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    Propiedades del logaritmo: explicación y ejemplos

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    Joel Fulleda
    @joelfulleda

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    Propiedades del logaritmo: explicación y ejemplos

    Antes de entrar en las propiedades de los logaritmos, analicemos brevemente las relación entre logaritmos y exponentes. El logaritmo de un número se define como t la potencia o índice al que se debe elevar una base determinada para obtener el número.


    Dado eso, ax = M; donde a y M es mayor que cero y a ≠ 1, entonces, podemos representar esto simbólicamente en forma logarítmica como;


    log a M = x

    Ejemplos:

    • 2-3 = 1/8 ⇔ log 2 (1/8) = -3
    • 10-2 = 0.01 ⇔ log 1001 = -2
    • 26 = 64 ⇔ log 2 64 = 6
    • 32 = 9 ⇔ log 3 9 = 2
    • 54 = 625 ⇔ log 5 625 = 4
    • 70 = 1 ⇔ log 7 1 = 0
    • 3-4 = 1/34 = 1/81 ⇔ log 3 1/81 = -4
    • 10-2 = 1/100 = 0.01 ⇔ log 1001 = -2

    Propiedades logarítmicas

    Las propiedades y reglas de los logaritmos son útiles porque nos permiten expandir, condensar o resolver ecuaciones logarítmicas. Es por estas razones.

    En la mayoría de los casos, se le pide que memorice las reglas al resolver problemas logarítmicos, pero ¿cómo se derivan estas reglas?


    En este artículo, veremos las propiedades y reglas de los logaritmos derivados usando las leyes de los exponentes.

    • Propiedad del producto de los logaritmos

    La regla del producto establece que la multiplicación de dos o más logaritmos con bases comunes es igual a sumar los logaritmos individuales, es decir

    log a (MN) = log a M + log a N

    Prueba

    • Sea x = log aM e y = log a
    • Convierte cada una de estas ecuaciones a la forma exponencial.

    ⇒ ax = M


    ⇒ a y = N

    • Multiplica los términos exponenciales (M & N):

    ax * ay = MN

    • Como la base es común, suma los exponentes:

    ax + y = MN

    • Tomando leño con base 'a' en ambos lados.

    log a (ax + y) = log a (MN)

    • Aplicando la regla de potencia de un logaritmo.

    log a Mn ⇒ n log a M

    (x + y) log aa = log a (MN)

    (x + y) = log a (MN)

    • Ahora, sustituya los valores de xey en la ecuación que obtuvimos arriba.

    log a M + log a N = log a (MN)

    Por lo tanto, probado

    log a (MN) = log a M + log a N

    Ejemplos:

    1. log50 + log 2 = log100 = 2
    2. log 2 (4 x 8) = log 2 (22 x 23) = 5
    • Propiedad del cociente de los logaritmos

    Esta regla establece que la razón de dos logaritmos con las mismas bases es igual a la diferencia de los logaritmos, es decir


    log a (M / N) = log a M - log a N

    Prueba

    • Sea x = log aM e y = log a
    • Convierta cada una de estas ecuaciones a la forma exponencial.

    ⇒ ax = M

    ⇒ a y = N

    • Divida los términos exponenciales (M & N):

    ax / ay = M / N

    • Como la base es común, reste los exponentes:

    ax - y = M / N


    • Tomando leño con base 'a' en ambos lados.

    log a (ax - y) = log a (M / N)

    • Aplicando la regla de potencia del logaritmo en ambos lados.

    log a Mn ⇒ n log a M

    (x - y) log aa = log a (M / N)

    (x - y) = log a (M / N)

    • Ahora, sustituya los valores de xey en la ecuación que obtuvimos arriba.

    log a M - log a N = log a (M / N)

    Por lo tanto, probado

    log a (M / N) = log a M - log a N

    • Propiedad de potencia de los logaritmos

    De acuerdo con la propiedad de potencia del logaritmo, el logaritmo de un número 'M' con exponente 'n' es igual al producto del exponente con un logaritmo de un número (sin exponente) es decir


    log a M n = n log a M

    Prueba

    • Dejar,

    x = log a M

    • Reescribe como una ecuación exponencial.

    ax = M

    • Toma potencia 'n' en ambos lados de la ecuación.

    (eje) n = M n

    ⇒ a xn = M n

    • Toma logaritmo en ambos lados de la ecuación con la base a.

    log aa xn = log a M n

    • log aa xn = log a M n ⇒ xn log aa = log a M n ⇒ xn = log a M n
    • Ahora, sustituya los valores de xey en la ecuación que obtuvimos arriba y simplifique.

    Sabemos,


    x = log a M

    ¿Entonces

    xn = log a M n ⇒ n log a M = log a M n

    Por lo tanto, probado

    log a M n = n log a M

    Ejemplos:

    log1003 = 3 log100 = 3 x 2 = 6

    Cambio de propiedad base de logaritmos

    De acuerdo con el cambio de la propiedad base del logaritmo, podemos reescribir un logaritmo dado como la razón de dos logaritmos con cualquier base nueva. Se da como:

    log a M = log b M / log b N

    or

    log a M = log b M × log N b

    Su demostración se puede hacer usando la propiedad uno a uno y la regla de potencia para logaritmos.

    Prueba

    • Exprese cada logaritmo en forma exponencial dejando;

    Dejar,

    x = log N M

    • Conviértelo a forma exponencial,

    M = N x

    • Aplicar una a una propiedad.

    log b N x = log b M

    • Aplicando la regla del poder.

    x log b N = log b M

    • Aislando x.

    x = log b M / log b N

    • Sustituyendo el valor de x.

    log a M = log b M / log b N

    o podemos escribirlo como,

    log a M = log b M × log a b

    Por lo tanto, probado.

    Otras propiedades de los logaritmos incluyen:

    • El logaritmo de 1 en cualquier base finita distinta de cero es cero.

    Prueba:

    log a 1 = 0⟹ a 0 = 1

    • El logaritmo de cualquier número positivo en la misma base es igual a 1.

    Prueba:

    log aa = 1 ⟹ a1 = a

    Ejemplo:

    log 5 15 = log 15 / log 5

    Preguntas de práctica

    1. Expresa los siguientes logaritmos como una sola expresión

    una. log 5 (x + 2) + log 5 (x - 2)

    B. 2log x - log (x -1)

    c. 3log 2 (x) + log 2 (y - 2) - 2logs a (z)

    D. 4 log b (x + 2) - 3log b (x - 5)

    e. 2log a (y) + 0.5log a (x + 4)

    F. 2ln 8 + 5ln x

    2. Expande los siguientes logaritmos

    una. log 2 (4xy5)

    b. log (xy / z)

    C. log 5 (ab) 1/2

    D. registro 4 (2x) 2

    mi. log 6 (ab) 4

    3. Resuelva x en log (x - 2) - log (2x - 3) = log 2

    4. Escribe el logaritmo equivalente de log 2 x8.

    5. Resuelve para x en cada una de las siguientes ecuaciones logarítmicas

    una. log 2x = 3

    B. log x8 = 3

    C. log 3x = 1

    D. log3 [1 / (x + 1)] = 2

    e. log4 [(x + 1) / (2x - 1)] = 0

    F. log (1 / x + 1) = 2

    gramo. log x0.0001 = 4

    6. Simplifique el registro todos los días

    7. Escribe log b (2x + 1) = 3 en forma exponencial.

    8. Resuelve los siguientes logaritmos sin calculadora:

    una. registro 9 3

    B. registro 10000

    C. en e7

    D. En 1

    mi. En e-3



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