Proporciones: explicación y ejemplos
Es difícil imaginar cómo sería nuestra vida sin conceptos matemáticos como las proporciones. En nuestro día a día, con frecuencia nos encontramos con proporciones y proporciones cuando vamos de compras, cocinamos y cuando estamos en un viaje vocacional, etc.
Razones y proporciones son esenciales para un rendimiento eficaz. En este artículo aprenderemos cómo calcular proporciones y aplicar el conocimiento para resolver problemas de muestra, pero antes de eso, comencemos por definir razones.
Una razón es una forma de hacer comparaciones entre dos o más cantidades. El signo utilizado para denotar una proporción es dos puntos:' Suponga que ayb son dos cantidades o números diferentes, entonces la razón de a a b se puede escribir como a / bo a: b. De manera similar, la razón de b a a también se puede representar como b: a o b / a. La primera cantidad en una razón se conoce como antecedente y el segundo valor como consecuente.
Ejemplos de proporciones son: ¾ o 3: 4, 1/5 o 1: 5, 199/389 o 199: 389, etc. Es evidente a partir de este ejemplo que, una razón es simplemente una fracción donde el antecedente es el numerador y el consecuente es el denominador. .
El famoso dibujo del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci se basó en la proporción ideal del cuerpo humano. Cada parte del cuerpo ocupa una proporción diferente, como la cara ocupa aproximadamente 1/10 de la altura total y la cabeza ocupa aproximadamente 1/8 de la altura total. Los escritores de la Edad Media utilizaron la palabra proporción (proporción) por primera vez. En 1948, Le Corbusier dio un sistema de proporciones
¿Qué es una proporción?
Una proporción es una expresión que nos dice que dos razones son equivalentes. Se dice que dos razones son proporcionales si son equivalentes. Las proporciones están representadas por el signo ':' o '='. Por ejemplo, si a, b, cyd son números enteros, entonces la proporción se escribe como a: b = c: do a / b = c / do b: a = d: c. Por ejemplo, las relaciones 3: 5 y 15:25 son proporcionales y se escriben como 3: 5 = 15:25
Los cuatro números a, b, cyd se conocen como términos de una proporción. El primer término ay el último término d se denominan términos extremos, mientras que el segundo y tercer términos proporcionales se denominan términos medios.
¿Cómo resolver proporciones?
Es fácil calcular si las razones son proporcionales. Para comprobar si la relación a: byc: d es proporcional.
- Multiplica el primer término por el último término: axd
- Multiplica el segundo término por el tercer término: bxc
- Si el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios, entonces las razones son proporcionales: axd = bxc
Proporción continuada
Se dice que dos razones a: byb: c están en proporción continua si a: b = b: c. En este caso, el término c se denomina tercera proporción de ayb, mientras que b se denomina proporción media de entre los términos ay c.
Cuando los términos a, byc están en proporción continua, se deriva la siguiente fórmula:
a / b = b / c
La multiplicación cruzada de los términos da; axc = bxb, Por lo tanto,
b² = ac
ejemplo 1
Averigüe si las siguientes proporciones están en proporción: 8:10 y 12:15.
Explicación
- Multiplica el primer y cuarto términos de las razones.
8 × 15 = 120
- Ahora multiplica el segundo y tercer término.
10 × 12 = 120
- Dado que el producto de los extremos es igual al producto de las medias,
- Dado que, el producto de medias (120) = producto de extremos (120),
- Por lo tanto, 8:10 y 12:15 son proporcionales.
ejemplo 2
Verifique si la relación 6: 12 :: 12: 24 es proporcional.
Explicación
- Este es un caso de proporción continua, por lo tanto, aplique la fórmula axc = bxb,
- En este caso, a: b: c = 6: 12: 24, por lo tanto a = 6, b = 12 y c = 24
- Multiplica el primer y tercer término:
6 × 24 = 144
- Cuadrado de los términos medios:
(12) ² = 12 × 12 = 144
- Por lo tanto, la razón 6:12:24 es proporcional.
ejemplo 3
Si 12: 18 :: 20: p. Encuentra el valor de x para que las razones sean proporcionales.
Explicación
Dado: 12: 18 :: 20: p
Equiparar el producto de los extremos al producto de las medias;
⇒ 12 × p = 20 × 18
⇒ p = (20 × 18) / 12
Resuelva para p;
⇒ p = 30
Por tanto, el valor de p = 30
ejemplo 4
Encuentra el tercero proporcional a 3 y 6.
Explicación
- Sea el tercero proporcional c.
- Entonces, b² = ac
6 x 6 = 3 xc
C = 36/3
= 12
Por lo tanto, el tercero proporcional a 3 y 6 es 12
ejemplo 5
Calcule la media proporcional entre 3 y 27
Explicación
- Sea m la media proporcional entre 3 y 27.
- Aplicando la fórmula b² = ac; '
Por lo tanto, mxm = 27 x 3 = 81
m2 = 81
⇒ m = √81
⇒ m = 9
Por tanto, la media proporcional entre 3 y 27 es 9
ejemplo 6
Dadas las razones a: b = 4: 5 y b: c = 6: 7, determine la razón a: b: c.
Explicación
- Dado que b es el término común entre las dos razones;
- Multiplica cada término en la primera razón por el valor de b en la segunda razón;
a: b = 4: 5 = 24:30,
- También multiplique cada término en la segunda razón por el valor de b en la primera razón;
b: c = 6: 7 = 30: 35
Por lo tanto, la razón a: b: c = 24:30:35
Proporción de oro
La mayor aplicación de la proporción es la relación de oro, lo que ayudó mucho a analizar las proporciones de diferentes objetos y sistemas creados por el hombre, como los mercados financieros. Se dice que las dos cantidades están en proporción áurea si su proporción es igual a la proporción de su suma a la mayor de las dos cantidades, es decir (a + b) / a = a / b, donde a> b> 0.
Esta relación está representada por una letra griega φ. Simplificando aún más esta ecuación, obtenemos, φ 2 - φ - 1 = 0. Y resolviendo esto usando una fórmula cuadrática, obtenemos φ = 1.6180339887…
Euclides y muchos matemáticos posteriores a él trabajaron en la proporción áurea y encontraron su existencia en el pentágono regular y el rectángulo áureo.
Preguntas de práctica
1. Determine el valor de la letra que falta en cada una de las siguientes proporciones.
una. 6: 9 = h: 15
B. t: 7 = 12:21
C. 4: y = 8:14
D. d: 3 = 0.4: 0.5
es. 1/3 ∶ 1/4 = 1/9:
F. 9: k = 6:10
gramo. 2: 7 = m: 42
h. 30: 25 = 42: r
I. x: 1.5 = 6.3: 4.5
2. Dados los términos primero, segundo y cuarto en una proporción son 9, 21 y 77 respectivamente. Calcula el valor del tercer término.
3. El costo de 4 kg de arroz es de $ 28. Calcula el costo de 20 kg de arroz.
4. La relación entre el largo y el ancho de un jardín de flores es 3/2. Calcula la longitud del jardín de flores si el ancho es de 36 m.
5. En el coro de la iglesia, se formarán grupos de hombres y mujeres. Si cada grupo debe constar de 6 mujeres y 4 hombres. ¿Cuántos hombres se requieren, si hay 102 mujeres en la iglesia?
respuestas
1.
a. 10
si. 4
do. 7
re. 2.4
mi. 1/12
F. 15
sol. 12
h. 35
yo. 2.1
2. 33
3. $ 140
4. 54 m
5. 68
