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    Resolución de ecuaciones: técnicas y ejemplos

    Quien soy
    Joel Fulleda
    @joelfulleda

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    Resolución de ecuaciones: técnicas y ejemplos

    Comprender cómo resolver ecuaciones es una de las habilidades más fundamentales que todo estudiante que estudia álgebra puede dominar. Las soluciones para la mayoría de las expresiones algebraicas se buscan aplicando esta habilidad. Por lo tanto, los estudiantes deben ser más competentes en cómo llevar a cabo la operación.



    Este artículo aprenderá cómo resolver una ecuación realizando las cuatro operaciones matemáticas básicas: adición, sustracción, multiplicación, división.

    Una ecuación generalmente se compone de dos expresiones separadas por un signo que indica su relación. Las expresiones en una ecuación se pueden relacionar por igual con el signo (=), menor que (<), mayor que (>) o una combinación de estos signos.


    ¿Cómo resolver ecuaciones?

    Resolver una ecuación algebraica es generalmente el procedimiento de manipular una ecuación. La variable se deja en un lado y todo lo demás está en el otro lado de la ecuación.

    En palabras simples, resolver una ecuación es aislar haciendo que su coeficiente sea igual a 1. Hagas lo que hagas con un lado de una ecuación, haz lo mismo con el lado opuesto de la ecuación.

    Resuelve ecuaciones sumando

    Veamos algunos ejemplos a continuación para comprender este concepto.

     

    ejemplo 1


    Resolver: –7 - x = 9

    Solución

    –7 - x = 9

    Suma 7 a ambos lados de la ecuación.
    7 - x + 7 = 9 + 7
    - x = 16

    Multiplica ambos lados por –1
    x = –16

     

    ejemplo 2

    Resolver 4 = x - 3

    Solución

    Aquí, la variable está en el lado derecho de la ecuación. Suma 3 a ambos lados de la ecuación.

    4+ 3 = x â€“ 3 + 3

    7 = x

    Verifica la solución sustituyendo la respuesta en la ecuación original.

    4 = x - 3

    4 = 7 - 3

    Por lo tanto, x = 7 es la respuesta correcta.

    Resolver ecuaciones restando

    Veamos algunos ejemplos a continuación para comprender este concepto.

     

    ejemplo 3

    Resolver para x en x + 10 = 16

    Solución

    x + 10 = 16

    Restar 7 a ambos lados de la ecuación.

    x + 10 - 10 = 16 - 10

    x = 6


    Ejemplo 4

    Resuelve la ecuación lineal 15 = 26 - y

    Solución

    15 = 26 – y

    Restar 26 a ambos lados de la ecuación
    15 -26 = 26 – 26 -y
    – 11 = -y

    Multiplica ambos lados por –1

    y = 11

    Resolver ecuaciones con variables en ambos lados sumando

    Veamos algunos ejemplos a continuación para comprender este concepto.


    ejemplo 4

    Considere una ecuación 4x –12 = -x + 8.

    Dado que una ecuación tiene dos lados, debes realizar la misma operación en ambos lados.

    Suma la variable x a ambos lados de la ecuación

    ⟹ 4x –12 + x = -x + 8 + x.

    Simplificar

    Simplifique la ecuación reuniendo los términos semejantes en ambos lados de la ecuación.

    5x - 12 = 8.

    La ecuación ahora tiene solo una variable en un lado.

    Suma la constante 12 a ambos lados de la ecuación.

    La constante adjunta a la variable se suma en ambos lados.

    ⟹ 5x - 12 +12 = 8 + 12

    Simplificar

    Simplifica la ecuación combinando los términos semejantes. Y 12.

    ⟹ 5x = 20

    Ahora, divide por el coeficiente.

    Dividir ambos lados por el coeficiente es simplemente dividir todo por el número adjunto a la variable.

    La solución de esta ecuación es, por tanto,

    x = 4.

    Verifica tu solución

    Verifica si la solución es correcta insertando la respuesta en la ecuación original.

    4x –12 = -x + 8


    ⟹ 4 (4) –12 = -4 + 8

    4 = 4

    Por tanto, la solución es correcta.

     

    ejemplo 5

    Resolver -12x -5-9 + 4x = 8x - 13x + 15-8

    Solución

    Simplifica combinando los términos semejantes


    -8x-14 = -5x +7

    Agregue 5x en ambos lados.

    -8x + 5x -14 = -5x + 5x + 7

    -3w -14 = 7

    Ahora suma 14 a ambos lados de la ecuación.

    - 3x - 14 + 14 = 7 + 14

    -3x = 21

    Divide ambos lados de la ecuación por -3

    -3x / -3 = 21/3

    x = 7.

    Resolver ecuaciones con variables en ambos lados restando

    Veamos algunos ejemplos a continuación para comprender este concepto.

     

    ejemplo 6

    Resuelve la ecuación 12x + 3 = 4x + 15

    Solución

    Resta 4x de cada lado de la ecuación.

    12x-4x + 3 = 4x - 4x + 15

    6x + 3 = 15

    Resta la constante 3 de ambos lados.

    6x + 3-3 = 15-3

    6x = 12

    Dividir por 6;

    6x / 6 = 12/6

    x = 2

    ejemplo 7

    Resuelve la ecuación 2x ​​- 10 = 4x + 30.

    Solución

    Resta 2x a ambos lados de la ecuación.

    2x -2x -10 = 4x - 2x + 23

    -10 = 2x + 30

    Resta ambos lados de la ecuación por la constante 30.

    -10 - 30 = 2x + 30 - 30

    - 40 = 2x

    Ahora divida por 2

    -40/2 = 2x / 2

    -20 = x

    Resolver ecuaciones lineales con multiplicación

    Las ecuaciones lineales se resuelven por multiplicación si se usa la división para escribir la ecuación. Una vez que notes que una variable se divide, puedes usar la multiplicación para resolver las ecuaciones.

     

    ejemplo 7

    Resolver x / 4 = 8

    Solución

    Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador de la fracción,

    4 (x / 4) = 8 x 4

    x = 32

    ejemplo 8

    Resolver -x / 5 = 9

    Solución

    Multiplica ambos lados por 5.

    5 (-x / 5) = 9 x 5

    -x = 45

    Multiplica ambos lados por -1 para hacer que el coeficiente de la variable sea positivo.

    x = - 45

    Resolver ecuaciones lineales con división

    Para resolver ecuaciones lineales por división, ambos lados de la ecuación se dividen por el coeficiente de la variable. Echemos un vistazo a los ejemplos a continuación.

    ejemplo 9

    Resolver 2x = 4

    Solución

    Para resolver esta ecuación, divide ambos lados por el coeficiente de la variable.

    2x / 2 = 4/2

    x = 2

     

    ejemplo 10

    Resuelve la ecuación −2x = −8

    Solución

    Divide ambos lados de la ecuación por 2.

    −2x / 2 = −8/2

    −x = - 4

    Al multiplicar ambos lados por -1, obtenemos;

    x = 4

    ¿Cómo resolver ecuaciones algebraicas usando la propiedad distributiva?

    Resolver ecuaciones usando la propiedad distributiva implica multiplicar un número con la expresión entre paréntesis. Luego se combinan los términos semejantes y luego se aísla la variable.

    ejemplo 11

    Resolver 2x - 2 (3x - 2) = 2 (x –2) + 20

    Solución

    2x - 2 (3x - 2) = 2 (x - 2) + 20

    Utilice la propiedad distributiva para eliminar los corchetes
    2x - 6x + 4 = 2x - 4 + 20
    - 4x + 4 = 2x + 16

    Sumar o restar en ambos lados

    –4x + 4 - 4 –2x = 2x + 16 - 4 –2x
    –6x = 12
    x = –2

    Verifica la respuesta insertando la solución en la ecuación.

    2x - 2 (3x - 2) = 2 (x - 2) + 20

    (2 * –2) - 2 ((3 * –2) –2) = 2 (–2 –2) + 20
    12 = 12

     

    ejemplo 12

    Resolver para x en la ecuación -3x - 32 = -2 (5 - 4x)

    Solución

    Aplica la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis.

    –3x - 32 = - 10 + 8x

    Sumando ambos lados de la ecuación por 3x da,

    -3x + 3x - 32 = - 10 + 8x + 3x

    = - 10 + 11x = -32

    Suma ambos lados de la ecuación por 10.

    - 10 + 10 + 11x = -32 + 10

    11x = -2

    Divide toda la ecuación por 11.

    11x / 11 = -22/11

    x = -2

    ¿Cómo resolver ecuaciones con fracciones?

    No entre en pánico cuando vea fracciones en una ecuación algebraica. Si conoce todas las reglas para sumar, restar, multiplicar y dividir, es pan comido para usted.

    Para resolver ecuaciones con fracciones, debes transformarlas en una ecuación sin fracciones.

    Este método también se denomina "limpieza de fracciones."

    Al resolver ecuaciones con fracciones, se siguen los siguientes pasos:

    • Determine el mínimo común múltiplo de los denominadores (MCD) de todas las fracciones en una ecuación y multiplique por todas las fracciones en la ecuación.
    • Aislar la variable.
    • Simplifique ambos lados de una ecuación aplicando operaciones algebraicas simples.
    • Aplica la propiedad de división o multiplicación para hacer que el coeficiente de una variable sea igual a 1.

    ejemplo 13

    Resolver (3x + 4) / 5 = (2x - 3) / 3

    Solución

    El MCD de 5 y 3 es 15, por lo tanto, multiplique ambos
    (3x + 4) / 5 = (2x - 3) / 3

    {(3x + 4) / 5} 15 = {(2x - 3) / 3} 15

    9x +12 = 10x -15

    Aislar la variable;

    9x -10x = -15-12

    -x = -25

    x = 25

     

    ejemplo 14

    Resolver para x 3 / 2x + 6/4 = 10/3

    Solución

    La pantalla LCD de 2x, 4 y 3 es 12x

    Multiplica cada fracción de la ecuación por el LCD.

    (3/2x)12x + (6/4)12x = (10/3)12x

    => 18 + 18x = 40x

    Aislar la variable

    22x = 18

    x = 18 / 22

    Simplificar

    x = 9 / 11

     

    ejemplo 15

    Resolver para x (2 + 2x) / 4 = (1 + 2x) / 8

    Solución

    LCD = 8

    Multiplica cada fracción por el LCD,

    => 4 + 4x = 1 + 2x

    Aislar x;

    2x = -3

    x = -1.5

    Preguntas de práctica

    1. Resuelva para x en las siguientes ecuaciones lineales:

    una. 10x - 7 = 8x + 13

    B. x + 1/2 = 3

    c. 0.2x = 0.24

    d. 2x - 5 = x + 7

    mi. 11x + 5 = x + 7

    2. La edad de Jared es cuatro veces mayor que la de su hijo. Después de 5 años, Jared tendrá 3 veces la edad de su hijo. Encuentre la edad actual de Jared y su hijo.

    3. El costo de 2 pares de pantalones y 3 camisas es de $ 705. Si una camisa cuesta $ 40 menos que un par de pantalones, encuentre el costo de cada camisa y pantalón.

    4. Un barco tarda 6 horas cuando se navega río arriba y 5 horas si se navega corriente abajo de un río. Calcula la velocidad del barco en aguas tranquilas dado que la velocidad del río es de 3 km / hora.

    5. Un número de dos dígitos tiene la suma de sus dígitos es 7. Cuando se invierten los dígitos, el número formado es 27 menos que el número original. Encuentra el número.

    6. $ 10000 se distribuyen entre 150 personas. Si el dinero está en la denominación de $ 100 o $ 50. Calcula el número de cada denominación del dinero.

    7. El ancho de un rectángulo es 3 cm menos que el largo. Cuando el ancho y el largo se aumentan en 2, el área del rectángulo cambia a 70 cm2 más que la del rectángulo original. Calcula las dimensiones del rectángulo original.

    8. El numerador de una fracción 8 menos que el denominador. Cuando el denominador se reduce en 1 y el numerador se aumenta en 17, la fracción se convierte en 3/2. Determina la fracción.

    9. Mi padre tiene 12 años más de dos veces mi edad. Después de 8 años, la edad de mi padre será 20 menos de 3 veces mi edad. ¿Cuál es la edad actual de mi padre?



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