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    Recíproco negativo - Explicación y ejemplos

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    Aina Martin
    @ainamartin

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    Recíproco negativo - Explicación y ejemplos

    El recíproco negativo puede parecer complicado, pero una vez que hayamos entendido su concepto, verá lo fácil que es aplicarlo y encontrar el recíproco negativo de un número. ¿Por qué no analizamos las dos palabras?

    Negativo y recíproco: esto significa que el recíproco negativo de un número es el resultado de multiplicar el recíproco del número por $ mathbf {-1} $.

    Tan sencillo como su definición, los recíprocos negativos tienen una amplia gama de aplicaciones que incluyen encontrar pendientes perpendiculares y modelar aplicaciones del mundo real que hacen uso de relaciones inversas.



    ¿Qué es un recíproco negativo?

    Al tratar con recíprocos negativos, primero recordaremos lo que estas dos palabras representan en matemáticas: negativo y recíproco.

    $ boldsymbol {dfrac {a} {b} flecha derecha - dfrac {b} {a}} $

    Desglosaremos lentamente este formulario y, al final de este artículo, definitivamente podrá comprender lo que esto representa.

    Recíproco

    El recíproco de un número o una función es el valor o expresión que resulta de invertir los lugares del numerador y del denominador.

    $ boldsymbol {dfrac {a} {b} flecha derecha dfrac {b} {a}} $

    Los recíprocos se consideran inversos multiplicativos ya que siempre serán 1 cuando multiplicamos un número por su recíproco.

    $ dfrac {a} {b} cdot dfrac {b} {a} = 1 $

    Domina tu conocimiento sobre recíprocos aquí.

    Negativo de un número (o una función)

    El negativo de un número o una función es el resultado de multiplicar un número por -1. Digamos que tenemos una fracción, $ dfrac {b} {a} $, su contraparte negativa será $ -dfrac {b} {a} $.


    $ símbolo en negrita {-1 cdot dfrac {b} {a} = -dfrac {b} {a}} $

    Obtenga más información sobre los números negativos aquí.

    Cuando combinamos estos dos conceptos, tendremos el recíproco negativo de un número. Esto significa que los recíprocos negativos resultan de que tomamos el recíproco de un número y luego encontramos el valor negativo del resultado.


    Por lo tanto, tenemos $ boldsymbol {dfrac {a} {b} rightarrow - dfrac {b} {a}} $.

    ¿Cómo encontrar el recíproco negativo?

    Ahora que entendemos lo que representan los recíprocos negativos, ¿cómo manipulamos las diferentes formas de expresiones para que tengan sus recíprocos negativos?

    • Empiece siempre por cambiar los lugares del numerador y el denominador de la fracción.
    • Una vez que tenemos el recíproco, multiplica el resultado por $ mathbf {-1} $.

    Hemos creado guías rápidas que puede observar cuando trabaja con diferentes tipos de números y expresiones.

    Empecemos por aprender a encontrar el recíproco negativo de una fracción, $ dfrac {a} {b} $, donde $ b neq 0 $.


    ¿Qué pasa si trabajamos con funciones racionales como $ dfrac {p (x)} {q (x)} $? Aplicamos el mismo proceso que hicimos con las fracciones.


    La función racional y su recíproco negativo solo serán válidas cuando $ p (x) neq 0 $ y $ q (x) neq 0 $.

    Y si estamos trabajando con números enteros ¿luego? Nosotros Comience expresando el número entero como una fracción con $ 1 $ como denominador.. Digamos que tenemos $ m $ como el número entero, comenzamos expresándolo como $ dfrac {m} {1} $ y seguimos el mismo proceso.


    Se aplica un proceso similar para funciones como $ f (x) $ que son no funciones racionales.

    Tenga en cuenta que para que existan recíprocos negativos, tanto $ m $ como $ f (x) $ no deben ser iguales a $ 0 $.


    ¿Estás emocionado de probar problemas que involucran recíprocos negativos? Primero, sigamos adelante y resumamos lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los recíprocos negativos.

    Resumen de la definición y propiedades recíprocas

    • Esta expresión representa lo que ocurre al encontrar los recíprocos negativos: $ boldsymbol {dfrac {a} {b} flecha derecha - dfrac {b} {a}} $.
    • Cuando se le dé un número entero o una función que no sea racional, comience expresando lo dado como una fracción de 1.
    • Solo es posible que una constante o una función tenga un recíproco negativo cuando tanto su numerador como su denominador no son iguales a $ 0 $.
    • Una pendiente de una línea perpendicular utiliza recíprocos negativos.

    Eso es. Asegúrese de tener en cuenta estos consejos cuando resuelva los problemas siguientes.

    ejemplo 1

    Complete la siguiente tabla encontrando los respectivos recíprocos negativos de lo siguiente.

    Solución

    Al encontrar el recíproco negativo, comenzamos cambiando el numerador y el denominador de la fracción. Trabajemos primero en los dos primeros elementos: $ dfrac {1} {2} $ y $ -dfrac {2} {3} $.

    Por lo tanto, sus recíprocos son $ dfrac {2} {1} $ y $ -dfrac {3} {2} $.

    Para cada valor, multiplique $ -1 $ para encontrar el recíproco negativo correspondiente.

    • $ -1 cdot dfrac {2} {1} = -2 $
    • $-1 cdot -dfrac{3}{2}=dfrac{3}{2}$.

    De hecho, aplicaremos el mismo proceso para las dos últimas filas, pero primero asegurémonos de reescribirlas en forma de fracción. El número entero $ 9 $ puede escribirse como $ dfrac {9} {1} $ y el número mixto $ - 4dfrac {1} {7} $ puede escribirse como $ -dfrac {29} {7} $.

    Una vez que los tengamos en forma de fracción, ahora podemos cambiar los lugares de sus numeradores y denominadores correspondientes y luego multiplicar el resultado respectivo por $ -1 $.

    • $ begin {align} dfrac {9} {1} rightarrow dfrac {1} {9} rightarrow -dfrac {1} {9} end {alineado} $
    • $ begin {align} -dfrac {29} {7} rightarrow dfrac {-7} {29} rightarrow dfrac {7} {29} end {alineado} $

    Por lo tanto, tenemos la tabla completa como se muestra a continuación.

    ejemplo 2

    Sea $ h (x) $ el recíproco negativo de $ f (x) $ para cada una de las siguientes funciones. Encuentre el $ h (x) $. ¿Cuáles son las restricciones para $ x $ en cada caso?

    una. $ f (x) = dfrac {1} {x - 1} $

    B. $ f (x) = dfrac {2} {3 (x +2)} $

    C. $ f (x) = x ^ 2 - 3x - 54 $

    Solución

    Aplicamos el mismo proceso cuando encontramos los recíprocos negativos de funciones.

    una. Esto significa que comenzamos cambiando los lugares de $ 1 $ y $ x - 1 $ para encontrar el recíproco de $ f (x) $. Luego multiplicamos el resultado por $ -1 $.

    $ comenzar {alineado} h (x) & = - 1cdot dfrac {x-1} {1} & = - 1cdot x - 1 & mathbf {-x + 1} fin {alineado} $

    Dado que $ h (x) $ es una expresión lineal, no tiene restricciones. La función $ f (x) $, sin embargo, no debe tener $ x - 1 = 0 $, entonces $ mathbf {x neq 0} $.

    B. Aplicamos el mismo proceso de a. Por tanto, tenemos $ h (x) $ como se muestra a continuación.

    $begin{aligned}h(x)&=-1cdot dfrac{3(x+2)}{2}&=-1cdot dfrac{3x+6}{2}&=mathbf{-dfrac{3x+6}{2}} end{aligned}$

    La función $ h (x) $ tiene una constante como denominador, por lo que no tiene restricciones para $ x $. La función $ f (x) $, sin embargo, no puede tener $ 3 (x + 2) = 0 $, entonces $ mathbf {x neq -2} $.

    C. Exprese $ f (x) $ como una fracción teniendo $ 1 $ como denominador, por lo que $ f (x) = dfrac {x ^ 2 - 3x - 54} {1} $. Ahora, aplique el mismo proceso para encontrar el recíproco negativo, $ h (x) $.

    $begin{aligned}h(x)&=-1cdot dfrac{1}{x^2-3x-54}&=mathbf{-dfrac{1}{x^2-3x-54}} end{aligned}$

    Dado que $ f (x) $ es un polinomio, no tiene restricciones para $ x $. Su recíproco negativo, sin embargo, no puede tener cero en su denominador. Podemos encontrar las restricciones para $ h (x) $ encontrando los valores donde $ x ^ 2 - 3x - 54 $ es cero.

    $ comenzar {alineado} x ^ 2 -3x - 54 & = 0 (x - 9) (x + 6) & = 0 x & = 9 x & -6end {alineado} $

    Esto significa que para que $ h (x) $ sea válido, $ mathbf {x neq {-6,9}} $.

    ejemplo 3

    La gráfica de la función lineal, $ f (x) $, es perpendicular a la gráfica de $ h (x) $, que también es una función lineal. Si $ f (x) $ tiene una pendiente de $ -dfrac {2} {3} $, ¿cuál es la pendiente de $ h (x) $?

    Solución

    Como mencionamos en la discusión, encontrar recíprocos negativos es crucial cuando se encuentran las pendientes de las líneas perpendiculares.

    Dado que tenemos la pendiente de $ f (x) $, podemos encontrar la pendiente de $ h (x) $ encontrando el recíproco negativo de $ -dfrac {2} {3} $.

    $ comenzar {alineado} m_perp & = -1 cdot-dfrac {3} {2} & = dfrac {3} {2} fin {alineado} $

    Esto significa que la pendiente de $ h (x) $ es $ dfrac {3} {2} $ para que sea perpendicular a $ f (x) $.

    ejemplo 4

    El recíproco negativo de $ f (x) $ es $ dfrac {x ^ 2 - 2} {x - 5} $. ¿Cuál es la expresión para $ f (x) $?

    Solución

    Esta vez, tenemos el recíproco negativo. Necesitamos encontrar la expresión para $ f (x) $ invirtiendo los pasos:

    • Comenzamos multiplicando $ -1 $ por el recíproco negativo para revertir los cambios en el signo.
    • Cambia los lugares del numerador y denominador del recíproco negativo.

    $begin{aligned}f(x)&=-1cdot dfrac{x-5}{x^2-2}&=dfrac{-x+5}{x^2-2} end{aligned}$

    Esto significa que $ mathbf {f (x) = dfrac {-x + 5} {x ^ 2-2}} $.

    ¿Notas algo sobre los pasos? En realidad, son el mismo proceso porque el recíproco negativo del recíproco negativo de una función será $ mathbf {f (x)} $.

    ejemplo 6

    Si un número dado es veintisiete veces más grande que el cuadrado de su recíproco negativo, calcule el número.

    Solución

    Sea $ n $ el número que estamos buscando, por lo que su negativo se puede expresar como $ -dfrac {1} {n} $. Prepara la ecuación que representa la situación.

    $ n = 27cdotleft (-dfrac {1} {n} right) ^ 2 $

    Simplifique esta ecuación multiplicando ambos lados de la ecuación por $ n ^ 2 $ y tomando la raíz cúbica de ambos lados de la ecuación.

    $begin{aligned}n&=dfrac{27}{n^2}n^3&=27sqrt[3]{n^3} &=sqrt[3]{27}n&=3  end{aligned}$

    Esto significa que para que el número satisfaga la condición, debe ser igual a 3.

    Preguntas de práctica

    1. Complete la siguiente tabla encontrando los respectivos recíprocos negativos de lo siguiente.

    2. Sea $ h (x) $ el recíproco negativo de $ f (x) $ para cada una de las siguientes funciones. Encuentre el $ h (x) $. ¿Cuáles son las restricciones para $ x $ en cada caso?

    una. $ f (x) = dfrac {2} {3x - 5} $
    B. $ f (x) = dfrac {x} {2 (x - 3)} $
    C. $ f (x) = x ^ 2 - 7x - 30 $
    D. $ f (x) = 1 + dfrac {1} {x - 2} $

    3. ¿Verdadero o falso? El recíproco del recíproco negativo de una función es igual a la función misma.
    4. La gráfica de la función lineal, $ f (x) $, es perpendicular a la gráfica de $ h (x) $, que también es una función lineal. Si $ f (x) $ tiene una pendiente de $ -2dfrac {1} {5} $, ¿cuál es la pendiente de $ h (x) $?
    5. El recíproco negativo de $ f (x) $ es $ dfrac {x ^ 2 - 2} {x - 5} $. ¿Cuál es la expresión para $ f (x) $?
    6. Sea $ h (x) $ el recíproco negativo de $ f (x) $.
    una. ¿Cuál es la expresión de $ h (x) $ dado que $ f (x) = dfrac {4x - 3} {2} $?
    B. ¿Cuáles son las restricciones para $ x $ para que existan tanto $ f (x) $ como $ h (x) $?
    C. Utilice su conocimiento para graficar funciones recíprocas para graficar $ h (x) $. Incluya las asíntotas vertical y horizontal.
    7. Si un número dado es sesenta y cuatro veces más grande que el cuadrado de su recíproco negativo, calcule el número.



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