Regla de Cramer para un sistema 2 × 2 (con dos variables)

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Regla de Cramer para un sistema 2 × 2 (con dos variables)

Regla de Cramer es otro método que puede resolver sistemas de ecuaciones lineales usando determinantes.

En términos de notaciones, una matriz es una matriz de números encerrados entre corchetes mientras determinante es una matriz de números encerrados por dos barras verticales.

Notations

La fórmula para encontrar el determinante de una matriz de 2 x 2 es muy sencillo.




Hagamos una revisión rápida:

El determinante de una matriz de 2 x 2

Ejemplos rápidos de cómo encontrar los determinantes de una matriz de 2 x 2

ejemplo 1: Encuentre el determinante de la matriz A a continuación.


ejemplo 2: Encuentre el determinante de la matriz B a continuación.


ejemplo 3: Encuentre el determinante de la matriz C a continuación.



Después de saber cómo encontrar el determinante de una matriz de 2 x 2, ahora está listo para aprender los procedimientos o pasos sobre cómo usar la regla de Cramer. ¡Aquí vamos!

Reglas de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales con dos variables

  • Dado un sistema lineal
  • Asignar nombres para cada matriz

matriz de coeficientes:     


X - matriz:     

Y - matriz:     

A resuelve para la variable x.

A resuelve para la variable y.

Algunos puntos a considerar al mirar la fórmula:

1) Las columnas de grande {x}, grande {y} y los términos constantes grande {c} se obtienen de la siguiente manera:

2) Ambos denominadores al resolver grandes {x} y grandes {y} son iguales. Vienen de las columnas de {x} grande y {y} grande.

3) Observando el numerador al resolver la {x} grande, los coeficientes de la columna {x} grande se reemplazan por la columna constante (en rojo).

4) De la misma manera, para resolver para {y} grande, los coeficientes de la columna {y} grande se reemplazan por la columna constante (en rojo).

Ejemplos de cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos variables usando la regla de Cramer

ejemplo 1: Resuelva el sistema con dos variables según la regla de Cramer

Empiece por extraer las tres matrices relevantes: coeficiente, grande {x} y grande {y}. Luego resuelve cada determinante correspondiente.

  • Ayudas matriz de coeficientes
  • Ayudas X - matriz
  • Ayudas Y - matriz

Una vez que se hayan calculado los tres determinantes, es hora de resolver los valores de {x} y {y} grande usando la fórmula anterior.

Puedo escribir la respuesta final como grande {izquierda ({x, y} derecha) = izquierda ({2, - 1} derecha)}.

ejemplo 2: Resuelva el sistema con dos variables según la regla de Cramer

Configure sus matrices de coeficiente, grande {x} y grande {y} a partir del sistema dado de ecuaciones lineales. Luego calcule sus determinantes en consecuencia.

Recuerda que nosotros restar siempre los productos de las entradas diagonales.

  • Para la matriz de coeficientes (use los coeficientes de las variables x e y)
  • Para la X - matriz (reemplace la columna x por la columna constante)
  • Para la Y - matriz (reemplace la columna y por la columna constante)

Espero que se sienta cómodo computando el determinante de una matriz bidimensional. Para finalmente resolver las variables requeridas, obtengo los siguientes resultados ...

Escribiendo la respuesta final en notación de puntos, obtuve grande {izquierda ({x, y} derecha) = izquierda ({6, - 5} derecha)}.

ejemplo 3: Resuelva el sistema con dos variables según la regla de Cramer

En realidad, este problema se puede resolver con bastante facilidad mediante el método de eliminación. Esto se debe a que los coeficientes de la variable x son los "mismos" pero solo opuestos en los signos (+1 y −1). Para resolver esto usando el método de eliminación, agregas sus columnas correspondientes y la variable x desaparece, dejándote con una ecuación de un paso en {y} grande. Menciono esto porque cada técnica tiene deficiencias y es mejor elegir la más eficiente. Siempre aclare con su maestro si está bien usar otro enfoque cuando el método no está especificado en un problema dado.

De todos modos, ya que estamos aprendiendo a resolver con la regla de Cramer, sigamos adelante y lo resolvamos con este método.

Construiré tres matrices (coeficiente, grande {x} y grande {y}) y evaluaré sus determinantes correspondientes.

  • Ayudas matriz de coeficientes
  • Ayudas X - matriz (escrito como D mayúscula con subíndice x)
  • Ayudas Y - matriz (escrito como D mayúscula con subíndice y)

Después de obtener los valores de los tres determinantes requeridos, calcularé grande {x} y grande {y} como sigue.

La respuesta final en forma de puntos es grande {izquierda ({x, y} derecha) = izquierda ({- 1,2} derecha)}.

ejemplo 4: Resuelva por la regla de Cramer el sistema con dos variables

Como ya hemos repasado algunos ejemplos, le sugiero que intente este problema por su cuenta. Luego, compare sus respuestas con la siguiente solución.

Si lo hace bien la primera vez, significa que se está convirtiendo en un "profesional" con respecto a la regla de Cramer. Si no lo hizo, intente averiguar qué salió mal y aprenda a no cometer el mismo error la próxima vez. Así es como te vuelves mejor en matemáticas. Estudie muchos tipos de problemas y, lo que es más importante, practique de forma independiente.

  • Ayudas matriz de coeficientes
  • Ayudas X - matriz
  • Ayudas Y - matriz

Debería obtener la respuesta a continuación ...

ejemplo 5: Resuelva el sistema con dos variables según la regla de Cramer

Para nuestro último ejemplo, incluí un cero en la columna constante. Cada vez que vea el número cero en la columna constante, le recomiendo usar la regla de Cramer para resolver el sistema de ecuaciones lineales. ¿Por qué? Porque el cálculo de los determinantes para matrices grandes {x} y grandes {y} se vuelve drásticamente muy fácil. ¡Compruébelo usted mismo!

  • Ayudas matriz de coeficientes
  • Ayudas X - matriz
  • Ayudas Y - matriz

La solución final a este problema es

Practica con hojas de trabajo

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