a por b $ donde $ a $ es el número de filas de la primera matriz y $ b $ es el número de columnas de la segunda matriz.

1. Sí, ambas matrices se pueden multiplicar y la matriz resultante tendrá una dimensión $ 2 por 2 $.
2. Sí, ambas matrices se pueden multiplicar y la matriz resultante será del orden 1. Será una matriz de $ 1 por 1 $.
3. No, estas dos matrices no se pueden multiplicar ya que el número de columnas de la primera matriz ($ 3 $) no es igual al número de filas de la segunda matriz ($ 2 $). La multiplicación de matrices entre estas matrices de $ 2 $ no está definida.

ejemplo 2

Multiplique la matriz $ A $ y la matriz $ B $ que se muestran a continuación:

$ A = begin {bmatrix} {0} & {- 3} 2 & {0} end {bmatrix} $

$ B = begin {bmatrix} {1} & {1} 5 & {- 2} end {bmatrix} $

Solución

Tanto la matriz $ A $ como $ B $ son matrices de $ 2 por 2 $. Dado que el número de columna de la primera matriz es igual al número de fila de la segunda matriz, podemos continuar y realizar la multiplicación. El proceso se muestra a continuación:

$ A veces B = begin {bmatrix} {0} & {- 3} 2 & {0} end {bmatrix} tiempos comienzan {bmatrix} {1} & {1} 5 & {- 2} end {bmatrix} PS

$ = comenzar {bmatrix} {(0) (1) + (-3) (5)} & {(0) (1) + (-3) (- 2)} {(2) (1) + ( 0) (5)} & {(2) (1) + (0) (- 2)} end {bmatrix} $

$ = begin {bmatrix} {-15} & {6} {2} & {2} end {bmatrix} $

ejemplo 3

Multiplique la matriz $ begin {bmatrix} {3} & {2} {1} & {-4} end {bmatrix} $ con la matriz identidad $ 2 por 2 $. ¿Qué propiedad de la multiplicación de matrices ilustra?

Solución

Realicemos la multiplicación indicada usando las reglas de multiplicación de matrices:

$ begin {bmatrix} {3} & {2} {1} & {-4} end {bmatrix} times begin {bmatrix} {1} & {0} 0 & 1 end {bmatrix} $

$ = comenzar {bmatrix} {(3) (1) + (2) (0)} & {(3) (0) + (2) (1)} {(1) (1) + (-4) (0)} & {(1) (0) + (-4) (1)} end {bmatrix} $

$ = begin {bmatrix} {3} & {2} {1} & {-4} end {bmatrix} $

La matriz resultante es igual a la matriz original. Este problema ilustró la Identidad multiplicativa de la multiplicación de matrices.

Ahora es tu turno de probar algunos problemas.

Preguntas de práctica

1. Comente si las siguientes matrices se pueden multiplicar o no. Si es así, ¿cuál será la dimensión de la matriz resultante?

   1. $ 3 por 1 $ matriz con una matriz de $ 1 por 4 $
   2. $ 4 por 4 $ matriz con otra matriz de $ 4 por 4 $
   3. $ 2 por 4 $ matriz con una matriz de $ 3 por 4 $
2. Para las dos matrices que se muestran a continuación, ¿$ AB = BA $?

   $ A = begin {bmatrix} {1} & {0} 3 & {0} end {bmatrix} $

   $ B = begin {bmatrix} {1} & {-1} 0 & {1} end {bmatrix} $

3. Multiplique la matriz $ C $ y la matriz $ D $ que se muestran a continuación:

   $ C = begin {bmatrix} {1} & {- 4} & 1 1 & 2 & 3 -1 & 2 & -1 end {bmatrix} $

   $ D = begin {bmatrix} {0} & 1 & 7 1 & -1 & -1 1 & {0} & 2 end {bmatrix} $

1.  

respuestas

1. Recuerde que si el número de columna de la primera matriz es igual al número de fila de la segunda matriz, las dos matrices se pueden multiplicar. La matriz resultante tendrá dimensión $ a por b $ donde $ a $ es el número de filas de la primera matriz y $ b $ es el número de columnas de la segunda matriz.

   1. Sí, ambas matrices se pueden multiplicar y la matriz resultante tendrá una dimensión $ 3 por 4 $.
   2. Sí, ambas matrices se pueden multiplicar y la matriz resultante será del orden 4. Será una matriz de $ 4 por 4 $.
   3. No, estas dos matrices no se pueden multiplicar ya que el número de columnas de la primera matriz ($ 4 $) no es igual al número de filas de la segunda matriz ($ 3 $). La multiplicación de matrices entre estas matrices de $ 2 $ no está definida.
2. Primero, encontremos $ AB $:

   $ begin {bmatrix} {1} & {0} 3 & {0} end {bmatrix} times begin {bmatrix} {1} & {-1} 0 & {1} end {bmatrix} $

   $ = comenzar {bmatrix} {(1) (1) + (0) (0)} & {(1) (- 1) + (0) (1)} {(3) (1) + (0) (0)} & {(3) (- 1) + (0) (1)} end {bmatrix} $

   $ = begin {bmatrix} {1} & {-1} {3} & {-3} end {bmatrix} $

   Por lo tanto,
   $ A multiplicado por B = begin {bmatrix} {1} & {-1} {3} & {-3} end {bmatrix} $

   Ahora, busquemos $ BA $:

   $ begin {bmatrix} {1} & {-1} 0 & {1} end {bmatrix} times begin {bmatrix} {1} & {0} 3 & {0} end {bmatrix} $

   $ = comenzar {bmatrix} {(1) (1) + (-1) (3)} & {(1) (0) + (-1) (0)} {(0) (1) + (1 ) (3)} & {(0) (0) + (1) (0)} end {bmatrix} $

   $ = begin {bmatrix} {-2} & {0} {3} & {0} end {bmatrix} $

   Por lo tanto,
   $ B por A = begin {bmatrix} {-2} & {0} {3} & {0} end {bmatrix} $

   Por tanto, vemos que $ AB neq BA $. La multiplicación de matrices es ¡no conmutativo!

    

3. Multipliquemos las dos matrices de $ 3 por 3 $ siguiendo los pasos de la multiplicación de matrices. Mostrado a continuación:

   $ C veces D = begin {bmatrix} {1} & {- 4} & 1 1 & 2 & 3 -1 & 2 & -1 end {bmatrix} veces comienzan {bmatrix} {0} & 1 & 7 1 & -1 & -1 1 & {0} & 2 end {bmatrix} $

   $ = comenzar {bmatrix} {(1) (0) + (-4) (1) + (1) (1)} & {(1) (1) + (-4) (- 1) + (1) (0)} & {(1) (7) + (-4) (- 1) + (1) (2)} {(1) (0) + (2) (1) + (3) (1 )} & {(1) (1) + (2) (- 1) + (3) (0)} & {(1) (7) + (2) (- 1) + (3) (2)} {(-1) (0) + (2) (1) + (-1) (1)} & {(-1) (1) + (2) (- 1) + (-1) (0) } & {(-1) (7) + (2) (- 1) + (-1) (2)} end {bmatrix} $

   $ = begin {bmatrix} {-3} & {5} & 13 5 & {-1} & {11} 1 & {-3} & {-11} end {bmatrix} $

   Por lo tanto,

   $ C multiplicado por D = begin {bmatrix} {-3} & {5} & 13 5 & {-1} & {11} 1 & {-3} & {-11} end {bmatrix} $