Recíproco negativo - Explicación y ejemplos

Recíproco negativo - Explicación y ejemplos

El rec√≠proco negativo puede parecer complicado, pero una vez que hayamos entendido su concepto, ver√° lo f√°cil que es aplicarlo y encontrar el rec√≠proco negativo de un n√ļmero. ¬ŅPor qu√© no analizamos las dos palabras?


Negativo y rec√≠proco: esto significa que el rec√≠proco negativo de un n√ļmero es el resultado de multiplicar el rec√≠proco del n√ļmero por $ mathbf {-1} $.

Tan sencillo como su definición, los recíprocos negativos tienen una amplia gama de aplicaciones que incluyen encontrar pendientes perpendiculares y modelar aplicaciones del mundo real que hacen uso de relaciones inversas.


name="-qu--es-un-rec-proco-negativo-">¬ŅQu√© es un rec√≠proco negativo?

Al tratar con recíprocos negativos, primero recordaremos lo que estas dos palabras representan en matemáticas: negativo y recíproco.


$ boldsymbol {dfrac {a} {b} flecha derecha - dfrac {b} {a}} $

Desglosaremos lentamente este formulario y, al final de este artículo, definitivamente podrá comprender lo que esto representa.

Recíproco

El rec√≠proco de un n√ļmero o una funci√≥n es el valor o expresi√≥n que resulta de invertir los lugares del numerador y del denominador.

$ boldsymbol {dfrac {a} {b} flecha derecha dfrac {b} {a}} $

Los rec√≠procos se consideran inversos multiplicativos ya que siempre ser√°n 1 cuando multiplicamos un n√ļmero por su rec√≠proco.

$ dfrac {a} {b} cdot dfrac {b} {a} = 1 $


Domina tu conocimiento sobre recíprocos aquí.

Negativo de un n√ļmero (o una funci√≥n)

El negativo de un n√ļmero o una funci√≥n es el resultado de multiplicar un n√ļmero por -1. Digamos que tenemos una fracci√≥n, $ dfrac {b} {a} $, su contraparte negativa ser√° $ -dfrac {b} {a} $.

$ símbolo en negrita {-1 cdot dfrac {b} {a} = -dfrac {b} {a}} $

Obtenga m√°s informaci√≥n sobre los n√ļmeros negativos aqu√≠.

Cuando combinamos estos dos conceptos, tendremos el rec√≠proco negativo de un n√ļmero. Esto significa que los rec√≠procos negativos resultan de que tomamos el rec√≠proco de un n√ļmero y luego encontramos el valor negativo del resultado.



Por lo tanto, tenemos $ boldsymbol {dfrac {a} {b} rightarrow - dfrac {b} {a}} $.

name="-c-mo-encontrar-el-rec-proco-negativo-">¬ŅC√≥mo encontrar el rec√≠proco negativo?

Ahora que entendemos lo que representan los rec√≠procos negativos, ¬Ņc√≥mo manipulamos las diferentes formas de expresiones para que tengan sus rec√≠procos negativos?

  • Empiece siempre por cambiar los lugares del numerador y el denominador de la fracci√≥n.
  • Una vez que tenemos el rec√≠proco, multiplica el resultado por $ mathbf {-1} $.

Hemos creado gu√≠as r√°pidas que puede observar cuando trabaja con diferentes tipos de n√ļmeros y expresiones.

Empecemos por aprender a encontrar el recíproco negativo de una fracción, $ dfrac {a} {b} $, donde $ b neq 0 $.

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¬ŅQu√© pasa si trabajamos con funciones racionales como $ dfrac {p (x)} {q (x)} $? Aplicamos el mismo proceso que hicimos con las fracciones.

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La función racional y su recíproco negativo solo serán válidas cuando $ p (x) neq 0 $ y $ q (x) neq 0 $.

Y si estamos trabajando con n√ļmeros enteros ¬Ņluego? Nosotros Comience expresando el n√ļmero entero como una fracci√≥n con $ 1 $ como denominador.. Digamos que tenemos $ m $ como el n√ļmero entero, comenzamos expres√°ndolo como $ dfrac {m} {1} $ y seguimos el mismo proceso.


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Se aplica un proceso similar para funciones como $ f (x) $ que son no funciones racionales.

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Tenga en cuenta que para que existan recíprocos negativos, tanto $ m $ como $ f (x) $ no deben ser iguales a $ 0 $.

¬ŅEst√°s emocionado de probar problemas que involucran rec√≠procos negativos? Primero, sigamos adelante y resumamos lo que hemos aprendido hasta ahora sobre los rec√≠procos negativos.

name="resumen-de-la-definici-n-y-propiedades-rec-procas">Resumen de la definición y propiedades recíprocas

  • Esta expresi√≥n representa lo que ocurre al encontrar los rec√≠procos negativos: $ boldsymbol {dfrac {a} {b} flecha derecha - dfrac {b} {a}} $.
  • Cuando se le d√© un n√ļmero entero o una funci√≥n que no sea racional, comience expresando lo dado como una fracci√≥n de 1.
  • Solo es posible que una constante o una funci√≥n tenga un rec√≠proco negativo cuando tanto su numerador como su denominador no son iguales a $ 0 $.
  • Una pendiente de una l√≠nea perpendicular utiliza rec√≠procos negativos.

Eso es. Aseg√ļrese de tener en cuenta estos consejos cuando resuelva los problemas siguientes.

ejemplo 1

Complete la siguiente tabla encontrando los respectivos recíprocos negativos de lo siguiente.

Solución

Al encontrar el recíproco negativo, comenzamos cambiando el numerador y el denominador de la fracción. Trabajemos primero en los dos primeros elementos: $ dfrac {1} {2} $ y $ -dfrac {2} {3} $.

Por lo tanto, sus recíprocos son $ dfrac {2} {1} $ y $ -dfrac {3} {2} $.

Para cada valor, multiplique $ -1 $ para encontrar el recíproco negativo correspondiente.

  • $ -1 cdot dfrac {2} {1} = -2 $
  • $-1 cdot -dfrac{3}{2}=dfrac{3}{2}$.

De hecho, aplicaremos el mismo proceso para las dos √ļltimas filas, pero primero asegur√©monos de reescribirlas en forma de fracci√≥n. El n√ļmero entero $ 9 $ puede escribirse como $ dfrac {9} {1} $ y el n√ļmero mixto $ - 4dfrac {1} {7} $ puede escribirse como $ -dfrac {29} {7} $.

Una vez que los tengamos en forma de fracción, ahora podemos cambiar los lugares de sus numeradores y denominadores correspondientes y luego multiplicar el resultado respectivo por $ -1 $.

  • $ begin {align} dfrac {9} {1} rightarrow dfrac {1} {9} rightarrow -dfrac {1} {9} end {alineado} $
  • $ begin {align} -dfrac {29} {7} rightarrow dfrac {-7} {29} rightarrow dfrac {7} {29} end {alineado} $

Por lo tanto, tenemos la tabla completa como se muestra a continuación.

ejemplo 2

Sea $ h (x) $ el rec√≠proco negativo de $ f (x) $ para cada una de las siguientes funciones. Encuentre el $ h (x) $. ¬ŅCu√°les son las restricciones para $ x $ en cada caso?

una. $ f (x) = dfrac {1} {x - 1} $

B. $ f (x) = dfrac {2} {3 (x +2)} $

C. $ f (x) = x ^ 2 - 3x - 54 $

Solución

Aplicamos el mismo proceso cuando encontramos los recíprocos negativos de funciones.

una. Esto significa que comenzamos cambiando los lugares de $ 1 $ y $ x - 1 $ para encontrar el recíproco de $ f (x) $. Luego multiplicamos el resultado por $ -1 $.

$ comenzar {alineado} h (x) & = - 1cdot dfrac {x-1} {1} & = - 1cdot x - 1 & mathbf {-x + 1} fin {alineado} $

Dado que $ h (x) $ es una expresión lineal, no tiene restricciones. La función $ f (x) $, sin embargo, no debe tener $ x - 1 = 0 $, entonces $ mathbf {x neq 0} $.

B. Aplicamos el mismo proceso de a. Por tanto, tenemos $ h (x) $ como se muestra a continuación.

$begin{aligned}h(x)&=-1cdot dfrac{3(x+2)}{2}&=-1cdot dfrac{3x+6}{2}&=mathbf{-dfrac{3x+6}{2}} end{aligned}$

La función $ h (x) $ tiene una constante como denominador, por lo que no tiene restricciones para $ x $. La función $ f (x) $, sin embargo, no puede tener $ 3 (x + 2) = 0 $, entonces $ mathbf {x neq -2} $.

C. Exprese $ f (x) $ como una fracción teniendo $ 1 $ como denominador, por lo que $ f (x) = dfrac {x ^ 2 - 3x - 54} {1} $. Ahora, aplique el mismo proceso para encontrar el recíproco negativo, $ h (x) $.

$begin{aligned}h(x)&=-1cdot dfrac{1}{x^2-3x-54}&=mathbf{-dfrac{1}{x^2-3x-54}} end{aligned}$

Dado que $ f (x) $ es un polinomio, no tiene restricciones para $ x $. Su recíproco negativo, sin embargo, no puede tener cero en su denominador. Podemos encontrar las restricciones para $ h (x) $ encontrando los valores donde $ x ^ 2 - 3x - 54 $ es cero.

$ comenzar {alineado} x ^ 2 -3x - 54 & = 0 (x - 9) (x + 6) & = 0 x & = 9 x & -6end {alineado} $

Esto significa que para que $ h (x) $ sea v√°lido, $ mathbf {x neq {-6,9}} $.

ejemplo 3

La gr√°fica de la funci√≥n lineal, $ f (x) $, es perpendicular a la gr√°fica de $ h (x) $, que tambi√©n es una funci√≥n lineal. Si $ f (x) $ tiene una pendiente de $ -dfrac {2} {3} $, ¬Ņcu√°l es la pendiente de $ h (x) $?

Solución

Como mencionamos en la discusión, encontrar recíprocos negativos es crucial cuando se encuentran las pendientes de las líneas perpendiculares.

Dado que tenemos la pendiente de $ f (x) $, podemos encontrar la pendiente de $ h (x) $ encontrando el recíproco negativo de $ -dfrac {2} {3} $.

$ comenzar {alineado} m_perp & = -1 cdot-dfrac {3} {2} & = dfrac {3} {2} fin {alineado} $

Esto significa que la pendiente de $ h (x) $ es $ dfrac {3} {2} $ para que sea perpendicular a $ f (x) $.

ejemplo 4

El rec√≠proco negativo de $ f (x) $ es $ dfrac {x ^ 2 - 2} {x - 5} $. ¬ŅCu√°l es la expresi√≥n para $ f (x) $?

Solución

Esta vez, tenemos el recíproco negativo. Necesitamos encontrar la expresión para $ f (x) $ invirtiendo los pasos:

  • Comenzamos multiplicando $ -1 $ por el rec√≠proco negativo para revertir los cambios en el signo.
  • Cambia los lugares del numerador y denominador del rec√≠proco negativo.

$begin{aligned}f(x)&=-1cdot dfrac{x-5}{x^2-2}&=dfrac{-x+5}{x^2-2} end{aligned}$

Esto significa que $ mathbf {f (x) = dfrac {-x + 5} {x ^ 2-2}} $.

¬ŅNotas algo sobre los pasos? En realidad, son el mismo proceso porque el rec√≠proco negativo del rec√≠proco negativo de una funci√≥n ser√° $ mathbf {f (x)} $.

ejemplo 6

Si un n√ļmero dado es veintisiete veces m√°s grande que el cuadrado de su rec√≠proco negativo, calcule el n√ļmero.

Solución

Sea $ n $ el n√ļmero que estamos buscando, por lo que su negativo se puede expresar como $ -dfrac {1} {n} $. Prepara la ecuaci√≥n que representa la situaci√≥n.

$ n = 27cdotleft (-dfrac {1} {n} right) ^ 2 $

Simplifique esta ecuaci√≥n multiplicando ambos lados de la ecuaci√≥n por $ n ^ 2 $ y tomando la ra√≠z c√ļbica de ambos lados de la ecuaci√≥n.

$begin{aligned}n&=dfrac{27}{n^2}n^3&=27sqrt[3]{n^3} &=sqrt[3]{27}n&=3  end{aligned}$

Esto significa que para que el n√ļmero satisfaga la condici√≥n, debe ser igual a 3.

Preguntas de pr√°ctica

1. Complete la siguiente tabla encontrando los respectivos recíprocos negativos de lo siguiente.

2. Sea $ h (x) $ el rec√≠proco negativo de $ f (x) $ para cada una de las siguientes funciones. Encuentre el $ h (x) $. ¬ŅCu√°les son las restricciones para $ x $ en cada caso?

una. $ f (x) = dfrac {2} {3x - 5} $
B. $ f (x) = dfrac {x} {2 (x - 3)} $
C. $ f (x) = x ^ 2 - 7x - 30 $
D. $ f (x) = 1 + dfrac {1} {x - 2} $

3. ¬ŅVerdadero o falso? El rec√≠proco del rec√≠proco negativo de una funci√≥n es igual a la funci√≥n misma.
4. La gr√°fica de la funci√≥n lineal, $ f (x) $, es perpendicular a la gr√°fica de $ h (x) $, que tambi√©n es una funci√≥n lineal. Si $ f (x) $ tiene una pendiente de $ -2dfrac {1} {5} $, ¬Ņcu√°l es la pendiente de $ h (x) $?
5. El rec√≠proco negativo de $ f (x) $ es $ dfrac {x ^ 2 - 2} {x - 5} $. ¬ŅCu√°l es la expresi√≥n para $ f (x) $?
6. Sea $ h (x) $ el recíproco negativo de $ f (x) $.
una. ¬ŅCu√°l es la expresi√≥n de $ h (x) $ dado que $ f (x) = dfrac {4x - 3} {2} $?
B. ¬ŅCu√°les son las restricciones para $ x $ para que existan tanto $ f (x) $ como $ h (x) $?
C. Utilice su conocimiento para graficar funciones recíprocas para graficar $ h (x) $. Incluya las asíntotas vertical y horizontal.
7. Si un n√ļmero dado es sesenta y cuatro veces m√°s grande que el cuadrado de su rec√≠proco negativo, calcule el n√ļmero.



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