Las expresiones racionales se multiplican de la misma manera que multiplicaría las fracciones regulares. Nada más y nada menos. Como ya habrá aprendido, multiplicamos fracciones simples siguiendo los pasos a continuación.
Repase los pasos para multiplicar fracciones
- Multiplica los numeradores.
- Multiplica los denominadores
- Simplifique la "nueva" fracción cancelando los factores comunes. La mayoría de las veces, necesitará expandir un número como producto de sus factores para identificar factores comunes en el numerador y denominador que se pueden cancelar. Lo que está haciendo realmente es reducir la fracción a su forma más simple. Una fracción está en su forma más simple si el máximo divisor común es el color {rojo} +1.
Por lo tanto, cuando multiplicas expresiones racionales, aplica lo que sabes como si estuvieras multiplicando fracciones.
La mejor forma de aprender a multiplicar expresiones racionales es hacerlo. Es por eso que vamos a repasar cinco (5) ejemplos prácticos en esta lección.
Ejemplos de cómo multiplicar expresiones racionales
Ejemplo 1: Multiplica las expresiones racionales a continuación.
Veo que ambos denominadores son factorizables. El primer denominador es un caso de diferencia de dos cuadrados. El segundo denominador es fácil porque puedo sacar un factor de x.
Así es como se ve.
- Factoriza los denominadores.
- Ahora, puedo multiplicar los numeradores y los denominadores colocándolos uno al lado del otro.
En este punto, comparo los factores superior e inferior y decido cuáles se pueden tachar.
- Al codificar por colores los factores comunes, queda claro cuáles eliminar.
Ambos factores 2x + 1 yx + 1 se pueden cancelar como se muestra a continuación.
- Lo que queda en la parte superior es solo el número 1.
Y entonces tenemos esto como nuestra respuesta final.
Trate de no distribuirlo y manténgalo en forma factorizada. Sin embargo, si su maestro quiere que se distribuya la respuesta final, hágalo. Cualquiera de los dos casos debería ser correcto. Es solo una cuestión de preferencia.
Ejemplo 2: Multiplica las expresiones racionales a continuación.
Necesitamos factorizar todos los trinomios. La buena noticia es que este tipo de trinomio, donde el coeficiente del término al cuadrado es +1, es muy fácil de manejar. De hecho, llamé a este trinomio en el que el coeficiente del término cuadrático es +1 en el caso fácil.
A continuación se muestra el enlace a mi lección separada que analiza cómo factorizar un trinomio de la forma {color {red} + 1} {x ^ 2} + bx + c.
Factoring Trinomial - Caso fácil
Factoricemos los numeradores y denominadores de las dos expresiones racionales.
➤ Factorizar los numeradores:
Comenzando con el primer numerador, encuentra dos números donde su producto da el último término, 10, y su suma da el coeficiente medio, 7. Estoy pensando en +5 y +2. Son los números correctos pero te lo haré verificar.
Para el segundo numerador, los dos números deben ser −7 y +1 ya que su producto es el último término, -7, mientras que la suma es el coeficiente medio, -6.
➤ Factorizar los denominadores
Para factorizar el primer denominador, encuentre dos números con un producto del último término, 14 y una suma del coeficiente medio, -9. Por ensayo y error, los números son -2 y -7. Sin embargo, siempre debes verificarlo.
Ahora, para el segundo denominador, piense en dos números tales que cuando se multiplica dan el último término, 5, y cuando se suman dan 6. Obviamente, son +5 y +1.
Los factores correctos de los cuatro trinomios se muestran a continuación.
- Factoriza los numeradores y denominadores por completo.
- Multiplíquelos juntos: numerador por numerador y denominador por denominador.
Eso significa, colóquelos uno al lado del otro para que se conviertan en una sola fracción con una barra fraccionaria.
- Los esquemas de color deberían ayudar a identificar los factores comunes de los que podemos deshacernos.
- ¡Sí! Lo limpiamos maravillosamente. Esta es nuestra respuesta final.
Ejemplo 3: Multiplica las expresiones racionales a continuación.
En este problema, hay seis términos que necesitan factorización. Sin embargo, la mayoría de ellos son fáciles de manejar y ofreceré sugerencias sobre cómo factorizar cada uno.
Pero, quiero mostrar un cálculo lateral rápido sobre cómo factorizar el color del trinomio {rojo} 4 {x ^ 2} + x - 3 porque puede ser un desafío para algunos.
- Factorizar todos los términos.
- Multiplícalos todos a la vez colocándolos uno al lado del otro. Todos los numeradores permanecen arriba y los denominadores abajo.
- Decido cancelar los factores comunes uno o dos a la vez para poder realizar un seguimiento de ellos en consecuencia. De lo contrario, puedo cometer errores "por descuido".
Primero me deshaceré de los dos binomios 4x - 3 y x - 4.
- Simplificar.
- A continuación, eliminaré los factores x + 4 y x + 1.
- Cancela el 2 que se encuentra en el numerador y denominador.
- En este punto, realmente no hay nada más que cancelar. Sin embargo, hay algo que puedo simplificar por división.
Observe que left ({- 5} right) div left ({- 1} derecha) = 5.
- ¡Ahí tienes! Esta es nuestra respuesta final.
Ejemplo 4: Multiplica las expresiones racionales a continuación.
Como puede ver, están sucediendo muchas cosas en este problema. Sin embargo, no se deje intimidar por su apariencia. Comience factorizando cada término por completo. El problema se volverá más fácil a medida que avanza.
De hecho, una vez que hemos factorizado los términos correctamente, el resto de los pasos se vuelve manejable.
- Factoriza cada término por completo.
- Multiplica colocándolos en un solo símbolo fraccionario. Todos los numeradores se escriben uno al lado del otro en la parte superior y los denominadores en la parte inferior.
- Primero cancelaré todos los términos x + 5.
- Simplificar.
- Luego, tacha los términos x + 2 y 4x - 3.
- En este punto, también puedo simplificar los monomios con la variable x.
- Hay cinco colores {rojo} x en la parte superior y dos colores {azul} x en la parte inferior.
Cancelar la x con correspondencia uno a uno debería dejarnos tres x en el numerador.
- Esta es la respuesta final.
Precaución: ¡No hagas esto!
Tenga en cuenta que la x en el denominador no es por sí misma. Es parte del término completo x − 7. Este es un error común de muchos estudiantes. No caigas en este error común.
Ejemplo 5: Multiplica las expresiones racionales a continuación.
Estoy seguro de que a estas alturas estás mejorando en cómo factorizar. Lo único que necesito señalar es el denominador de la primera expresión racional, {x ^ 3} - 1. Este es un caso especial llamado diferencia de dos cubos.
En este problema, usaré el Caso 2 debido al símbolo "menos" entre a ^ 3 y b ^ 3. Por tanto, se trata de la diferencia de dos cubos.
El caso 1 se conoce como la suma de dos cubos debido al símbolo "más".
A continuación se muestran los factores.
- Factoriza todos los términos tanto como sea posible.
- Multiplica los numeradores y haz lo mismo con los denominadores.
- Primero me deshaceré del trinomio {x ^ 2} + x + 1.
- A continuación, cancelaré los términos x - 1 y x - 3 porque tienen factores comunes en el numerador y el denominador.
- Aquí va. Espero que el código de colores le ayude a realizar un seguimiento de los términos que se cancelan.
- Veo un solo término x tanto en la parte superior como en la inferior.
- Tacha esa x también.
- En este punto, multiplicaré las constantes en el numerador.
- Dado que izquierda ({- 3} derecha) izquierda (7 derecha) = - 21,
- Podemos cancelar el factor común 21 pero dejar -1 en la parte superior.
- Puedo mantener esto como la respuesta final. Sin embargo, se verá mejor si distribuyo -1 en x + 3.
- ¡Lo conseguimos de nuevo!
Practica con hojas de trabajo
Usted también puede estar interesado en:
Resolver ecuaciones racionales
Sumar y restar expresiones racionales
Resolver desigualdades racionales
