Planos paralelos: explicación y ejemplos

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Joel Fulleda
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Planos paralelos: explicación y ejemplos

¿Quieres saber más sobre planos paralelos? Este artículo es una gran fuente de información sobre planos paralelos, sus propiedades y su aplicación. Comencemos recordando qué son los planos paralelos:

                                        Los planos paralelos son planos que nunca se cruzan.

¿Necesitas un repaso? Puede consultar los siguientes enlaces:


  • Aprenda sobre planos y polígonos.
  • Aprenda sobre líneas paralelas.

Estos conceptos se ampliaron a planos paralelos. En las siguientes secciones, aprenderemos cómo:


  • definir líneas paralelas
  • encontrar planos paralelos de una figura
  • verificar si dos planos (de ecuaciones) son paralelos

 

¿Qué son los planos paralelos?

Como se mencionó en la primera sección, cuando dos planos se encuentran en la misma dirección pero no se encuentran, los llamamos planos paralelos.


La figura de arriba muestra un ejemplo de dos planos paralelos. Observa como los dos se extiende en la misma dirección, pero estos planos nunca se encontrarán.

¿Cómo llamamos a los planos que se cruzan? Sí, lo adivinaste bien. Los planos que no son paralelos y se cruzan a lo largo de una línea se llaman planos que se cruzan.


¿Cuáles son algunos ejemplos del mundo real de planos paralelos?

  • Los techos y pisos de nuestras casas son excelentes ejemplos de planos paralelos. Se extienden junto con el mismo espacio (nuestro hogar), pero estos dos planos nunca se encontrarán.
  • Los escalones de nuestras escaleras también son ejemplos de planos paralelos. Cada paso se extiende en la misma dirección que el otro, pero estos pasos nunca se cruzarán.
  • Dos estanterías enfrentadas son otro gran ejemplo de planos paralelos.

Ahora hemos aprendido sobre planos paralelos, por lo que es hora de que practiquemos la búsqueda de planos paralelos en figuras tridimensionales.

¿Cómo determinar si los planos son paralelos?

Para identificar planos paralelos, tenemos que asegurarnos de que los planos que estamos comparando sean acostado junto con el mismo espacio. Busque un plano de referencia y encuentre un segundo plano que sea frente a él.


El prisma rectangular que se muestra arriba contiene múltiples pares de planos paralelos. Para encontrar un par, podemos comenzar con Plane $ boldsymbol {ABCD} $. Encuentre la superficie que se encuentra en la misma dirección, pero opuesta a ella, y será el plano $ boldsymbol {HEFG} $.


Dado que ambos planos están dentro del mismo prisma, podemos decir que los dos son paralelos entre sí o Plano $ boldsymbol {ABCD ||} $ Plano $ boldsymbol {HEFG} $.

¿Cómo comprobar si las ecuaciones de dos planos son paralelas?

  • En geometría de coordenadas, cuando las gráficas de ecuaciones de la forma $ A_x + B_y + C_z = D $ son paralelas, el el producto escalar de dos ecuaciones es cero.
  • Dadas dos ecuaciones, $ A_1x + B_1y + C_1z = D_1 $ y $ A_2x + B_2y + C_2z = D_2 $, los dos planos son paralelos cuando el las proporciones de cada par de coeficientes son iguales.

$ dfrac{A_1}{A_2}=dfrac{B_1}{B_2}=dfrac{C_1}{C_2}$

Incluso podemos determinar las distancias entre dos planos paralelos, pero aprenderemos más sobre esto cuando estudiemos vectores y geometría de coordenadas superiores.

Por ahora, centrémonos en las definiciones fundamentales de los planos paralelos y practiquemos la identificación de planos paralelos en figuras tridimensionales.

Resumen de la definición y propiedades de planos paralelos

Antes de comenzar a verificar nuestro nuevo conocimiento en planos paralelos, asegurémonos de resumir todo lo que sabemos hasta ahora:

  • Los planos paralelos se encuentran junto con el mismo espacio.
  • Estos aviones nunca podrán encontrarse.
  • Podemos aplicar la propiedad transitiva a planos paralelos.
  • Las ecuaciones que representan planos son paralelas cuando las razones de los coeficientes de sus términos son iguales.

ejemplo 1

¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es cierta sobre los planos paralelos?



  1. Comparten el mismo espacio.
  2. Se encuentran en la misma dirección.
  3. Su intersección es una línea.
  4. Nunca se encontrarán.

Solución

Regrese a la definición de planos paralelos: comparten el mismo espacio y nunca se encontrarán. Los planos que se encuentran se denominan planos que se cruzan. Cuando lo hacen, se cruzan a través de una línea. Esto significa que los planos paralelos nunca se cruzarán en una línea.

ejemplo 2

¿Cuáles de los siguientes son ejemplos de planos paralelos?

  1. La cubierta de un bloc de notas y su página.
  2. Las superficies de una carpa triangular.
  3. El techo y el suelo de una biblioteca.
  4. La esquina de una habitación.

Solución

Analicemos cada ejemplo mostrado y veamos si satisfacen las condiciones de los planos paralelos:

  • La cubierta y las páginas del bloc de notas comparten un lado común y están pegadas o engrapadas allí, por lo que se pegan entre sí. Esto significa que no son planos paralelos.
  • Una carpa triangular no tendrá superficies que se encuentren en la misma dirección, y cada par de planos compartirá un lado común.
  • Las esquinas de una habitación comparten un lado común, por lo que no representan planos paralelos.

Sin embargo, el techo y el piso de la biblioteca están en la misma dirección y espacio, pero nunca se encontrarán. Esto significa que el la tercera opción es la respuesta correcta.

 

ejemplo 3

Tome un fragmento o una captura de pantalla del problema y construya un segundo plano para que ahora tenga un par de planos paralelos.

Solución

Dado que los planos paralelos se extienden a lo largo de la misma dirección, dibuja un plano por encima o por debajo del dado. Asegúrese de que los dos planos nunca se encuentren para que satisfagan las condiciones de los planos paralelos.

La figura que se muestra arriba es un ejemplo. El tuyo puede parecer diferente, pero siempre que cumplan con las condiciones, son respuestas válidas.

ejemplo 4

Enumere tres pares de planos paralelos que puede encontrar en la figura que se muestra a continuación.

Solución

Los prismas rectangulares tienen seis superficies, por lo que tiene sentido que tenga tres pares de planos paralelos.

Comencemos con Plane $ boldsymbol {ABCD} $, la superficie opuesta es Plane $ boldsymbol {HEFG} $. Esto significa que estos dos planos son paralelos. Podemos hacer lo mismo con los dos pares restantes.

El plano $ boldsymbol {HABG} $ y el plano $ boldsymbol {ECDF} $ están uno frente al otro. El tercer par, Plane $ boldsymbol {ACEH} $ y Plane $ boldsymbol {BDFG} $  también están enfrentados entre sí. Por tanto, tenemos los siguientes pares de planos paralelos:

  • $ Símbolo en negrita del plano {ABCD ||} Símbolo en negrita del plano {HEFG} $
  • $ Plano negrita símbolo {HABG || } Símbolo en negrita del plano {ECDF} $
  • $ {Plano en negrita ACEH || } Símbolo en negrita del plano {BDFG} $

ejemplo 5

¿Cuáles de los siguientes pares de planos son paralelos entre sí?

  1. $ boldsymbol {PQWV} $ y $ boldsymbol {PQRS} $
  2. $ boldsymbol {VWUT} $ y $ boldsymbol {RSUT} $
  3. $ boldsymbol {VWUT} $ y $ boldsymbol {PQRS} $
  4. $ boldsymbol {PVTR} $ y $ boldsymbol {RSUT} $

Solución

Recuerde que los planos paralelos no se cruzan y comparten el mismo lado. Observe los tres pares: $ boldsymbol {PQWV} $ y $ boldsymbol {PQRS} $, $ boldsymbol {VWUT} $ y $ boldsymbol {RSUT} $, así como $ boldsymbol {PVTR} $ y $ boldsymbol {RSUT} $.

  • $ boldsymbol {PQWV} $ y $ boldsymbol {PQRS} $ se cruzan en su lado común, $ boldsymbol {PQ} $.
  • $ boldsymbol {VWUT} $ y $ boldsymbol {RSUT} $ se cruzan en su lado común, $ boldsymbol {UT} $.
  • $ boldsymbol {PVTR} $ y $ boldsymbol {RSUT} $ se cruzan en su lado común, $ boldsymbol {RT} $

Esto significa que el único par posible de líneas paralelas son $ boldsymbol {VWUT} $ y $ boldsymbol {PQRS} $. También podemos ver que las dos caras están opuestas, confirmando que son la opción correcta.

ejemplo 6

¿La siguiente figura contiene planos paralelos?

Nombra un par y describe su forma.

Solución

Las bases se encuentran en la misma dirección y nunca se encontrarán. Tampoco comparten un lado común. Esto significa que el La figura contiene un par de planos paralelos..

Aviones AGFJI y BHEDC cada uno contiene cinco lados. Los pentágonos son polígonos que contienen cinco lados, por lo que los planos paralelos son pentágonos paralelos.

ejemplo 7

Determina si los planos $ 4x - 5y + 2z = 5 $ y $ 8x -10y + 4z = 12 $ son paralelos.

Solución

Recuerde que dos planos son paralelos cuando las razones de sus coeficientes comparten la relación que se muestra a continuación.

$dfrac{A_1}{A_2}=dfrac{B_1}{B_2}=dfrac{C_1}{C_2}$

Sustituya los coeficientes y encuentre sus respectivas razones:

  • $ A_1 = 4 $, $ A_2 = 8 $, $ dfrac {A_1} {A_2} = 2 $
  • $ B_1 = -5 $, $ B_2 = 10 $, $ dfrac {B_1} {B_2} = 2 $
  • $ C_1 = 2 $, $ C_2 = 4 $, $ dfrac {C_1} {C_2} = 2 $

Podemos ver que las razones son iguales, por lo que los dos planos son paralelos.

ejemplo 8

¿Cuál debe ser el valor de $ a $ para que los planos que se muestran a continuación sean paralelos?

$ 3x - 4y + z = 4 $

$6x – (a + 2) y + 2z = 9$

Solución

Recuerde que dos planos son paralelos cuando las razones de sus coeficientes comparten la relación que se muestra a continuación.

$dfrac{A_1}{A_2}=dfrac{B_1}{B_2}=dfrac{C_1}{C_2}$

Sustituya los coeficientes y encuentre sus respectivas razones:

  • $ A_1 = 3 $, $ A_2 = 6 $, $ dfrac {A_1} {A_2} = dfrac {1} {2} $
  • $ B_1 = 4 $, $ B_2 = a + 2 $, $ dfrac {B_1} {B_2} = dfrac {4} {a + 2} $
  • $ C_1 = 1 $, $ C_2 = 2 $, $ dfrac {C_1} {C_2} = dfrac {1} {2} $

Para que los planos sean paralelos, las tres relaciones deben ser iguales. Esto significa que $ dfrac {4} {a + 2} $ debe ser igual a $ dfrac {1} {2} $. Iguale los dos y resuelva para $ a $.

$ dfrac {4} {a + 2} = dfrac {1} {2} $

Multiplica y simplifica las expresiones en ambos lados de la ecuación.

$ inicio {alineado} 4 (2) & = 1 (a + 2) 8 & = a + 2 a & = 8 - 2 a & = 6end {alineado} $

Esto significa que $ a $ debe ser $ 6 $ para que los dos planos sean paralelos.

 

Preguntas de práctica

1. ¿Verdadero o falso? Los planos paralelos pueden cruzarse entre sí.

2. ¿Cuáles de los siguientes son ejemplos de planos paralelos?

una. Las esquinas de una mesa de billar.

B. El primer y segundo nivel de una torre de gatos.

C. Las superficies frontal y posterior de una billetera.

D. La portada y la página de un libro de tapa dura.

3. Enumere tres pares de planos paralelos que puede encontrar en la figura que se muestra a continuación.

4. Tome un fragmento o una captura de pantalla del problema y construya un segundo plano para que ahora tenga un par de planos paralelos.

5. ¿Cuáles de los siguientes pares de planos son paralelos entre sí?

una. $ boldsymbol {CDGH} $ y $ boldsymbol {EGHF} $

B. $ boldsymbol {ABCD} $ y $ boldsymbol {EFGH} $

c. $ boldsymbol {AEGC} $ y $ boldsymbol {PQRS} $

D. $ boldsymbol {PVTR} $ y $ boldsymbol {RSUT} $

6. ¿La siguiente figura contiene planos paralelos? Nombra un par y describe su forma.

7. Determina si los planos $ 8x - 7y + 4z = 12 $ y $ 32x -28y + 16z = 56 $ son paralelos.

8. ¿Cuál debe ser el valor de $ n $ para que los planos que se muestran a continuación sean paralelos?

$ 48x - 24 años + 30z = $ 90

$8x – (5n + 4) y + 5z = 12$



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