Las propiedades o reglas de los logaritmos se derivan utilizando las leyes de los exponentes. Esa es la razón por la que vamos a usar las reglas de los exponentes para probar las propiedades de los logaritmos a continuación.
La mayoría de las veces, solo se nos dice que recordemos o memoricemos estas propiedades logarítmicas porque son útiles. Pero en esta lección, proporcionaremos justificaciones o pruebas simples de por qué son verdaderas.
Demuestre las cuatro (4) propiedades de los logaritmos
1) Propiedad del producto: {log _b} left ({{x cdot y}} right) = {log _b} x + {log _b} y
2) Propiedad del cociente: {log _b} left ({Large {{{x over y}}}} right) = {log _b} x - {log _b} y
3) Propiedad de energía: {log _b} left ({{x ^ k}} right) = k cdot {log _b} x
4) El cambio de propiedad base: {log _a} x = {Large {{{{{log} _b} x} sobre {{{log} _b} a}}}}
Es cierto que una ecuación logarítmica se puede expresar como una ecuación exponencial y viceversa. En otras palabras, logaritmos y exponenciales son equivalentes.
Declaración condicional
Primero, considere la declaración condicional "si {log _b} x = y, entonces x = {b ^ y}". También podemos escribir el enunciado simbólicamente para denotar implicación usando la flecha hacia la derecha, →. Esta declaración condicional es verdadera por definición.
Grande {log _b} {color {azul} x} = {color {rojo} y} ,, a ,, {color {azul} x} = {b ^ {color {rojo} y}}
Ejemplos:
1. {log _2} 32 = 5 ,, a ,, 32 = {2 ^ 5}
2. {log _5} izquierda ({grande {{{1 sobre {25}}}}} derecha) = - 2 ,, a ,, {grande {{1 sobre {25}}}} = {5 ^ {- 2}}
3. {log _3} 1 = 0 ,, a ,, 1 = {3 ^ 0}
II. Inverso de la declaración condicional
La inversa de la declaración original también es cierta por definición, es decir, "si x = {b ^ y}, entonces {log _b} x = y". También podemos escribirlo simbólicamente como:
Grande {color {azul} x} = {b ^ {color {rojo} y}} ,, a ,, {log _b} {color {azul} x} = {color {rojo} y}
Ejemplos:
1. 81 = {3 ^ 4} ,, a ,, {log _3} 81 = 4
2. {Large {{1 over 8}}} = {2 ^ {- 3}} ,, a ,, {log _2} left ({Large {{{1 over 8}}}} right) = - 3
3. 16 = {64 ^ {pequeño {{{2 sobre 3}}}}} ,, a ,, {log _ {64}} 16 = {Grande {{2 sobre 3}}}
III. Declaración bicondicional
Dado que el enunciado condicional y su recíproco son ambos verdaderos, son un enunciado bicondicional. Usamos “si y solo si” o la flecha de dos puntas, ⟷, para denotar una declaración bicondicional. Por lo tanto, "{log _b} x = y si y solo si x = {b ^ y}". Escribiéndolo simbólicamente, tenemos:
Grande {log _b} {color {azul} x} = {color {rojo} y} ,, flecha izquierda ,, {color {azul} x} = {b ^ {color {rojo} y}}
Esto significa esencialmente que existe una equivalencia entre declaraciones logarítmicas y declaraciones exponenciales.
Por lo tanto, dado un enunciado logarítmico, podemos expresarlo como un enunciado exponencial. De la misma manera, si tenemos un enunciado exponencial, podemos transformarlo en un enunciado logarítmico.
Ahora, comencemos a probar las cuatro (4) propiedades o reglas de los logaritmos.
Prueba de la propiedad del producto del logaritmo
grande {log _b} izquierda ({{x cdot y}} derecha) = {log _b} x + {log _b} y
Paso 1: Sea {color {red} m} = {log _b} x y {color {blue} n} = {log _b} y.
Paso 2: Transforma cada ecuación logarítmica en su ecuación exponencial equivalente.
grande {m = {log _b} x ,, ax ,, = {b ^ m}}
grande {n = {log _b} yay = {b ^ n}}
Paso 3: Como estamos probando la propiedad del producto, multiplicaremos x por y. Simplifica aplicando la regla del producto del exponente. Es decir, copia la base común y luego suma los exponentes.
grande {xy = izquierda ({{b ^ m}} derecha) izquierda ({{b ^ n}} derecha)}
grande {xy = {b ^ {, m + n}}}
Paso 4: Calcula los logaritmos de ambos lados de la ecuación. Centra tu atención en el lado derecho de la ecuación. Simplifíquelo usando el logaritmo de una base a una regla de potencia. Coloqué la regla a continuación para su conveniencia.
grande {{log _b} izquierda ({xy} derecha) = {log _b} izquierda ({{b ^ {m + n}}} derecha)}
grande {{log _b} izquierda ({xy} derecha) = m + n}
Paso 5: Finalmente, reemplace las expresiones por color {red} my color {blue} {n} que asignamos en el Paso 1.
grande {{log _b} izquierda ({xy} derecha) = {log _b} x + {log _b} y}
or
grande {{log _b} izquierda ({x cdot y} derecha) = {log _b} x + {log _b} y}
Prueba de la propiedad del cociente del logaritmo
grande {{log _b} izquierda ({Large {{{x sobre y}}}} derecha) = {log _b} x - {log _b} y}
Paso 1: Suponga que {color {red} m} = {log _b} x y {color {blue} n} = {log _b} y.
Paso 2: Exprese cada ecuación logarítmica como una ecuación exponencial.
Paso 3: Queremos demostrar la regla del logaritmo del cociente, por lo que dividir x por y, por lo tanto, nuestra configuración es Grande {x sobre y}. Recuerde que al dividir exponentes, copia la base común y luego resta el exponente del numerador por el exponente del denominador.
Eso significa que obtenemos:
Grande {{GRANDE {{x sobre y}}} = {b ^ {, m - n}}}
Paso 4: Calcula el logaritmo con el color base {verde} grande {b} de ambos lados de la ecuación. La elección del color base {verde} grande {b} es intencional porque queremos deshacernos de la base grande {b} en el lado derecho de la ecuación.
Por tanto, tenemos:
{log _b} izquierda ({{Large {{x sobre y}}}} derecha) = {log _b} izquierda ({{b ^ {, m + n}}} derecha)
{log _b} izquierda ({{Large {{x sobre y}}}} derecha) = m - n
Paso 5: Dado que asumimos en nuestro primer paso que {color {red} m} = {log _b} x y {color {blue} n} = {log _b} y, reemplazamos myn por sus correspondientes expresiones logarítmicas. Esto da como resultado la propiedad del cociente del logaritmo según lo previsto.
{log _b} izquierda ({Large {{{x sobre y}}}} derecha) = {log _b} x - {log _b} y
Prueba de la propiedad de potencia del logaritmo
grande {log _b} izquierda ({{x ^ k}} derecha) = k cdot {log _b} x
Paso 1: Suponga que grande {{color {red} m} = {log _b} x}.
Paso 2: Reescribe {{color {red} m} = {log _b} x} grande como una ecuación exponencial. Utilice la siguiente regla al transformar una ecuación logarítmica en una ecuación exponencial.
Regla sobre cómo convertir log a ecuación exponencial:
Grande {color {rojo} y} = {log _b} {color {azul} x} ,, a ,, {color {azul} x} = {b ^ {color {rojo} y}}
Grande {m = {log _b} xa x = {b ^ m}}
Paso 3: Eleve ambos lados de la ecuación a la potencia {k} grande.
Paso 4: Realice logaritmos con base b en ambos lados de la ecuación y luego simplifique.
Recuerde siempre esta práctica regla que es el {{log _b} b = 1} grande.
Paso 5: En el paso 1, suponemos grande {{color {red} m} = {log _b} x}. El paso final es sustituir la expresión de m como se registra en el lado derecho de la ecuación.
grande {{log _b} izquierda ({{x ^ k}} derecha) = mk}
grande {{log _b} izquierda ({{x ^ k}} derecha) = izquierda ({{{log} _b} x} derecha) k}
Solo necesitamos limpiar el lado derecho de la ecuación colocando la variable k delante de la expresión logarítmica. ¡Y hemos terminado!
grande {log _b} izquierda ({{x ^ k}} derecha) = k cdot {log _b} x
La propiedad de cambio de base del logaritmo
Grande {{log _a} x = {{{{log} _b} x} sobre {{{log} _b} a}}}
Paso 1: Sea {color {red} k} = {log _a} x.
Paso 2: Exprese {color {red} k} = {log _a} x como una ecuación exponencial.
grande {k = {log _a} x ,, a ,, x = {a ^ k}}
Paso 3: Tome los logaritmos con una base diferente de ambos lados de la ecuación exponencial, x = {a ^ k}.
La elección de la base no importa siempre que la base sea mayor que cero pero no sea igual a 1. Como puede ver a continuación, uso diferentes bases para enfatizar que son b, c, d y f.
Por simplicidad, usaremos el primero de la lista que es grande {{log _ {{large {color {blue} b}}}}}.
large {{log _b} left (x right) = {log _b} left ({{a ^ {large {{color {red} k}}}}} right)}
Paso 4: Ahora, aplique la regla de potencia del logaritmo en el lado derecho de la ecuación exponencial para reducir el exponente k. Luego, resuelve k dividiendo ambos lados de la ecuación por {log _b} izquierda (a derecha).
grande {{log _b} izquierda (x derecha) = {color {rojo} k} cdot {log _b} izquierda (a derecha)}
Grande {{{{{log} _b} left (x right)} sobre {{{log} _b} left (a right)}} = {{{color {red} k} cdot {{log} _b} left ( a right)} sobre {{{log} _b} left (a right)}}}
{Large {{{{{log} _b} left (x right)} over {{{log} _b} left (a right)}}}} = {color {red} k}
Paso 5: Nuestro último paso es sustituir la expresión por k = {log _a} x. Lo establecimos en el Paso 1.
{Large {{{{{log} _b} left (x right)} over {{{log} _b} left (a right)}}}} = {color {red} k}
{Large {{{{{log} _b} left (x right)} sobre {{{log} _b} left (a right)}}}} = {log _a} x
or
{log _a} x = {Large {{{{{log} _b} left (x right)} over {{{log} _b} left (a right)}}}}
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