Las ideas detrás de las propiedades básicas de los números reales son bastante simples. Incluso puede pensar en ello como matemáticas de “sentido común” porque en realidad no se requiere un análisis complejo. Hay cuatro (4) propiedades básicas de los números reales: a saber; conmutativo de asociación, distributivo y identidad. Estas propiedades SOLO se aplican a las operaciones de suma y multiplicación. Eso significa que la resta y la división no tienen estas propiedades integradas.
Propiedad conmutativa
Para la adición
La suma de dos o más números reales es siempre la misma independientemente del orden en que se sumen. En otras palabras, los números reales se pueden sumar en cualquier orden porque la suma permanece igual.
Ejemplos:
a) a + b = b + a
b) 5 + 7 = 7 + 5
c) {} ^ - 4 + 3 = 3 + {} ^ - 4
d) 1 + 2 + 3 = 3 + 2 + 1
Para multiplicar
El producto de dos o más números reales no se ve afectado por el orden en que se multiplican. En otras palabras, los números reales se pueden multiplicar en cualquier orden porque el producto sigue siendo el mismo.
Ejemplos:
a) a por b = b por a
b) 9 por 2 = 2 por 9
c) izquierda ({- 1} derecha) izquierda (5 derecha) = izquierda (5 derecha) izquierda ({- 1} derecha)
d) m por {} ^ - 7 = {} ^ - 7 por m
II. Propiedad asociativa
Para la adición
La suma de dos o más números reales es siempre la misma independientemente de cómo los agrupe. Cuando agrega números reales, cualquier cambio en su agrupación no afecta la suma.
Ejemplos:
Para multiplicar
El producto de dos o más números reales es siempre el mismo independientemente de cómo los agrupe. Cuando multiplica números reales, cualquier cambio en su agrupación no afecta el producto.
Ejemplos:
III. Propiedad de identidad
Para la adición
Cualquier número real agregado a cero (0) es igual al número en sí. Cero es la identidad aditiva ya que a + 0 = a o 0 + a = a. ¡Debes demostrar que funciona en ambos sentidos!
Ejemplos:
Para multiplicar
Cualquier número real multiplicado por uno (1) es igual al número en sí. El número uno es la identidad multiplicativa ya que a por 1 = a o 1 por a = 1. ¡Debes demostrar que funciona en ambos sentidos!
Ejemplos:
IV. Propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma
La multiplicación se distribuye sobre la suma
Multiplicar un factor por un grupo de números reales que se suman es igual a la suma de los productos del factor y cada sumando entre paréntesis.
En otras palabras, sumar dos o más números reales y multiplicarlo por un número exterior es lo mismo que multiplicar el número exterior por cada número dentro del paréntesis y luego sumar sus productos.
Ejemplos:
a)
b)
c)
El siguiente es el resumen de las propiedades de los números reales discutidas anteriormente:
Por qué la resta y la división no son conmutativas
Quizás se haya preguntado por qué las operaciones de resta y división no se incluyen en la discusión. La mejor manera de explicar esto es mostrar algunos ejemplos de por qué estas dos operaciones no cumplen con los requisitos para ser conmutativas.
Si asumimos que la propiedad conmutativa funciona con la resta y la división, eso significa que cambiar el orden no afecta el resultado o el resultado final.
"Propiedad conmutativa para la resta"
¿Se mantiene la propiedad a - b = b - a?
a)
b)
Dado que tenemos valores diferentes al intercambiar números durante la resta, esto implica que la propiedad conmutativa no se aplica a la resta.
"Propiedad conmutativa para división"
¿Se cumple la propiedad a div b = b div a?
a)
b)
Al igual que en la resta, cambiar el orden de los números en la división da diferentes respuestas. Por lo tanto, la propiedad conmutativa no se aplica a la división.
Por qué la resta y la división no son asociativas
Si queremos que la propiedad asociativa funcione con la resta y la división, cambiar la forma en que agrupamos los números no debería afectar el resultado.
"Propiedad asociativa para la resta"
¿Se mantiene el problema izquierda ({a - b} derecha) - c = a - izquierda ({b - c} derecha)?
a)
b)
Estos ejemplos muestran claramente que al cambiar la agrupación de números en la resta se obtienen diferentes respuestas. Por tanto, la asociatividad no es una propiedad de la resta.
"Propiedad asociativa para la división"
¿Se mantiene la propiedad left ({a div b} right) div c = a div left ({b div c} right)?
a)
Espero que este único ejemplo selle el trato de que cambiar la forma en que se agrupan los números al dividir afecta el resultado. Por tanto, la asociatividad no es una propiedad de la división.
