Reglas o leyes de los logaritmos

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Judit Llordes
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Reglas o leyes de los logaritmos

En esta lección, se le presentarán las reglas comunes de los logaritmos, también conocidas como las "reglas de registro". Estas siete (7) reglas logarítmicas son útiles para expandir logaritmos, condensar logaritmos y resolver ecuaciones logarítmicas. Además, dado que la inversa de una función logarítmica es una función exponencial, también le recomendaría que repase y domine las reglas de los exponentes. Créame, siempre van de la mano.

Si alguna vez le interesa saber por qué funcionan las reglas de los logaritmos, consulte mi lección sobre pruebas o justificaciones de las propiedades de los logaritmos.



Reglas de logaritmos

Descripciones de las reglas de logaritmos

Regla 1: Regla de producto


El logaritmo del producto es la suma de los logaritmos de los factores.

Regla 2: Regla del cociente

El logaritmo de la razón de dos cantidades es el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.



Regla 3: Regla del poder

El logaritmo de un número exponencial es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

Regla 4: Regla cero

El logaritmo de 1 tal que b> 0 pero b ≠ 1 es igual a cero.


Regla 5: Regla de identidad

El logaritmo del argumento (dentro del paréntesis) en el que el argumento es el mismo que la base es igual a 1. Dado que el argumento es igual a la base, b debe ser mayor que 0 pero no puede ser igual a 1.


Regla 6: Regla del logaritmo del exponente (regla del logaritmo de una base a una potencia)

El logaritmo de un número exponencial donde su base es la misma que la base del logaritmo es igual al exponente.

Regla 7: exponente de la regla logarítmica (una base para una regla de potencia logarítmica)

Elevar el logaritmo de un número a su base es igual al número.

Ejemplos de cómo aplicar las reglas de registro

Ejemplo 1: Evalúe la siguiente expresión usando Reglas de registro.

{log _2} 8 + {log _2} 4

Expresa 8 y 4 como números exponenciales con una base de 2. Luego, aplica la regla de potencia seguida de la regla de identidad. Después de hacerlo, agrega los valores resultantes para obtener su respuesta final.


Entonces la respuesta es el color {azul} 5.

Ejemplo 2: Evalúe la siguiente expresión usando Reglas de registro.

{log _3} 162 - {log _3} 2

No podemos expresar 162 como un número exponencial con base 3. Parece que estamos estancados ya que no hay reglas que se puedan aplicar de manera directa.

Sin embargo, ¡está bien aplicar las reglas de logaritmos al revés! Observe que la expresión logarítmica se puede expresar como uno o un número logarítmico único mediante el uso de la regla del cociente al revés. Suena como un plan.

¡Lo hicimos! Al aplicar las reglas a la inversa, generamos una única expresión logarítmica que se puede resolver fácilmente. La respuesta final aquí es el color {azul} 4.

Ejemplo 3: Evalúa la siguiente expresión.

Parece que suceden tantas cosas al mismo tiempo. Primero, verifique si es posible simplificar cada uno de los números logarítmicos. Si no es así, comience a pensar en algunas de las reglas logarítmicas que obviamente son aplicables.

Por observación, vemos que hay dos bases involucradas: 5 y 4. Entonces, ¿por qué no juntar las expresiones que tengan la misma base? Simplifiquémoslos por separado.

Para el registro con base 5, primero aplique la regla de la potencia seguida de la regla del cociente. Para troncos con base 4, aplique la Regla del producto inmediatamente. Luego obtenga la respuesta final sumando los dos valores encontrados.

Sí, la respuesta final es el color {azul} 7.

Ejemplo 4: Expanda la expresión logarítmica a continuación.

{log _3} izquierda ({27 {x ^ 2} {y ^ 5}} derecha)

Dentro del paréntesis hay un producto de factores. Aplique la regla del producto para dividirlos como la suma de las expresiones logarítmicas individuales. Asegúrese de hacer todo lo posible para simplificar las expresiones numéricas en un valor exacto siempre que sea posible. Utilice la regla 5 (regla de identidad) tanto como pueda porque puede hacer que el proceso de simplificación sea bastante fácil.

¡Así es! La última línea de la solución detallada, como se muestra arriba, es la respuesta final. Aunque debo admitir que se ven un poco “inconclusos”. Siempre que sepamos que aplicamos correctamente las reglas, no debería preocuparnos en absoluto.

ejemplo 5: Expande la expresión logarítmica.

El enfoque es aplicar la regla del cociente primero como la diferencia de dos expresiones logarítmicas porque están en forma fraccionaria. Luego, utilice la regla del producto para separar el producto de factores como la suma de expresiones logarítmicas.

ejemplo 6: Expande la expresión logarítmica.

Entonces este tiene una expresión radical en el denominador. Recuerde que el símbolo de la raíz cuadrada es lo mismo que tener un poder de {1 sobre 2}. Exprese el denominador radical como {y ^ {{1 sobre 2}}}. Al igual que en el problema 5, aplique la regla del cociente para los registros y luego use la regla del producto.

ejemplo 7: Expande la expresión logarítmica.

Un problema como este puede hacer que dudes si en verdad llegaste a la respuesta correcta porque la respuesta final aún puede parecer “inacabada”. Sin embargo, siempre que aplique las reglas de registro correctamente en cada paso, no hay nada de qué preocuparse.

Puede notar que primero debemos aplicar la regla del cociente porque la expresión está en forma fraccionaria.

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