Resolución de funciones logarítmicas: explicación y ejemplos
En este artículo, aprenderemos cómo evaluar y resolver funciones logarítmicas con variables desconocidas.
Los logaritmos y los exponentes son dos temas de las matemáticas que están estrechamente relacionados. Por eso es útil que hagamos un breve repaso de exponentes.
Un exponente es una forma de escribir la multiplicación repetida de un número por sí mismo. Una función exponencial tiene la forma f (x) = by, donde b> 0 <x y b ≠ 1. La cantidad x es el número, b es la base e y es el exponente o potencia.
Por ejemplo:, 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 22.
La función exponencial 22 se lee como "dos elevado por el exponente de cinco"O"dos elevado al poder cinco"O"dos elevados a la quinta potencia."
Por otro lado, la función logarítmica se define como la función inversa de exponenciación. Considere nuevamente la función exponencial f (x) = by, donde b> 0 <x y b ≠ 1. Podemos representar esta función en forma logarítmica como:
y = log bx
Entonces la función logarítmica viene dada por;
f (x) = log bx = y, donde b es la base, y es el exponente y x es el argumento.
La función f (x) = log bx se lee como "log base b de x". Los logaritmos son útiles en matemáticas porque nos permiten realizar cálculos con números muy grandes.
¿Cómo resolver funciones logarítmicas?
Para resolver las funciones logarítmicas, es importante usar funciones exponenciales en la expresión dada. El logaritmo natural o ln es el inverso de e. Eso significa que uno puede deshacer el otro, es decir
ln (ex) = x
e ln x = x
Para resolver una ecuación con logaritmos, es importante conocer sus propiedades.
Propiedades de las funciones logarítmicas
Las propiedades de las funciones logarítmicas son simplemente las reglas para simplificar logaritmos cuando las entradas están en forma de división, multiplicación o exponentes de valores logarítmicos.
Algunas de las propiedades se enumeran a continuación.
- Regla del producto
La regla del logaritmo del producto establece que el logaritmo del producto de dos números que tienen una base común es igual a la suma de los logaritmos individuales.
⟹ log a (pq) = log a p + log a q.
- Regla del cociente
La regla del cociente de los logaritmos establece que el logaritmo de la razón de dos números con las mismas bases es igual a la diferencia de cada logaritmo.
⟹ log a (p / q) = log a p - log aq
- Regla de poder
La regla de la potencia del logaritmo establece que el logaritmo de un número con exponente racional es igual al producto del exponente por su logaritmo.
⟹ log a (pq) = q log ap
- Cambio de regla de base
⟹ log ap = log xp ⋅ log ax
⟹ log qp = log xp / log xq
- Regla de exponente cero
⟹ log p 1 = 0.
Otras propiedades de las funciones logarítmicas incluyen:
- Las bases de una función exponencial y su función logarítmica equivalente son iguales.
- Los logaritmos de un número positivo en la base del mismo número son iguales a 1.
log a a = 1
- Los logaritmos de 1 a cualquier base son 0.
log a 1 = 0
- El registro a0 no está definido
- Los logaritmos de números negativos no están definidos.
- La base de los logaritmos nunca puede ser negativa o 1.
- Una función logarítmica con base 10 se llama logaritmo común. Siempre asuma una base de 10 cuando resuelva con funciones logarítmicas sin un pequeño subíndice para la base.
Comparación de función exponencial y función logarítmica
Siempre que ve logaritmos en la ecuación, siempre piensa en cómo deshacer el logaritmo para resolver la ecuación. Para eso, usa un funcion exponencial. Ambas funciones son intercambiables.
La siguiente tabla muestra la forma de escribir y intercambiar las funciones exponenciales y funciones logarítmicas. La tercera columna explica cómo leer ambas funciones logarítmicas.
Usemos estas propiedades para resolver un par de problemas que involucran funciones logarítmicas.
ejemplo 1
Reescribe la función exponencial 72 = 49 en su función logarítmica equivalente.
Solución
Dado 72 = 64.
Aquí, la base = 7, exponente = 2 y el argumento = 49. Por lo tanto, 72 = 64 en función logarítmica es;
⟹ log 7 49 = 2
ejemplo 2
Escribe el equivalente logarítmico de 53 = 125.
Solución
Base = 5;
exponente = 3;
y argumento = 125
53 = 125 ⟹ log 5 = 125
ejemplo 3
Resolver para x en log 3 x = 2
Solución
log 3 x = 2
32 = x
⟹ x = 9
ejemplo 4
Si 2 log x = 4 log 3, entonces encuentre el valor de 'x'.
Solución
2 log x = 4 log 3
Divide cada lado entre 2.
log x = (4 log 3) / 2
log x = 2 log 3
log x = log 32
log x = log 9
x = 9
ejemplo 5
Encuentra el logaritmo de 1024 en base 2.
Solución
1024 = 210
log 2 1024 = 10
ejemplo 6
Encuentre el valor de x en log 2 (x) = 4
Solución
Reescribe la función logarítmica log 2 (x) = 4 en forma exponencial.
24 = x
16 = x
ejemplo 7
Resuelva para x en la siguiente función logarítmica log 2 (x - 1) = 5.
Solución
Reescribe el logaritmo en forma exponencial como;
log 2 (x - 1) = 5 ⟹ x - 1 = 25
Ahora, resuelve x en la ecuación algebraica.
⟹ x - 1 = 32
x = 33
ejemplo 8
Encuentre el valor de x en log x 900 = 2.
Solución
Escribe el logaritmo en forma exponencial como;
x2 = 900
Encuentra la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación para obtener;
x = -30 y 30
Pero como la base de los logaritmos nunca puede ser negativa o 1, la respuesta correcta es 30.
ejemplo 9
Resolver para x dado, log x = log 2 + log 5
Solución
Usando la regla del producto Log b (mn) = log b m + log b n obtenemos;
⟹ log 2 + log 5 = log (2 * 5) = Log (10).
Por lo tanto, x = 10.
ejemplo 10
Resolver log x (4x - 3) = 2
Solución
Reescribe el logaritmo en forma exponencial para obtener;
x2 = 4x - 3
Ahora, resuelve la ecuación cuadrática.
x2 = 4x - 3
x2 - 4x + 3 = 0
(x -1) (x - 3) = 0
x = 1 o 3
Dado que la base de un logaritmo nunca puede ser 1, la única solución es 3.
Preguntas de práctica
1. Exprese los siguientes logaritmos en forma exponencial.
una. 1og 26
B. registro 9 3
c. log4 1
D. registro 66
mi. registro 825
F. log 3 (-9)
2. Resuelve x en cada uno de los siguientes logaritmos
una. log 3 (x + 1) = 2
B. log 5 (3x - 8) = 2
C. log (x + 2) + log (x - 1) = 1
D. log x4– log 3 = log (3x2)
3. Encuentra el valor de y en cada uno de los siguientes logaritmos.
una. log 2 8 = y
B. log 5 1 = y
C. log 4 1/8 = y
D. log y = 100000
4. Resuelva para xif log x (9/25) = 2.
5. Resuelve log 2 3 - log 224
6. Encuentre el valor de x en el siguiente logaritmo log 5 (125x) = 4
7. Dado, Log 102 = 0.30103, Log 10 3 = 0.47712 y Log 10 7 = 0.84510, resuelva los siguientes logaritmos:
una. registro 6
B. registro 21
C. registro 14
