Probabilidad de dados: explicación y ejemplos

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Martí Micolau
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Probabilidad de dados: explicación y ejemplos

Los orígenes de la teoría de la probabilidad están estrechamente relacionados con el análisis de los juegos de azar. Los fundamentos de la teoría de la probabilidad moderna se remontan a la correspondencia de Blaise Pascal y Pierre de Fermat sobre la comprensión de ciertas probabilidades asociadas con las tiradas de dados. No es de extrañar entonces que las probabilidades de los dados jueguen un papel importante en la comprensión de la teoría de la probabilidad.


Las probabilidades de los dados se refieren al cálculo de las probabilidades de eventos relacionados con una o varias tiradas de un dado justo (en su mayoría con seis lados). En un dado justo, es igualmente probable que cada lado aparezca en cualquier tirada.


Para comprender mejor las probabilidades de los dados que se analizan en este artículo, podría ser una buena idea actualizar los siguientes temas:

  1. Teoría básica de conjuntos.
  2. Teoría básica de la probabilidad.
  3. Diagramas de árbol.

Después de leer este artículo, debe comprender los siguientes conceptos:

  1. ¿Qué son las probabilidades de los dados?
  2. Cómo calcular las probabilidades de los dados de tiradas únicas / múltiples utilizando el método del espacio muestral.
  3. Cómo calcular las probabilidades de los dados de tiradas múltiples utilizando el concepto de eventos independientes.
  4. Cómo calcular las probabilidades de los dados de tiradas múltiples utilizando diagramas de árbol.

Cómo calcular la probabilidad de los dados:

Para calcular las probabilidades de los dados, ya sea una o varias tiradas, primero debemos entender cómo crear espacios muestrales.

Espacio muestral:

Un espacio muestral es la recopilación de todos los resultados posibles. Por ejemplo, cuando lanzamos un dado justo de seis caras, hay seis resultados posibles, por lo que el espacio muestral se da como $ text {S} = {1,2,3,4,5,6} $. Si cada resultado en el espacio muestral es igualmente probable, entonces la probabilidad de un único resultado se da como



$ text {Probabilidad de un resultado} = frac {1} {text {Número total de resultados en el espacio muestral}} $

Entonces, si lanzamos un dado, la probabilidad de obtener cualquier número entre $ 1 $ y $ 6 $ es igual a $ frac {1} {6} $.

Cualquier subconjunto del espacio muestral se denomina evento. Por ejemplo, consideremos $ E = {2,4,6} $, que es un subconjunto del espacio muestral $ S $ y contiene solo números pares. Podemos calcular la probabilidad de un evento como

$ P (E) = frac {texto {número de elementos en E}} {texto {Total de elementos en S}} $

Entonces, la probabilidad de obtener un número par cuando lanzamos un dado justo se da como

$ P (texto {obteniendo un número par}) = P (E) = frac {3} {6} = frac {1} {2} $.

De manera similar, calculamos la probabilidad de cualquier evento (es decir, un subconjunto de $ S $), como se muestra en los ejemplos a continuación:

Ejemplo1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número> $ 4 $, cuando se lanza un dado de seis caras?

Solución:

Podemos escribir el espacio muestral como $ text {S} = {1,2,3,4,5,6} $. Sea $ E $ el evento de que el número sea mayor que $ 4 $, entonces $ E = {5,6} $. Por eso,

$ P (textrm {Número}> 4) = P (E) = frac {textrm {Número de elementos en E}} {textrm {Número de elementos en S}} = frac {2} {6} = frac {1} {3} $.


ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo cuando se lanza un dado de seis caras?

Solución:

Podemos escribir el espacio muestral como $ text {S} = {1,2,3,4,5,6} $. Sea $ E $ el evento de que el número sea primo, luego $ E = {1,3,5} $. Por eso,

$ P (textrm {PrimeNumber}) = P (E) = frac {textrm {Número de elementos en E}} {textrm {Número de elementos en S}} = frac {3} {6} = frac {1} {2 PS

ejemplo 3:

Tira un solo dado. Encuentre la probabilidad de obtener un número par o un número menor que $ 5 $.


Solución:

Sea $ E1 = {2,4,6} $ el evento de obtener un número par. Sea $ E2 = {1,2,3,4} $ el evento de que el número sea menor que 5. Estamos interesados ​​en el evento $ E1; textrm {OR}; E2 $, recuerde de la teoría de conjuntos que $ E1; textrm {OR}; E2 = E1 taza E2 = {1,2,3,4,6} $. Observamos que $ E1cup E2 $ contiene elementos de $ 5 $, por lo que

$ P (E1 taza E2) = frac56 $.

Fórmula de probabilidad de dados:

En todos los experimentos relacionados con las probabilidades de los dados, siempre podemos hacer un espacio muestral $ S $ y encontrar la probabilidad de cualquier evento usando la fórmula

$ P (textrm {Cualquier evento E relacionado con tiradas de dados individuales / múltiples}) = frac {textrm {Número de elementos en E}} {textrm {Número de elementos en S}} $.


Por supuesto, cuando se consideran más de 2 tiradas de dados, hacer un espacio muestral es engorroso y es mejor confiar en diagramas de árbol o en la fórmula para eventos independientes que explicaremos más adelante.

Cómo calcular la probabilidad de múltiples tiradas de dados:

Hemos visto cómo calcular probabilidades cuando se lanza un solo dado. Las cosas se vuelven un poco más interesantes (y un poco complejas también) cuando rodamos dos o más dado. Primero dibujemos el espacio muestral cuando tiramos dos dados juntos (Nota: Obtenemos el mismo espacio muestral si tiramos dos dados juntos o un solo dado dos veces).


Como puede verse en el espacio muestral, hay resultados posibles de $ 36 $ en este caso. Nuevamente, podemos definir un evento tomando un subconjunto de $ S $ y calcular su probabilidad como se muestra en los siguientes ejemplos:

ejemplo 4: Se lanzan dos dados justos de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de sus resultados sea mayor que $ 10 $?

Solución:

De los posibles resultados de $ 36 $ que se muestran en el espacio de muestra anterior, solo hay tres resultados para los cuales la suma es mayor que $ 10 $, es decir, $ E = {(5,6), (6,5), (6,6, XNUMX)} $. Entonces,

$ P (textrm {suma}> 10) = frac {3} {36} = frac {1} {12} $.

ejemplo 5: Se lanzan dos dados justos de seis caras. ¿Cuáles son las probabilidades de obtener un número par y otro impar?

Solución:

Recopilemos todos los resultados que contienen un número par y otro impar del espacio muestral dado anteriormente, es decir, $ E = {(2,1), (4,1), (6,1), (1,2) , (3,2), (5,2), (2,3), (4,3), (6,3), (1,4), (3,4), (5,4), ( 2,5), (4,5), $

$ (6,5), (1,6), (3,6), (5,6)} $. Hay elementos de $ 18 $ en $ E $, por lo que la probabilidad se calcula como

$ P (textrm {Un par y uno impar}) = frac {18} {36} = frac {1} {2} $.

Ejemplo 6: Se lanzan dos dados de seis caras, lo que es más probable que suceda: ¿la suma es igual a $ 10 $ o la suma es igual a $ 11 $?

Solución:

Recopilemos todos los resultados que sumen $ 10 $ y llamémoslos $ E1 $, es decir, $ {(4,6), (5,5), (6,4)} $. Recopilemos todos los resultados que sumen $ 11 $ y llamémoslo $ E2 $, es decir, $ {(5,6), (6,5)} $. Por eso, 

$ P (textrm {La suma es 10}) = frac {3} {36} = frac {1} {12} $.

$ P (textrm {La suma es 11}) = frac {2} {36} = frac {1} {19} $. Entonces,

$ P (textrm {La suma es 10})> P (textrm {La suma es 11}) $.

Entonces, la probabilidad de que la suma sea igual a $ 10 $ es más probable que suceda que una suma igual a $ 11 $.

ejemplo 7: Tiramos dos dados simultáneamente. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos:

  1. Obteniendo un múltiplo de $ 5 $ como suma.
  2. Obtener un múltiplo de $ 2 $ en un dado y un múltiplo de $ 3 $ en el otro dado.

Solución:

1.Recopilemos todos los resultados que se sumen en múltiplos de $ 5 $, del espacio muestral dado anteriormente, es decir, $ E = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1, 4,6), (5,5), (6,4), (XNUMX)} $.

 Hay elementos de $ 7 $ en $ E $, por lo que la probabilidad se calcula como

$ P (E) = frac {textrm {Número de elementos en E}} {textrm {Número de elementos en S}} = frac {7} {36} $.

2.Escribiendo todos los resultados que son un múltiplo de $ 2 $ en un dado y un múltiplo de $ 3 $ en el otro del espacio muestral que se muestra arriba da $ E = {(2, 3), (2, 6), (3 , 2), (3, 4), (3, 6), (4, 3), (4, 6), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 6 PS

 Hay elementos de $ 11 $ en $ E $, por lo que la probabilidad se calcula como

$ P (E) = frac {textrm {Número de elementos en E}} {textrm {Número de elementos en S}} = frac {11} {36} $.

Probabilidad de dados múltiples usando diagramas de árbol:

A veces, el método más simple para calcular la probabilidad de eventos relacionados con múltiples tiradas de dados es usar diagramas de árbol. Damos algunos ejemplos donde la solución usando diagramas de árbol es realmente sencilla; mientras que hubiera sido mucho más engorroso utilizar el método del espacio muestral.

ejemplo 8: Lanzamos un solo dado tres veces. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos usando un diagrama de árbol:

  1. No obtenemos $ 4 $ en los tres intentos.
  2. Obtenemos solo $ 4 $ en tres intentos.

Solución:

F representa los cuatro y F 'no representa un cuatro.

El caso de que no aparezcan cuatro en los tres intentos se resalta en rojo en el diagrama de árbol. Calculamos la probabilidad de la siguiente manera:

$ P (F'F'F ') = frac56 veces frac56 veces frac56 = frac {125} {216} $.

Hay tres ramas en el diagrama de árbol (resaltadas en azul) que corresponden al evento de que solo aparece un cuatro en tres anexos. La probabilidad correspondiente se calcula como

$ P (textrm {Uno cuatro en tres intentos}) = P (FF'F ') + P (F'FF') + P (F'F'F) $

$ qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (frac56 por frac56 por frac16) + (frac56 por frac56 por frac16) + (frac56 por frac56 por frac16) = frac {125} {216} $.

Ejemplo 9: Un solo dado se lanza dos veces. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos usando un diagrama de árbol.

  1. No obtener un número impar.
  2. Obteniendo como máximo un número impar.

Solución:

  1. Podemos ver en el diagrama de árbol que la probabilidad de no obtener un número impar es

$ P (O'O'O ') = frac12 veces frac12 veces frac12 = frac {1} {8} $.

2. $ P (textrm {Obtener como máximo un número impar}) = P (O, O ', O') + P (O ', O, O') + P (O ', O', O) + P (O ', O', O ') $

                                                                         $=frac18+frac18+frac18+frac18=frac12$.

Múltiples dados y eventos independientes:

Se dice que dos eventos son independientes si el resultado de un experimento no afecta las probabilidades del otro evento. Por ejemplo, cuando tiramos un dado dos veces, ambas tiradas son eventos independientes ya que el resultado de la primera tirada no afecta la probabilidad de la segunda tirada y viceversa. Recuerde de la teoría de probabilidad básica que cuando dos eventos, digamos $ E1 $ y $ E2 $, son independientes, la probabilidad de obtener $ E1 $ Y $ E2 $ es 

$ P (textrm {E1 y E2}) = P (E1) multiplicado por P (E2) $.

Podemos usar la fórmula de probabilidades de eventos independientes para calcular probabilidades de múltiples tiradas de dados sin depender del espacio muestral, como mostramos en los siguientes ejemplos:

ejemplo 10: Cuando tiramos dos dados simultáneamente, la probabilidad de que la primera tirada sea de $ 2 $ y la segunda sea de $ 6 $.

Solución:

$ P (textrm {El primer lanzamiento es 2}) = frac {1} {6} $.

$ P (textrm {La segunda tirada es 6}) = frac {1} {6} $.

$ P (textrm {Primera tirada 2 y Segunda tirada 6}) = P (textrm {La primera tirada es 2}) veces P (textrm {La segunda tirada es 6}) = frac {1} {36} $.

ejemplo 11: Se lanzan dos dados justos de seis caras. ¿Cuáles son las probabilidades de obtener un número par y otro impar?

Solución:

Ya hemos resuelto este problema utilizando el método del espacio muestral. Ahora, resolvámoslo usando el fórmula de probabilidad independiente.

Como estamos interesados ​​en uno par y otro impar, hay dos posibilidades cuando se lanzan dos dados,

  • La primera tirada da un número par y la segunda tirada es impar
  • El segundo es par y el primero es impar.

Tenemos que calcular la probabilidad de estos dos eventos y sumarlos para obtener la probabilidad final.

Ya hemos mostrado cómo calcular la probabilidad de obtener un número par en una sola tirada, es decir,

$ P (textrm {El primer número es par}) = frac {3} {6} = frac {1} {2} $.

Dado que de seis posibles resultados de una sola tirada de dados, hay $ 3 $ pares y $ 3 $ impares, por lo que la probabilidad de obtener un número impar es la misma que la de obtener un número par,

$ P (textrm {El segundo número es impar}) = frac {3} {6} = frac {1} {2} $.

Dado que ambos rollos son independientes, entonces

$ P (textrm {Primer par Y Segundo impar}) = P (textrm {Primer par}) multiplicado por P (textrm {Segundo impar}) = frac {1} {4} $.

Usando un método similar, podemos demostrar que

$ P (textrm {primer impar Y segundo par}) = frac {1} {4} $.

Finalmente,

$ P (textrm {Uno par y uno Uno impar}) = P (textrm {1º par Y 2º impar}) + P (textrm {1º impar Y 2º par}) $.

                                                               $ = frac {1} {4} + frac {1} {4} = frac12 $.

ejemplo 12: Se lanzan tres dados justos de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los resultados sea un número par?

Solución:

Sabemos por la probabilidad básica que $ P (textrm {La primera tirada NO es par}) = 1 - P (textrm {La primera tirada es par}) $, entonces

$ P (textrm {El primer lanzamiento NO es par} = P (E1) = 1 - frac {1} {2} = frac12 $.

De manera similar, los

$ P (textrm {La segunda tirada NO es par}) = P (E2) = frac12 $.

$ P (textrm {El tercer lanzamiento NO es par}) = P (E3) = frac12 $.

$ P (textrm {Ningún rollo es par}) = P (textrm {E1 Y E2 Y E3}) = frac12 por frac12 por frac12 = frac18 $.

ejemplo 13: Se lanzan cuatro dados justos de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un número par?

Solución:

Primero calculemos la probabilidad del evento $ E2 = {textrm {No hay número par en cuatro rollos}} $. Del ejemplo anterior, observamos que

$ P (E) = izquierda (frac {1} {2} derecha) ^ 4 = frac {1} {16} $.

Sea $ E2 = {textrm {Al menos uno par en cuatro rollos}} $. Tenga en cuenta que $ E2 $ = No $ E1 $, por lo tanto,

$ P (E2) = 1 - P (E1) = 1 - frac {1} {16} = frac {15} {16} $.

Preguntas de práctica:

  1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número de al menos 5 o más cuando se lanza un dado de seis caras?
  2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 1 o 5 cuando se lanza un dado de seis caras?
  3. Tiramos dos dados simultáneamente, cuál es la probabilidad de los siguientes eventos:

a) obteniendo suma divisible por 6.

b) obteniendo un total de al menos 9.

c) obteniendo una suma ≤ 4.

d) obtener un doblete de números impares.

4. Lanzamos un solo dado tres veces. Encuentre la probabilidad de los siguientes eventos usando un diagrama de árbol:

a) obtener un número par en los tres intentos.

b) obtener al menos dos números pares en tres intentos.

Clave de respuestas:

1) $ frac {1} {3} $.

2) $ frac {1} {3} $.

3) a. $ Frac {1} {6} $.

    b. $ frac {5} {18} $.

    c. $ frac {1} {6} $.

    d. $ frac {1} {12} $.

4) 'E' representa números pares y E 'no representa un número par.

a). $ frac18 $.

b). $ frac38 $



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