Multiplicar polinomios: explicación y ejemplos
Muchos estudiantes encontrarán la lección de multiplicación de polinomios un poco desafiante y aburrido. Este artículo te ayudará a comprender cómo se multiplican los diferentes tipos de polinomios.
Antes de saltar a la multiplicación de polinomios, recordemos qué son los monomios, binomios y polinomios.
Un monomio es una expresión con un término. Ejemplos de expresión monomial son 3x, 5y, 6z, 2x, etc. Las expresiones monomiales se multiplican de la misma manera que se multiplican los números enteros.
Un binomio es una expresión algebraica con dos términos separados por el signo de suma (+) o el signo de resta (-). Ejemplos de expresiones binomiales son 2x + 3, 3x - 1, 2x + 5y, 6x − 3y, etc. Las expresiones binomiales se multiplican usando el método FOIL. FOI-L es la forma corta de 'primero, exterior, interior y último'. La fórmula general del método de la lámina es; (a + b) × (m + n) = am + an + bm + bn.
Echemos un vistazo al siguiente ejemplo.
ejemplo 1
Multiplicar (x - 3) (2x - 9)
Solución
- Multiplica los primeros términos juntos;
= (x) * (2x) = 2x 2
- Multiplica los términos más externos de cada binomio;
= (x) * (- 9) = –9x
- Multiplica los términos internos de los binomios;
= (–3) * (2x) = –6x
- Multiplica los últimos términos de cada binomio;
= (–3) * (–9) = 27
- Resuma los productos siguiendo el pedido de la lámina y recopile los términos similares;
= 2x 2 - 9x -6x + 27
= 2x 2 - 15x +27
Por otro lado, un polinomio es una expresión algebraica que consta de uno o más términos que involucran constantes y variables con coeficientes y exponentes.
Los términos de un polinomio están vinculados por suma, resta o multiplicación, pero no por división.
También es importante tener en cuenta que un polinomio no puede tener exponentes fraccionarios o negativos. Ejemplos de polinomios son; 3y2 + 2x + 5, x3 + 2 x 2-9 x - 4, 10 x 3 + 5 x + y, 4x2 - 5x + 7) etc.
¿Cómo multiplicar polinomios?
Para multiplicar polinomios, usamos la propiedad distributiva según la cual el primer término de un polinomio se multiplica por cada término del otro polinomio.
El polinomio resultante se simplifica sumando o restando términos idénticos. Debe tener en cuenta que el polinomio resultante tiene un grado más alto que los polinomios originales.
NOTA: Para multiplicar variables, multiplica sus coeficientes y luego suma los exponentes.
Multiplicar un polinomio por un monomio
Entendamos este concepto con la ayuda de algunos ejemplos a continuación.
ejemplo 2
Multiplica x - y - z por -8x2.
Solución
Multiplica cada término del polinomio x - y - z por el monomio -8x2.
⟹ -8x2 * (x - y - z)
= (-8x2 * x) - (-8x2 * y) - (-8x2 * z)
Agregue los términos similares para obtener;
= -8x3 + 8x2y + 8x2z
ejemplo 3
Multiplica 4p3 - 12pq + 9q2 por -3pq.
Solución
= 3pq * (4p3 - 12pq + 9q2)
Multiplica cada término del polinomio por el monomio
⟹ (-3pq * 4p3) - (-3pq * 12pq) + (-3pq * 9q2)
= 12p4q + 36p2q2 - 27pq3
ejemplo 4
Hallar el producto de 3x + 5y - 6z y - 5x
Solución
= -5x * (3x + 5y - 6z)
= (-5x * 3x) + (-5x * 5y) - (-5x * 6z)
= -15x2 - 25xy + 30xz
ejemplo 5
Multiplica x2 + 2xy + y2 + 1 por z.
Solución
= z * (x2 + 2xy + y2 + 1)
Multiplica cada término del polinomio por el monomio
⟹ (z * x2) + (z * 2xy) + (z * y2) + (z * 1)
= x2z + 2xyz + y2z + z
Multiplicar un polinomio por un binomio
Entendamos este concepto con la ayuda de algunos ejemplos a continuación.
ejemplo 6
Multiplicar (a2 - 2a) * (a + 2b - 3c)
Solución
Aplicar la ley distributiva de la multiplicación
⟹ a2 * (a + 2b - 3c) - 2a * (a + 2b - 3c)
⟹ (a2 * a) + (a2 * 2b) + (a2 * −3c) - (2a * a) - (2a * 2b) - (2a * −3c)
= a3 + 2a2b - 3a2c - 2a2 - 4ab + 6ac
ejemplo 7
Multiplicar (2x + 1) por (3x 2 - x + 4)
Solución
Usa la propiedad distributiva para multiplicar las expresiones;
⟹ 2x (3x2 - x + 4) + 1 (3x2 - x + 4)
⟹ (6x3 - 2x2 + 8x) + (3x2 - x + 4)
Combina términos semejantes.
⟹ 6x3 + (−2x2 + 3x2) + (8x - x) + 4
= 6x3 + x2 + 7x + 4
ejemplo 8
Multiplicar (x + 2y) por (3x - 4y + 5)
Solución
= (x + 2y) * (3x - 4y + 5)
= 3x2 - 4xy + 5x + 6xy - 8y2 + 10y
= 3x2 + 2xy + 5x - 8y2 + 10y
Preguntas de práctica
Encuentra el producto de los siguientes pares de expresiones:
- 3ab3c and -2a3b2– 3a3c2 – 4b3c2
- axy y ax - yx + ay
- 5x y x + x2 + 1
- –6xy y 4x2– 5xy - 2y2
- 4x - 5 y 2x2 + 3x - 6
- 3x + 2 y 4x2– 7x + 5
- 3x2 y 4x2– 5x + 7
- 3x2– 2x2y + 9y2 y –y2
- 10ab y ab + bc + ca
- -11ab2c y 5ab + 2bc - 4ca
