PITAGORAS DE SAMOS
Biografía - ¿Quién era Pitágoras?
A veces se afirma que debemos matemáticas puras a Pitágoras, y a menudo es llamado el primer matemático "verdadero". Pero, aunque su contribución fue claramente importante, sigue siendo una figura controvertida.
Él mismo no dejó escritos matemáticos, y mucho de lo que sabemos sobre el pensamiento pitagórico nos viene de los escritos de Philolaus y otros eruditos pitagóricos posteriores. De hecho, no está claro si muchos (o incluso alguno) de los teoremas que se le atribuyen fueron resueltos de hecho por Pitágoras personalmente o por sus seguidores.
La escuela que estableció en Croton en el sur de Italia alrededor del 530 a. C. fue el núcleo de una secta pitagórica bastante extraña. Aunque el pensamiento pitagórico estaba dominado en gran parte por las matemáticas, también era profundamente místico, y Pitágoras impuso sus filosofías cuasirreligiosas, el vegetarianismo estricto, la vida comunitaria, los ritos secretos y las reglas extrañas a todos los miembros de su escuela (incluidos edictos extraños y aparentemente aleatorios sobre nunca orinar hacia el sol, nunca casarse con una mujer que usa joyas de oro, nunca pasar un culo tirado en la calle, nunca comer ni tocar habas negras, etc.).
Los miembros se dividieron en "Mathikoi"(O"Estudiantes“), Quien extendió y desarrolló el trabajo más matemático y científico que inició el propio Pitágoras, y el“acústico"(O"oyentes“), Quien se centró en los aspectos más religiosos y ritualistas de sus enseñanzas. Siempre hubo una cierta cantidad de fricción entre los dos grupos y, finalmente, la secta se vio envuelta en una feroz lucha local y finalmente se dispersó. El resentimiento se acumuló contra el secreto y la exclusividad de los pitagóricos y, en 460 a. C., todos sus lugares de reunión fueron quemados y destruidos, con al menos 50 miembros muertos solo en Croton.
La máxima de la escuela de Pitágoras era "Todo es numero"O"Dios es numero”, Y los pitagóricos practicaban efectivamente una especie de numerología o adoración de números, y consideraban que cada número tenía su propio carácter y significado. Por ejemplo, el número uno fue el generador de todos los números; dos opinión representada; tres, armonía; cuatro, justicia; cinco, matrimonio; seis, creación; siete, los siete planetas o "estrellas errantes”; Se pensaba que los números impares eran femeninos y los números pares masculinos.
El número más sagrado de todos fue "Tetractys”O diez, un número triangular compuesto por la suma de uno, dos, tres y cuatro. Es un gran tributo a los logros intelectuales de los pitagóricos que dedujeron el lugar especial del número 10 de un argumento matemático abstracto en lugar de algo tan mundano como contar los dedos de las dos manos.
Sin embargo, Pitágoras y su escuela, así como un puñado de otros matemáticos de la antigua Grecia, fueron en gran parte responsables de introducir unas matemáticas más rigurosas que las anteriores, construidas a partir de los primeros principios utilizando axiomas y lógica. Antes de Pitágoras, por ejemplo, la geometría había sido simplemente una colección de reglas derivadas por medición empírica.
Pitágoras descubrió que un sistema completo de matemáticas se podía construir, donde los elementos geométricos se correspondían con los números, y donde los enteros y sus proporciones eran todo lo que se necesitaba para establecer todo un sistema de lógica y verdad.
El teorema de Pitágoras
Se le recuerda principalmente por lo que se conoce como Teorema de Pitágoras (o el Teorema de Pitágoras): que, para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado más largo, opuesto al ángulo recto) es igual a la suma del cuadrado de los otros dos lados (o "catetos").
Escrito como una ecuación: a2 + b2 = c2.
Lo que Pitágoras y sus seguidores no se dieron cuenta es que esto también funciona para cualquier forma: así, el área de un pentágono en la hipotenusa es igual a la suma de los pentágonos en los otros dos lados, como lo hace para un semicírculo o cualquier otra forma regular (o incluso irregular (.
El ejemplo más simple y más comúnmente citado de un triángulo pitagórico es uno con lados de 3, 4 y 5 unidades (32 + 42 = 52, como se puede ver dibujando una cuadrícula de cuadrados unitarios en cada lado como en el diagrama de la derecha) , pero hay un número potencialmente infinito de otros enteros "triples pitagóricos", comenzando con (5, 12 13), (6, 8, 10), (7, 24, 25), (8, 15, 17), ( 9, 40, 41), etc. Cabe señalar, sin embargo, que (6, 8, 10) no es lo que se conoce como un triple pitagórico “primitivo”, porque es solo un múltiplo de (3, 4, 5) .
El Teorema de Pitágoras y las propiedades de los triángulos rectángulos parece ser el desarrollo matemático más antiguo y extendido después de la aritmética y la geometría básicas, y fue mencionado en algunos de los textos matemáticos más antiguos de Babilonia y Egipto, que datan de más de mil años antes. Una de las pruebas más simples proviene de la antigua China y probablemente data de mucho antes del nacimiento de Pitágoras. Sin embargo, fue Pitágoras quien dio al teorema su forma definitiva, aunque no está claro si el propio Pitágoras lo demostró definitivamente o simplemente lo describió. De cualquier manera, se ha convertido en uno de los teoremas matemáticos más conocidos, y ahora existen hasta 400 pruebas diferentes, algunas geométricas, otras algebraicas, algunas que involucran ecuaciones diferenciales avanzadas, etc.
Sin embargo, pronto se hizo evidente que las soluciones no enteras también eran posibles, de modo que un triángulo isósceles con lados 1, 1 y √2, por ejemplo, también tiene un ángulo recto, como los babilonios habían descubierto siglos antes. Sin embargo, cuando el alumno de Pitágoras, Hippasus, trató de calcular el valor de √2, descubrió que no era posible expresarlo como una fracción, lo que indica la existencia potencial de un mundo completamente nuevo de números, los números irracionales (números que no pueden expresarse como fracciones simples de números enteros). Este descubrimiento rompió bastante el elegante mundo matemático construido por Pitágoras y sus seguidores, y la existencia de un número que no podía expresarse como la proporción de dos de las creaciones de Dios (que es como pensaban de los números enteros) puso en peligro la creencia total del culto. sistema.
El pobre Hippasus aparentemente fue ahogado por los sigilosos pitagóricos por difundir este importante descubrimiento al mundo exterior. Pero el reemplazo de la idea de la divinidad de los enteros por el concepto más rico del continuo fue un desarrollo esencial en matemáticas. Marcó el verdadero nacimiento de la geometría griega, que se ocupa de líneas, planos y ángulos, todos los cuales son continuos y no discretos.
Entre sus otros logros en geometría, Pitágoras (o al menos sus seguidores, los pitagóricos) también se dio cuenta de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos (180 °), y probablemente también la generalización que establece que la suma de los ángulos interiores de un polígono con n lados es igual a (2n - 4) ángulos rectos, y que la suma de sus ángulos exteriores es igual a 4 ángulos rectos. Pudieron construir figuras de un área determinada y usar álgebra geométrica simple, por ejemplo, para resolver ecuaciones como a (a - x) = x2 por medios geométricos.
Los pitagóricos también establecieron las bases de la teoría de números, con sus investigaciones de números triangulares, cuadrados y también perfectos (números que son la suma de sus divisores). Descubrieron varias propiedades nuevas de los números cuadrados, como que el cuadrado de un número n es igual a la suma de los primeros n números impares (por ejemplo, 42 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7). También descubrieron al menos el primer par de números amistosos, 220 y 284 (los números amistosos son pares de números para los cuales la suma de los divisores de un número es igual al otro número, por ejemplo, los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, de los cuales la suma es 284; y los divisores propios de 284 son 1, 2, 4, 71 y 142, de los cuales la suma es 220).
Teoría musical
A Pitágoras también se le atribuye el descubrimiento de que los intervalos entre notas musicales armoniosas siempre tienen proporciones de números enteros. Por ejemplo, tocar la mitad de una cuerda de guitarra da la misma nota que la cuerda al aire, pero una octava más alta; un tercio de longitud da una nota diferente pero armoniosa; etc.
Las proporciones de números no enteros, por otro lado, tienden a dar sonidos disonantes. De esta manera, Pitágoras describió los primeros cuatro armónicos que crean los intervalos comunes que se han convertido en los componentes básicos de la armonía musical: la octava (1: 1), la quinta perfecta (3: 2), la cuarta perfecta (4: 3). ) y la tercera mayor (5: 4). La forma más antigua de afinar la escala cromática de 12 notas se conoce como afinación pitagórica, y se basa en una pila de quintas perfectas, cada una afinada en una proporción de 3: 2.
El místico Pitágoras estaba tan emocionado con este descubrimiento que se convenció de que todo el universo estaba basado en números, y que los planetas y las estrellas se movían según ecuaciones matemáticas, que correspondían a notas musicales, y así producía una especie de sinfonía, la “ Musical Universalis ”o“ Música de las esferas ”.
