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    Notación de constructor de conjuntos: explicación y ejemplos

    Quien soy
    Lluís Enric Mayans
    @lluísenricmayans

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    Notación de constructor de conjuntos: explicación y ejemplos

    El lenguaje de las matemáticas y la lógica es mucho más conveniente y universal que cualquier otro idioma. Los matemáticos prefieren escribir y explicar en forma de símbolos comprensibles. El mismo caso se aplica también a los conjuntos. Ya hemos cubierto todo lo relacionado con los sets. Discutimos los tipos de conjuntos, las operaciones de conjuntos, las propiedades de conjuntos y las leyes de conjuntos. Ahora pasemos al tema final que es el Establecer notación de constructor. 



    La teoría de conjuntos es la rama de las matemáticas que proporciona tres notaciones diferentes para definir y describir los conjuntos, incluida la forma tabular, la notación del constructor de conjuntos y la forma descriptiva. 

    In this article, we are going to discuss the set-builder notation. It basically corresponds to outlining and describing sets in the form of symbols. 

    Cubriremos los siguientes temas en este artículo:

    • ¿Qué es la notación de constructor de conjuntos?
    • ¿Qué es el método Roster?
    • ¿Por qué el método Roster no es eficaz?
    • ¿Cómo usar la notación del constructor de conjuntos?
    • ¿Cómo escribir la notación del constructor de conjuntos?
    • ¿Cómo leer la notación del constructor de conjuntos?
    • Notación de intervalos.
    • ¿Cómo escribir en notación de intervalo?
    • Ejemplos 
    • Problemas de práctica 

    Antes de seguir adelante, puede considerar actualizar sus conocimientos sobre los siguientes requisitos previos:

    • Descripción de conjuntos
    • Establece la notación
    • Subconjunto
    • Conjunto universal

    ¿Qué es la notación Set Builder?

    The question that young mathematics enthusiasts frequently ask regarding sets is that what is the set builder notation? So let’s first address that question.


    Set builder notation is defined as a mathematical notation used to describe a set using symbols. It is used to explain elements of sets, relationships, and operations among the sets. A collection of numbers, elements that are unique can be described as a set.


    Pongamos un ejemplo. Considere el conjunto A, que se da como:

    A = {2,4,6,8,10}

    The above set A can be written in set builder notation as follow:

    A = {2x | x € N}

    Decimos, "conjunto de todas las x que contienen números naturales pares". También podemos decir que el conjunto A contiene múltiplos positivos de dos.

    ¿Qué es el método de lista?

    El método de lista es un término que a menudo confunde a los estudiantes de matemáticas. Es uno de los métodos para notificar conjuntos. 

    According to this method, a set can be defined directly by counting all of its elements and mentioning them between the curly brackets, as shown in the following examples.

    A = { 1,2,3,4,5 }

    B = {1,3,5,7,9}

    Este método de definir conjuntos también se denomina Método de lista.

    ¿Por qué el método de lista no es eficiente?

    The Roster Method makes set notation a straightforward concept to comprehend. But this method lacks universality and accuracy as all sets can not be defined using this method as enumeration can be too long or difficult to be explained. So the Roster method is not efficient. Therefore, some sets require to be defined by the properties that illustrate and describe their elements. 


    En consecuencia, se introdujo el concepto de notación creadora de conjuntos que indica y explica las propiedades de los conjuntos de una manera mucho más específica y, a menudo, utiliza un predicado que caracteriza los elementos del conjunto que se está definiendo.

    You might be wondering why we need such a complicated notation when we can use the roster notation to describe the sets that are probably much easier to express and understand. For example, if we want to write the set of an integer between 5 and 8, we could write it using roster notation as follows:


    A = {5, 6, 7, 8} 

    Considerando que, escribir el conjunto A en una notación de constructor de conjuntos es el siguiente:

    A = { x € z | 5 < x < 8 }

    Pero el problema surge cuando tenemos que enumerar elementos que se encuentran dentro de los intervalos pequeños o de un conjunto de números muy grande, o incluso de un conjunto infinito. Usar la notación de lista no tiene sentido y es un método muy tedioso. Por lo tanto, usamos la notación de constructor de conjuntos para tales condiciones. 

    ¿Cómo utilizar una notación de constructor de conjuntos?

    La notación del constructor de conjuntos es una notación matemática que describe un conjunto indicando todas las propiedades que los elementos del conjunto deben satisfacer. Es especialmente útil para explicar los conjuntos que contienen un número infinito de elementos. 

    La notación del constructor de conjuntos tiene tres componentes principales:

    1. A variable is usually written in the lowercase
    2. Vertical bar separator or colon which is read as “such that”
    3. Oración lógica que establece las propiedades de los conjuntos.

    The above mentioned three components of set builder notation are written inside the curly brackets as shown below:


    A = {variable | notación}

    Or

    A = {variable: notación}

    A = {x | x θ (x)}

    Or

    A = {x: θ (x)}

    La barra vertical es un separador que se lee como "tal que"O dos puntos “:”. θ(x) corresponds to the predicate (logical statement stating the properties which set holds), for all the values of x for which the predicate is true belongs to the set that is being defined. 


    También se puede definir un dominio en el lado izquierdo del separador vertical, como 

    A = {x € S | θ (x)}

    También se puede representar mediante "y "Operador lógico, también conocido como" conjunción lógica ". 

    A = {x | x € S ˄ θ (x)}

    Donde € muestra la membresía establecida, ˄ es la lógica "y ” operator. This notation indicates that all the values of x that belong to some given domain S for which the predicate is true. 

    Consideremos un ejemplo para una mejor comprensión.

    ejemplo 1

    Exprese los siguientes conjuntos en una notación de constructor de conjuntos.

    1. El conjunto de números enteros menores que 5.
    2. {-6,-5,-4,-3,-2,…}
    3. The set of all the even numbers.
    4. El conjunto de todos los números impares.
    5. The set of numbers greater than or equal to 2.

    Solución

    1. The set builder notation is given as

    A = {x | x = 5n, n es un número entero}

    1. The set builder notation is given as

    A = {x | x> -7, x es un número entero}

    3.La notación del constructor de conjuntos se da como 

    A = {x | x = 2n, n es un número entero}

    4.La notación del constructor de conjuntos se da como 

    A = {x | x = 2n + 1, n es un número entero}

    5.La notación del constructor de conjuntos se da como 

    A = { x | x ≥ -2 }

    How to write a Set Builder Notation?

    Ahora que sabemos qué es la notación del constructor de conjuntos, pasemos al siguiente concepto: escriba la notación del constructor de conjuntos.

    Follow the steps given below to write the sets in set builder notation:

    1. Describe los elementos de un conjunto usando una letra minúscula como x o cualquier otra letra.
    2. Use the symbol colon ( : ) or vertical bar ( | ) as separator.
    3. Después del símbolo, indique la condición de la propiedad de que todos los conjuntos dados contienen elementos.
    4. Escriba la descripción completa dentro de las llaves {}.

    Let us discuss the two different types of representation with the help of examples for a better understanding.

    Ahora especificaremos el tipo de números o dominios que usamos con las notaciones del constructor de conjuntos. Considere el siguiente ejemplo donde el conjunto A se da como:

    A = { x € R x<4 }

    Donde € significa "miembro de". R es el símbolo que corresponde a "números reales". Entonces, establece A contiene el valor de x en R tal que x es cualquier número menor que 4.

    Entonces, hay otros tipos de números además de los números reales. Discutiremos algunos dominios comunes que se utilizan ampliamente en matemáticas.

    Natural numbers:

    Natural numbers are non-negative numbers. They are denoted by N

    So, the set of natural numbers can be defined as 

    N = {1,2,3,4,5,…}

    Numeros reales:

    Todos los números, incluidos los números positivos, negativos, naturales, enteros, decimales, racionales, irracionales y todos los enteros, se incluyen en números reales. El símbolo R lo denota

    Entonces, todos los números, excepto los números imaginarios, se incluyen en la categoría de números reales. A continuación se dan algunos ejemplos:

    R = {1,2,3,4,5,…}

    R = {0.1,0.2,0.3,…}

    R = {1/3, 1 / 5,1 / 7, ...}

    Números enteros:

    Los números enteros comienzan con cero e incluyen todos los números naturales. 

    Entonces, el conjunto del número entero se da como 

    W = {0,1,2,3,4,5,…}

    Numeros racionales:

    Los números racionales se expresan en forma de fracciones, es decir, p / q. Están denotados por el símbolo Q.

    Un ejemplo del conjunto de números racionales se da como:

    Q = { 1.8, 1.9, 2 }

    Enteros:

    Integers are the set of positive numbers, negative numbers, and zeros. Integers are denoted by symbol z.

    An example of the set of integers is given below:

    Z = {0,+1,-1,+2,-2,…}

    Números imaginarios:

    Un número imaginario es un número que da un resultado negativo cuando se eleva al cuadrado. El número imaginario se llama iota i, que es equivalente a √-1.

    Imaginary numbers are defined as the proportion of complex numbers. They are denoted as c. An example is given below:

    C = {2 + 3i, 2 + 4i, 2 + 5i}

    Lo importante a tener en cuenta en todos estos tipos de conjuntos es que todos los conjuntos son infinitos, y la notación del constructor de conjuntos se usa para describir estos conjuntos.

    Let’s look at some examples for a better understanding.

    Now, let us discuss some examples regarding set builder notation using predicates and domains to understand better.

    ejemplo 2

    Escriba la notación del generador de conjuntos para los conjuntos dados

    1. Set of positive real numbers.
    2. Conjunto de todos los números racionales.
    3. El conjunto de números naturales impares.

    Solución

    1. La notación del constructor de conjuntos para el conjunto descriptivo se da como 

    A = {2n | n € N}

    2.La notación del constructor de conjuntos se da como 

    A = { p / q | p , q € z, q ≠ 0 }

    3.La notación del constructor de conjuntos se da como 

    A = {2n + 1 | n € z}

    ejemplo 3

    Representa lo siguiente en notación de constructor de conjuntos

    1. Y = {enero, febrero, marzo,…, diciembre}
    2. Z = {lunes, martes, miércoles,…, domingo}

    Solución

    1. El conjunto contiene el mes del año. Por lo tanto, la notación del constructor de conjuntos se da como 

    Y = {x | x son meses del año}

    2.The set contains the days of the week. Set builder notation is given as 

    Z = {x | x son los días de la semana}

    ejemplo 4

    Graph the interval and then express using set-builder notation.

    Interval: (∞ ,  5]

    Solución

    Por lo tanto, la notación del constructor de conjuntos se da como 

    A = {x | x ≤ 5}

    El conjunto contiene todos los números iguales o menores que 5.

    ¿Cómo leer la notación del constructor de conjuntos?

    La notación del constructor de conjuntos es un método para especificar propiedades de conjunto que son verdaderas para todos los elementos confinados en el conjunto. La notación del constructor de conjuntos está escrita en la forma 

    A = {x | condición sobre x}

    se lee como "el conjunto de todos los valores de x tal que la condición dada sobre x es verdadera para todos los valores de x". 

    Los dos puntos se pueden reemplazar por una barra vertical, pero se lee de la misma manera.

    A = { x : condition about x }

    Tanto los dos puntos como la barra vertical significan las mismas palabras "tal que" en la descripción de la notación del generador de conjuntos.

    Considere el siguiente ejemplo para comprender mejor el concepto. La notación del constructor de conjuntos se da como:

    A = {x | x es un número natural, x> 7}

    que se lee como:

    "A es el conjunto que contiene valores de x, por lo que x es un número natural mayor que 7".

    Veamos algunos ejemplos más.

    Notación de intervalos:

    La notación de intervalo es otro método para especificar y describir los conjuntos, incluidos todos los números reales entre un límite inferior que puede o no estar incluido y un límite superior que puede o no estar incluido. 

    Un corchete indica que el límite está incluido en el intervalo y un corchete redondo indica que el límite no está incluido en el intervalo. Esto se indica a continuación:

    Intervalo: (-∞, 10]

    ¿Cómo escribir una notación de intervalo?

    Ahora que hemos discutido la notación de intervalo, veamos cómo escribir un conjunto en la notación de intervalo.

    Siga los pasos que se indican a continuación para escribir la notación de intervalo.

    1. Identifique los intervalos que deben incluirse en el conjunto.
    2. Utilice los corchetes redondos o cuadrados dependiendo de la condición, ya sea que los límites se incluyan o no en cada intervalo.
    3. Usa el símbolo de la unión para combinar todos los intervalos.

    Resolvamos el ejemplo que se da a continuación para una mejor comprensión. 

    ejemplo 5

    Describe el intervalo de valores usando la notación del constructor de conjuntos y la notación de intervalo.

    Solución

    From the above number line, the values of x are described as “ values of x are the real numbers greater than -4 and equal to -2 or real numbers greater than 2 and equal to 8.

    Establecer la notación del constructor:

    The set builder notation is given as 

    A = {x | -4 ≤ x ≤ -2 o 2 <x ≤ 8}

    Notación de intervalos:

    la notación de intervalo se da como 

    A = [-4, -2] U (2, 8]

    Por lo tanto, la notación del constructor de conjuntos es un método para escribir conjuntos a menudo con un número infinito de elementos. Se usa comúnmente con números racionales, números reales, números complejos, números naturales y muchos más. Esta notación también se puede utilizar para expresar conjuntos con intervalos y ecuaciones. 

    Para fortalecer aún más nuestro concepto de la notación del constructor de conjuntos, considere los siguientes problemas de práctica. 

    Problemas de práctica

    1.Escriba la notación del generador de conjuntos de lo siguiente:

    1. {1.1, 2.2, 3.3, 4.4, 5.5}
    2. { a, e, i, o, u }
    3. {2, 4, 6, 8,…}
    4. {1, 3, 5, 7}
    5. {violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja, rojo}

    2. Seleccione la opción correcta.

         a) ¿Cuál de los siguientes conjuntos es igual al conjunto dado a continuación?

          A = {x € r | -7 <x <3}

    1. {-4, -3, -2, -6}
    2. {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
    3. { -7, -5, -3, -1, 1, 2, 3 }

          b)Which of the following accurately explains the meaning of the given set below?

          B = {x | x es un número par}

    1. The set containing all the values of x such that x is an odd number.
    2. El conjunto que contiene todos los valores de x tales que x es un número real.
    3. El conjunto que contiene todos los valores de x tales que x es un número par.

         c) ¿Qué significa esto? en notación de constructor de conjuntos?

    1. Pertenece a
    2. Tal que 
    3. Ninguno de ellos

     3. Escriba lo siguiente en el formulario de lista

    1. B = {x € I |, -3 <x <3)
    2. D = {x € R | -4 <x <5}
    3. O = {{x: x € W, x ≤ 5}

    4. ¿Son iguales los siguientes pares de conjuntos?

    1. A = {2} B = {x: x ∈ N, x es un número primo par}.
    2. P = {1, 4, 9} Q = {x: x = n2, n ∈ N, n ≤ 3)

    5. Grafique el intervalo y luego exprese usando la notación del generador de conjuntos.

                 Interval: (∞ ,  9]

    respuestas

    1.

    1. {x € R | 1 <x <6}
    2. {x | x es una vocal en el alfabeto inglés}
    3. { x | x is an even number }
    4. {x € O | 1 ≤ x ≤ 7}
    5. {x | x es el color del arco iris}

    2. 

    1. (2)
    2. (3)
    3. (2)

     3.

    1. {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
    2. {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}
    3. {0, 1, 2, 3, 4, 5}

    4.

    1. sí.
    2. sí.

    5.

     Por lo tanto, la notación del constructor de conjuntos se da como 

     A = {x | x ≤ 9}

    El conjunto contiene todos los números iguales o menores que 9.



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