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    Reflexión en geometría: explicación y ejemplos

    Quien soy
    Judit Llordes
    @juditllordes

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    Reflexión en geometría: explicación y ejemplos

    Un reflejo en geometría es la transformación de un objeto mediante la creación de una imagen especular del mismo en el otro lado de una línea determinada.

    A menudo, esta línea es el eje x, el eje y o la línea $ y = x $.

    Antes de continuar, aseg√ļrese de revisar las transformaciones matem√°ticas y coordinar la geometr√≠a.

    Este tema cubre:

    • ¬ŅQu√© es un reflejo en geometr√≠a?
    • C√≥mo hacer reflejos geom√©tricos
    • Definici√≥n de reflexi√≥n de geometr√≠a

     

    ¬ŅQu√© es un reflejo en geometr√≠a?

    Un reflejo en geometría es una imagen especular de una función u objeto sobre una línea dada en el plano. Las líneas que se utilizan con más frecuencia son el eje y, el eje x y la línea $ y = x $, aunque técnicamente cualquier línea recta funcionará.



    Un reflejo invierte la orientación del objeto en relación con la línea dada. La figura final estará a la misma distancia de la línea que la preimagen pero en el lado opuesto. Si la figura original está cerca de la línea, la figura reflejada también estará cerca de la línea. Si la figura original está más alejada de la línea, la figura reflejada también estará más alejada de la línea.

    Dicho de otra manera, el punto medio entre dos puntos correspondientes en la imagen original y la imagen reflejada se encuentra en la línea de reflexión.

    Para visualizar la versión reflejada de un objeto, imagine un recorte del objeto sentado sobre una mesa. Si toma el original y lo voltea hacia la parte trasera mientras lo mueve sobre la línea dada, tendrá la orientación de la versión reflejada.


    La línea de reflexión

    Cualquier línea puede ser una línea de reflexión, pero los ejes y la línea que pasa por el origen con pendiente 1 son los más comunes.


    Tenga en cuenta que podemos utilizar más de una línea en una serie de reflexiones. Por ejemplo, puede reflejar un objeto sobre el eje xy luego sobre el eje y.

    ¬ŅQu√© sucede cuando un objeto pasa por la l√≠nea dada?

    En ese caso, los dos lados del objeto se tratan por separado. Refleje la parte de la derecha a la izquierda de la línea y luego refleje la parte de la izquierda de la línea en el lado derecho.

    Cualquier función que pase por el eje y y se asigne a sí misma cuando se refleja sobre el eje y es una función par. Dicho de otra manera, incluso las funciones son simétricas con respecto al eje y.

    Si una función que pasa por el origen se asigna a sí misma después de reflejarse sobre el eje y y el eje x, es una función impar.

    Cómo hacer reflejos geométricos

    Las reflexiones geométricas sobre los ejes u otras líneas verticales y horizontales son más simples que las reflexiones sobre otras líneas.

    Al igual que con otros tipos de transformaciones, encuentre las coordenadas de los puntos clave para la función u objeto y transfórmelas. Luego, "conecta los puntos" para completar la figura.

    Reflexión sobre el eje y

    Una reflexión sobre el eje y cambia el signo de cada uno de los valores x de las coordenadas de una figura. Es decir:


    $(x, y) ‚Üí (-x, y)$.

    Reflexión sobre el eje x

    Una reflexión sobre el eje x cambia el signo de cada uno de los valores y de las coordenadas de una figura. Es decir:

    $(x, y) ‚Üí (x, -y)$.

    Otras líneas horizontales y verticales

    La forma más sencilla de hacer una reflexión sobre otra línea horizontal o vertical es:

    1. Dibujar la línea
    2. Considere la línea y el objeto original como una figura.
    3. Traslade la figura completa a la línea de mapas de reflexión al eje x (para líneas horizontales) o al eje y (para líneas verticales).
    4. Refleja el objeto original sobre los ejes.
    5. Deshaga la traducción del paso 3. Es decir, si trasladó la cifra de 4 unidades a la derecha, traslade la cifra de 4 unidades a la izquierda.

    Otras líneas de reflexión

    Otras líneas de reflexión son más complicadas. Esta es una situación en la que la construcción con un compás y una regla ayuda a coordinar la geometría.


    Primero, cree una línea desde cada punto clave de la figura que se encuentre con la línea de reflexión en ángulo recto. Luego, extiende esta línea para que el punto de intersección con la línea de reflexión sea el punto medio. El otro punto final de esta línea es el punto correspondiente en la reflexión.

    El ejemplo 4 cubre esto con mayor detalle.

    Definición de reflexión de geometría

    Un reflejo es una transformación que proyecta una imagen especular de un objeto dado sobre una línea determinada.


    Ejemplos

    Esta sección cubre ejemplos comunes de problemas que involucran reflexiones matemáticas y sus soluciones paso a paso.

    ejemplo 1

    El segmento de l√≠nea AB se asigna a CD a trav√©s de una reflexi√≥n. ¬ŅQu√© es la l√≠nea de reflexi√≥n?


     

    Ejemplo 1 Solución

    Primero, para encontrar la línea de reflexión, conecte los puntos clave a su punto correspondiente en la figura reflejada. En este caso, conecte CA y DB.

    Luego, encuentra los puntos medios de cada uno de estos segmentos. Ll√°malos E y F.

    Luego, conecta los puntos medios para encontrar la línea de reflexión. En este caso, la línea que conecta E y F es la línea vertical $ x = 4 $.

    ejemplo 2

    Refleja el objeto dado sobre el eje x.

     

    Ejemplo 2 Solución

    Tenga en cuenta que los puntos del eje x se asignarán a sí mismos.

    Dado que se trata de una reflexión sobre el eje x, primero debemos encontrar las coordenadas de los vértices de la figura. Estos son (3, 1), (5, -2), (8, 2) y (6, 3).

    Luego, para encontrar los puntos correspondientes en la figura reflejada, cambie el valor del signo de la coordenada y de cada punto. Esto hace que A '(3, -1), B' (5, 2), C '(8, -2) y D' (6, -3). Luego, conecta la figura A'B'C'D 'para completar la reflexión.

    ejemplo 3

    Refleja la funci√≥n dada sobre el eje y. ¬ŅLa funci√≥n es pareja?

    Ejemplo 3 Solución

    Esta función pasa por el eje y y el punto (0, 0). También pasa por los puntos (1, 2) y (-1, 2).

    El reflejo del punto (1, 2) sobre el eje y hace que la coordenada x sea negativa. Es decir, la reflexión es (-1, 2), que también es un punto de la función. Del mismo modo, (-1, 2) se asigna a (1, 2).

    Por lo tanto, la función se asigna a sí misma cuando se refleja sobre el eje y. Por tanto, por definición, es una función par.

    ejemplo 4

    Refleja el triángulo dado sobre la línea dada.

    Ejemplo 4 Solución

    Para reflejar sobre una línea no vertical o no horizontal, cree un segmento de línea desde el vértice de cada triángulo hasta la línea dada. En particular, estos segmentos de línea deben encontrarse con la línea dada en ángulos rectos.

    Luego, extienda estas líneas a nuevos puntos para que D, E y F sean el centro de los nuevos segmentos de línea. Podemos hacer esto extendiendo las líneas con una regla. Luego, cree círculos con centro F y radio FC, centro E y radio EB, y centro D y radio DA.

    La intersección de las líneas extendidas con estos círculos nos da los vértices reflejados. Luego, conecta estos vértices para completar la reflexión.

    ejemplo 5

    Refleja el cuadrado sobre el eje y y el eje x.

    Ejemplo 5 Solución

    Tenga en cuenta que el orden de los reflejos no importa. La imagen ser√° la misma si primero se refleja sobre el eje xy luego sobre el eje y o si reflexiona sobre el eje y y luego el eje x.

    Tenga en cuenta que, dado que el cuadrado tiene líneas de simetría verticales y horizontales, permanecerá igual cuando se refleje sobre una línea vertical u horizontal.

    Las coordenadas originales son (3, 1), (4, 1), (4, 2) y (3, 2). Dado que el objeto se refleja en ambos ejes, las coordenadas x e y cambiarán de signo. Por lo tanto, las coordenadas de la reflexión son (-3, -1), (-4, -1), (-4, -2) y (-3, -2).

    Problemas de pr√°ctica

    1. Refleja la función sobre el eje xy el eje y.

    2. Refleja el objeto sobre la línea y = 2.

    3. ¬ŅQu√© es la l√≠nea de reflexi√≥n?

    4. Refleja el objeto dado sobre la línea dada.

    5. Un objeto tiene coordenadas (9, 1), (3, 4) y (-3, 5). ¬ŅCu√°les son las coordenadas despu√©s de que el objeto se refleja sobre el eje y?

     

    Pr√°ctica de soluciones de problemas

    1. La funci√≥n es extra√Īa, por lo que se asigna a s√≠ misma.

    2. La línea de reflexión es $ y = frac {1} {2} $.

    3. Las nuevas coordenadas son (-9, 1), (-3, 4) y (3, 5).

    Las im√°genes / dibujos matem√°ticos se crean con GeoGebra.



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