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    Relaciones y funciones

    Quien soy
    Joel Fulleda
    @joelfulleda

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    Relaciones y funciones

    Empecemos diciendo que un relación es simplemente un conjunto o colección de pares ordenados. No tiene nada de especial. Un par ordenado, comúnmente conocido como punto, tiene dos componentes que son las coordenadas xey.

    Este es un ejemplo de un par ordenado.

    Ideas principales y formas de escribir o representar relaciones

    Siempre que los números vengan en pares, eso se convierte en una relación. Si puede escribir un montón de puntos (pares ordenados), entonces ya sabe cómo se ve una relación. Por ejemplo, aquí tenemos una relación que tiene cinco pares ordenados escritos en notación de conjuntos usando llaves.




    Relación en notación de conjuntos

    Sin embargo, además de la notación de conjuntos, hay otras formas de escribir esta misma relación. Podemos mostrarlo en una tabla, graficarlo en el eje xy y expresarlo usando un diagrama de mapeo.

    • Relación en la tabla
    • Relación en gráfico
    • Relación en el diagrama de mapeo

    También podemos describir el dominio y rango de una relación dada.



    • El dominio es el conjunto de todos los valores xo de entrada. Podemos describirlo como la colección de los primeros valores en los pares ordenados.
    • El distancia es el conjunto de todos los valores de salida y o. Podemos describirlo como la colección de los segundos valores en los pares ordenados.

    Entonces, en la relación de abajo 

    nuestro dominio y rango son los siguientes:


    Cuando enumere los elementos de dominio y rango, elimine los duplicados y escríbalos en orden creciente.

    ¿Qué hace que una relación sea una función?

    Por otro lado, un función es en realidad un tipo de relación "especial" porque sigue una regla adicional. Al igual que una relación, una función también es un conjunto de pares ordenados; sin embargo, cada valor de x debe estar asociado a un solo valor de y.


    Supongamos que tenemos dos relaciones escritas en tablas,

    • Una relación que es no es una función

    Dado que tenemos repeticiones o duplicados de valores de x con diferentes valores de y, entonces esta relación deja de ser una función.

    • Una relación que es Una función

    Esta relación es definitivamente una función porque cada valor de x es único y está asociado con un solo valor de y.

    Entonces, para un resumen rápido, si ve duplicados o repeticiones en los valores x, la relación no es una función. Sin embargo, ¿qué tal este ejemplo? ¿No es esto una función porque tenemos entradas repetidas en x?

    Tenga mucho cuidado aquí. Sí, tenemos valores repetidos de x pero están asociados con el mismo valor de y. El punto (1,5) aparece dos veces, y mientras que el punto (3, -8) se escribe tres veces. Esta tabla se puede limpiar escribiendo una sola copia de los pares ordenados repetidos.


    ¡La relación es ahora claramente una función!

    Ejemplos de cómo determinar si una relación también es una función

    Repasemos algunos ejemplos más identificando si una relación dada es una función o no.

    Ejemplo 1: ¿La relación expresada en el diagrama de mapeo es una función?

    Cada elemento del dominio se rastrea a un único elemento en el rango. Sin embargo, está bien que dos o más valores en el dominio compartan un valor común en el rango. Es decir, aunque los elementos 5 y 10 del dominio comparten el mismo valor de 2 en el rango, esta relación sigue siendo una función.

    Ejemplo 2: ¿La relación expresada en el diagrama de mapeo es una función?

    ¿Qué piensas? ¿Cada valor en el dominio apunta a un solo valor en el rango? ¡Absolutamente! No hay nada de malo cuando cuatro elementos que provienen del dominio comparten un valor común en el rango. Este también es un gran ejemplo de una función.

    Ejemplo 3: ¿La relación expresada en el diagrama de mapeo es una función?

    ¿Desordenado? ¡Sí! ¿Confuso? Realmente no. Lo único que busco es observar si un elemento en el dominio está siendo "codicioso" al querer emparejarse con más de un elemento en el rango. El elemento 15 tiene dos flechas que apuntan tanto al 7 como al 9. Esto es una clara violación del requisito de ser una función. Una función se comporta bien, es decir, cada elemento del dominio debe apuntar a un elemento del rango. Por tanto, esta relación es no es una función.

    Ejemplo 4: ¿La relación expresada en el diagrama de mapeo es una función?

    Si cree que el ejemplo 3 fue "malo", esto es "peor". Un solo elemento en el dominio se empareja con cuatro elementos en el rango. Recuerde, si un elemento en el dominio se asocia con más de un elemento en el rango, la relación se descalifica automáticamente para ser una función. Por tanto, esta relación es absolutamente no es una función.

    Ejemplo 5: ¿Es el diagrama de mapeo una relación o función?

    Permítanme mostrarles este ejemplo para resaltar una idea muy importante sobre una función que generalmente se ignora. Tu profesor puede darte algo como esto solo para comprobar si prestas atención a los detalles de la definición de una función.

    Hasta ahora parece normal. Pero hay un pequeño problema. El elemento "2" del dominio no se empareja con ningún elemento del rango.

    ¡Aquí está el trato! Cada elemento del dominio deben tener algún tipo de correspondencia con los elementos en el rango para que se considere una relación, al menos. Dado que esto no es una relación, se deduce que no puede ser una función.

    Entonces, la respuesta final es ninguno una relación ni una función.



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