Vectores transmitir de manera eficiente información sobre un elemento matemático o físico. En particular:
Los vectores son cantidades matemáticas que se utilizan para representar objetos que tienen magnitud y dirección.
¿Alguna vez te has preguntado qué hace que la velocidad sea diferente de la velocidad o la masa sea diferente del peso? Pista: ¡La respuesta está relacionada con los vectores! Exploraremos estas preguntas y más a medida que analicemos los siguientes temas de vectores en este artículo:
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name="definici-n-vectorial">Definición vectorial
En física y matemáticas, un vector se define como:
"Un objeto o la cantidad física que se puede representar tanto por magnitud como por dirección".
Usando la definición anterior, podemos ver que la representación de vectores requiere la presencia de dos componentes, a saber:
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name="introducci-n-a-los-vectores">Introducción a los vectores
Históricamente, los vectores se utilizaron en geometría, física y mecánica. Sin embargo, con el paso del tiempo, los vectores se han vuelto ampliamente utilizados en muchos campos, incluidos el álgebra lineal, la ingeniería, la informática, el análisis estructural y la navegación.
Dado que los vectores expresan dos nociones, a saber, magnitud y dirección, pueden construir una amplia variedad de modelos matemáticos para diversos problemas y escenarios.
En esta sección, aprenderemos sobre los siguientes conceptos vectoriales importantes:
- Representaciones geométricas y matemáticas de vectores
- Escalares frente a vectores
name="representaci-n-geom-trica-y-matem-tica-de-vectores">Representación geométrica y matemática de vectores
Los vectores se pueden representar geométricamente mediante flechas rectas de una longitud específica que apuntan en una dirección específica con puntos de inicio y finalización específicos. La longitud del vector representa su magnitud, mientras que la dirección indica su dirección con respecto a un conjunto de coordenadas. La siguiente imagen es un ejemplo de una representación geométrica de un vector.
Considere la siguiente figura donde A es un vector. | A | representa su longitud (o magnitud), y la punta de flecha que apunta del punto a al punto b representa su dirección. El punto a se llama punto inicial o de inicio, y el punto b se llama punto terminal o final del vector A. Aunque este ejemplo muestra un vector en dos dimensiones, también puede tener tres, cuatro o más dimensiones.
La magnitud del vector es básicamente la misma que la longitud del segmento de línea ab. La dirección del vector es básicamente la misma que la dirección de la flecha.
Algebraicamente, un vector se puede expresar como un par ordenado. Esta representación se llama vector columna. En la imagen de abajo, el vector OA se representa como un vector de columna.
Esto significa que el vector se desplaza desde el origen en dos puntos a lo largo del eje horizontal (eje x) y cuatro puntos a lo largo del eje vertical (eje y).
Los vectores a menudo se representan con letras en negrita como a or A.
name="vectores-vs-escalares">Vectores vs.Escalares
Las cantidades físicas y matemáticas se clasifican como vectores o escalares. Aunque están relacionados, los vectores y escalares se utilizan en diferentes situaciones.
Una cantidad escalar tiene magnitud pero no dirección.
Los escalares están representados por letras simples como a o A, y generalmente consisten en números reales. Algunos ejemplos comunes de escalares son el tiempo, la velocidad, la energía, la masa, el volumen, el área y la altura.
Una cantidad vectorial tiene magnitud y dirección.
A diferencia de las cantidades escalares, que tienen un solo componente, las cantidades vectoriales constan de dos componentes. Algunos ejemplos comunes de vectores incluyen velocidad, desplazamiento y aceleración.
Para comprender mejor la diferencia entre cantidades escalares y vectoriales, consideremos algunos ejemplos:
Identifica si la cantidad dada es un vector o un escalar.
Para clasificar esta cantidad, necesitamos considerar las definiciones de vectores y escalares y averiguar cuántos componentes tiene. Primero descomponemos la cantidad dada en sus partes. La cantidad dada tiene un componente de magnitud de |V| = 10 m. También apunta hacia el Este. Por lo tanto, podemos concluir que la cantidad dada es un vector porque tiene dos componentes.
En este ejemplo, solo está presente el componente de magnitud. Dado que no se menciona una dirección, esta cantidad es un escalar.
La magnitud del escalar A se da como 5 cm.
name="diferentes-tipos-de-vectores">Diferentes tipos de vectores
Los diferentes tipos de vectores utilizados en matemáticas incluyen:
- Vectores de unidad
- Vectores iguales
- Vectores de desplazamiento
- Vectores de posición
Cada uno de estos tipos de vectores es muy importante y tiene varias aplicaciones. Sus descripciones se pueden encontrar a continuación.
name="vector-cero">Vector cero
Un vector se llama vector cero si su magnitud es cero. Un vector cero comienza y termina en el mismo punto, lo que significa que tiene las coordenadas (0,0). Tampoco tiene una dirección especificada. Por ejemplo:
name="vector-unitario">Vector unitario
Un vector unitario es un vector cuya longitud o magnitud es 1. Encontrar un vector unitario con la misma dirección que otro vector puede ser una herramienta útil, y lo llamamos vector normalizado. Dicho vector se encuentra dividiendo el vector dado por su magnitud:
Nota: Recuerde que los vectores unitarios solo son iguales entre sí si apuntan en la misma dirección.
name="igual-vector">Igual vector
Se dice que dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud y apuntan en la misma dirección. Los dos vectores, A y B, en la imagen que se muestra a continuación son iguales ya que su magnitud y dirección son las mismas.
name="vector-de-desplazamiento">Vector de desplazamiento
Si el punto X se desplaza (mueve) de una posición a otra posición, Y, entonces el desplazamiento entre dos puntos se puede representar en forma de un vector de desplazamiento. En este caso, el vector de desplazamiento se escribiría como XY.
name="negativo-de-un-vector">Negativo de un vector
Dos vectores con la misma magnitud pero dirección opuesta se denominan negativos entre sí. Dejar a y b son dos vectores con la misma magnitud. Si la dirección de b es opuesto al de a, luego a y b son los negativos el uno del otro. La relación entre estos dos vectores es:
name="vector-de-posici-n">Vector de posición
El vector de posición se utiliza para indicar la posición de un objeto en coordenadas cartesianas tridimensionales con respecto a un punto de referencia específico.
name="vectores-co-iniciales">Vectores co-iniciales
Dos o más vectores que tienen el mismo punto inicial o de partida se denominan vectores co-iniciales. En la imagen que se muestra a continuación, los vectores, AC y AB son vectores co-iniciales.
name="vectores-colineales">Vectores colineales
Los vectores que son paralelos entre sí o que se encuentran en la misma línea se denominan vectores colineales.
name="vectores-coplanarios">Vectores coplanarios
Dos o más vectores tridimensionales que se encuentran en el mismo plano se denominan vectores coplanares.
name="ejemplos">Ejemplos
En esta sección, discutiremos algunos problemas de ejemplo de vectores y sus soluciones paso a paso.
Expresa el vector dado AD como se muestra en la imagen de abajo como un vector de columna.
Solución
Por definición, el vector columna se expresa como un par ordenado. De la figura se desprende claramente que AD comienza en el punto A y termina en el punto D. Se desplaza 3 unidades hacia la derecha a lo largo del eje xy 4 unidades hacia arriba a lo largo del eje y.
Por lo tanto, el vector dado AD escrito como un vector de columna es:
Expresa el vector dado UV como se muestra en la imagen de abajo como un vector de columna.
Solución
Por definición, el vector columna se expresa como un par ordenado. De la figura se desprende claramente que UV comienza en el punto U y termina en el punto V. Se desplaza 3 unidades hacia la derecha a lo largo del eje xy 2 unidades hacia abajo a lo largo del eje y.
Por lo tanto, el vector dado UV escrito como un vector de columna es:
Tenga en cuenta que el signo negativo indica que el movimiento del vector es hacia abajo a lo largo del eje y.
Identifica la cantidad dada como escalar o vector.
Solución
La cantidad dada es un escalar porque solo tiene magnitud y no tiene dirección. Su magnitud es | S | = 40.
Identifica la cantidad dada como escalar o vector.
Solución
La cantidad dada es un vector. Se expresa como un vector de columna, AY, donde O es el punto de partida y W es el punto terminal. Esto muestra que la traslación de O a W es 2 puntos hacia la derecha a lo largo del eje horizontal y 3 puntos hacia abajo a lo largo del eje y.
Identifica la cantidad dada como escalar o vector.
Solución
La cantidad dada es un vector. La magnitud del vector V se da como | V | = 0, por lo que este es en realidad un vector cero. Por tanto, la dirección de este vector no está especificada, ya que el vector cero no tiene dirección.
Identifica la cantidad dada como escalar o vector.
Solución
La cantidad dada es un vector. La magnitud del vector, F, es | F | = 20, y la dirección se da hacia abajo.
name="preguntas-de-pr-ctica">Preguntas de práctica
Identifique las siguientes cantidades como vectores o escalares y determine sus magnitudes y direcciones.
- X = 2m, Norte
- X = 250 kilogramos
- F = 20N, hacia arriba
- V = 30 m / s, Oeste
- T = 20 segundos
- Y = (3,2)
- A = 10 m / s ^ 2, verticalmente hacia arriba.
- S = 20 cm a 60 grados
- W = (2,5)
- V = 20 mph, noreste
- Expresa el vector dado PQ como se muestra en la imagen de abajo como un vector de columna.
- Expresa el vector dado MN como se muestra en la imagen de abajo como un vector de columna.
respuestas
- Vector: la magnitud es | X | = 2 m, y la dirección se indica como norte.
- Escalar: | X | = 250Kg, y solo se da la magnitud.
- Vector: la magnitud es | F | = 20N, y la dirección se indica hacia arriba.
- Vector: la magnitud se da como | V | = 30 m / s, y la dirección se indica como Oeste.
- Escalar: | T | = 20, y solo se da la magnitud.
- Vector: es un vector de columna donde 3 representa 3 puntos a la derecha a lo largo del eje x, y 2 representa 2 puntos hacia arriba a lo largo del eje y. La magnitud se da como | Y | = raíz cuadrada (3 ^ 2 + 2 ^ 2)
- Vector: la magnitud se da como | A | = 10 m / s ^ 2, y la dirección es hacia arriba.
- Vector: la magnitud es | S | = 20 cm y la dirección forma un ángulo de 60 grados.
- Vector: este vector de columna se movió 2 puntos hacia la derecha a lo largo del eje horizontal y 5 puntos hacia arriba a lo largo del eje vertical. La magnitud se da como | W | = raíz cuadrada (2 ^ 2 + 5 ^ 2)
- Vector: la magnitud es | V | = 20 mph y la dirección se indica como noreste.
- El vector, PQ, se puede expresar como el par ordenado:
Esto significa que el vector PQ comienza en el punto P y termina en el punto Q. Se traslada 5 puntos a la derecha a lo largo del eje horizontal y 5 puntos hacia arriba.
Esto significa que el vector MN comienza en el punto M y termina en el punto N. Se traslada 2 puntos a la izquierda a lo largo del eje horizontal y 4 puntos hacia abajo a lo largo del eje y.
