Graficar funciones cúbicas da un modelo bidimensional de funciones donde x se eleva a la tercera potencia.
Graficar funciones cúbicas es similar a graficar funciones cuadráticas de alguna manera. En particular, podemos usar la forma básica de una gráfica cúbica para ayudarnos a crear modelos de funciones cúbicas más complicadas.
Antes de aprender a graficar funciones cúbicas, es útil repasar las transformaciones de gráficos, coordinar la geometría y graficar funciones cuadráticas. Graficar funciones cúbicas también requerirá una buena familiaridad con el álgebra y la manipulación algebraica de ecuaciones.
name="c-mo-graficar-una-funci-n-c-bica">Cómo graficar una función cúbica
Antes de graficar una función cúbica, es importante que nos familiaricemos con la función madre, y = x3.
Existen métodos de cálculo que facilitan la búsqueda de los extremos locales. En particular, podemos encontrar la derivada de la función cúbica, que será una función cuadrática. Luego, podemos usar los puntos clave de esta función para averiguar dónde están los puntos clave de la función cúbica. Sin embargo, esto se tratará con mayor profundidad en las secciones de cálculo sobre el uso de la derivada.
Aquí, nos centraremos en cómo podemos usar transformaciones gráficas para encontrar la forma y los puntos clave de una función cúbica.
name="puntos-clave-de-la-funci-n-principal">Puntos clave de la función principal
La función padre, x3, pasa por el origen. Tiene una forma que parece que dos mitades de parábolas que apuntan en direcciones opuestas se han pegado juntas.
name="v-rtice">Vértice
El vértice de la función cúbica es el punto donde la función cambia de dirección. En la función padre, este punto es el origen.
Para desplazar este vértice hacia la izquierda o hacia la derecha, podemos sumar o restar números a la parte al cubo de la función. Por ejemplo, la función (x-1) 3 es la función cúbica desplazada una unidad hacia la derecha. En este caso, el vértice está en (1, 0).
Para cambiar esta función hacia arriba o hacia abajo, podemos sumar o restar números después de la parte al cubo de la función. Por ejemplo, la función x3 + 1 es la función cúbica desplazada una unidad hacia arriba. Su vértice es (0, 1).
name="reflexi-n">Reflexión
Como antes, si multiplicamos la función al cubo por un número a, podemos cambiar el estiramiento de la gráfica. Por ejemplo, 0.5x3 comprime la función, mientras que 2x3 la amplía.
Si este número, a, es negativo, invierte el gráfico como se muestra.
name="la-intersecci-n-con-el-eje-y">La intersección con el eje y
Al igual que con las funciones cuadráticas y las funciones lineales, la intersección en y es el punto donde x = 0. Para encontrarlo, simplemente encuentre el punto f (0).
En la función padre, la intersección con el eje y y el vértice son uno y el mismo. En la función (x-1) 3, la intersección con el eje y es (0-1) 3 = - (- 1) 3 = -1.
name="las-intersecciones-con-x-">Las intersecciones con x.
A diferencia de las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas siempre tendrán al menos una solución real. Pueden tener hasta tres. Por ejemplo, la función x (x-1) (x + 1) se simplifica a x3-x. Sin embargo, desde la forma inicial de la función, podemos ver que esta función será igual a 0 cuando x = 0, x = 1 o x = -1.
Existe una fórmula para las soluciones de una ecuación cúbica, pero es mucho más complicada que la correspondiente para las cuadráticas:
3√((-b³/27a³+bc/6a²–d/2a²)+√((-b³/27a³+bc/6a²–d/2a²)²+(c/3a–b²/9a²)³))+3√((-b³/27a³+bc/6a²–d/2a²)+√((-b³/27a³+bc/6a²–d/2a²)²-(c/3a–b²/9a²)³))–b/3a.
Esta es una fórmula bastante larga, por lo que muchas personas confían en las calculadoras para encontrar los ceros de funciones cúbicas que no se pueden factorizar fácilmente.
name="ejemplos">Ejemplos
Esta sección repasará cómo graficar ejemplos simples de funciones cúbicas sin usar derivadas.
name="ejemplo-1">ejemplo 1
name="ejemplo-1-soluci-n">Ejemplo 1 Solución
La única diferencia entre la función dada y la función principal es la presencia de un signo negativo. Si multiplicamos una función cúbica por un número negativo, refleja la función sobre el eje x.
Por tanto, la función -x3 es simplemente la función x3 reflejada sobre el eje x. Su vértice sigue siendo (0, 0). Este punto también es la única intersección con el eje x o la intersección con el eje y en la función.
name="ejemplo-2">ejemplo 2
Grafique la función (x-2) 3-4.
name="ejemplo-2-soluci-n">Ejemplo 2 Solución
Nuevamente, usaremos la función padre x3 para encontrar la gráfica de la función dada.
En este caso, debemos recordar que todos los números agregados al término x de la función representan un desplazamiento horizontal, mientras que todos los números agregados a la función como un todo representan un desplazamiento vertical.
En la función dada, restamos 2 de x, que representa un desplazamiento de vértice dos unidades hacia la derecha. Esto puede parecer contradictorio porque, por lo general, los números negativos representan el movimiento hacia la izquierda y los números positivos representan el movimiento hacia la derecha. Sin embargo, en las transformaciones de gráficos, todas las transformaciones realizadas directamente ax toman la dirección opuesta esperada.
También restamos 4 de la función como un todo. Esto significa que desplazaremos el vértice cuatro unidades hacia abajo.
Aparte de estos dos cambios, la función es muy parecida a la función principal. El vértice estará en el punto (2, -4).
La nueva intersección con el eje y será:
-8-4
Por tanto, el punto es (0, -12).
Podemos resolver esta ecuación para x para encontrar las intersecciones en x:
En este punto, tenemos que sacar la raíz al cubo de ambos lados. Esto nos da:
La aproximación decimal de este número es 3.59, por lo que la intersección con el eje x es aproximadamente (3.59, 0).
Por lo tanto, graficamos la función como se muestra a continuación.
name="ejemplo-3">ejemplo 3
Simplifica la función x (x-2) (x + 2). Luego, encuentre los puntos clave de esta función.
name="ejemplo-3-soluci-n">Ejemplo 3 Solución
En la forma actual, es fácil encontrar las intersecciones en x e y de esta función.
Establecer x = 0 nos da 0 (-2) (2) = 0. Por lo tanto, la intersección con el eje y es (0, 0). Esto también será, en consecuencia, una intersección con el eje x.
En este caso, sin embargo, tenemos más de una intersección con el eje x. Si x = 2, el término medio, (x-2) será igual a 0, y la función será igual a 0. Asimismo, si x = -2, el último término será igual a 0, y en consecuencia la función será igual a 0.
Por lo tanto, tenemos tres intersecciones con el eje x: (0, 0), (-2, 0) y (2, 0).
Expandir la función nos da x3-4x. Como no agregamos nada directamente a la x al cubo ni a la función en sí, el vértice es el punto (0, 0).
En consecuencia, la función corresponde al gráfico siguiente.
name="ejemplo-4">ejemplo 4
Simplifica y representa gráficamente la función x (x-1) (x + 3) +2. Luego, encuentre los puntos clave de esta función.
name="ejemplo-4-soluci-n">Ejemplo 4 Solución
Supongamos, por un momento, que esta función no incluye un 2 al final. Las intersecciones con el eje x de una función x (x-1) (x + 3) son 0, 1 y -3 porque si x es igual a cualquiera de esos números, la función completa será igual a 0.
Expandir la función x (x-1) (x + 3) nos da x3 + 2x2-3x. Nuevamente, dado que no se agrega nada directamente a la x y no hay nada al final de la función, el vértice de esta función es (0, 0).
Ahora, agreguemos el 2 al final y pensemos en lo que hace esto.
Efectivamente, simplemente desplazamos la función x (x-1) (x + 3) hacia arriba dos unidades. Podemos sumar 2 a todos los valores de y en nuestras intersecciones.
Es decir, ahora conocemos los puntos (0, 2), (1, 2) y (-3, 2). El primer punto, (0, 2) es la intersección con el eje y.
La intersección con el eje x de esta función es más complicada. Para fines gráficos, podemos simplemente aproximarlo desplazando la gráfica de la función x (x-1) (x + 3) dos unidades hacia arriba, como se muestra.
name="ejemplo-5">ejemplo 5
Determina la expresión algebraica para la función cúbica que se muestra. Asegúrese de identificar también los puntos clave.
name="ejemplo-5-soluci-n">Ejemplo 5 Solución
La forma de esta función es muy similar a una función x3. Podemos ver si es simplemente una función x al cubo con un vértice desplazado determinando el vértice y probando algunos puntos.
Parece que el vértice está en el punto (1, 5). También podemos ver los puntos (0, 4), que es la intersección con el eje y, y (2, 6).
Si la función es solo un cambio de la función x3, la ubicación del vértice implica que su representación algebraica es (x-1) 3 + 5.
Si x = 0, esta función es -1 + 5 = 4. El punto (0, 4) estaría en este gráfico.
Asimismo, si x = 2, obtenemos 1 + 5 = 6. Nuevamente, el punto (2, 6) estaría en ese gráfico.
Por tanto, parece que la función es (x-1) 3 + 5.
name="problemas-de-pr-ctica">Problemas de práctica
- Grafica la función (x-1) 3
- Grafica la función - (x-1) 3
- Grafica la función (x + 1) (x-1) (x + 2)
- Aproxima la gráfica de la función (x-2) (x + 2) (x-1) +1
- ¿Cuál es la expresión algebraica de la función que se muestra?
name="pr-ctica-de-soluciones-de-problemas">Práctica de soluciones de problemas
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- f (x) = - (x + 2) 3-1
