Resolver desigualdades cuadráticas: explicación y ejemplos

Como las ecuaciones tienen diferentes formas, las desigualdades también existen en diferentes formas, y desigualdad cuadrática es uno de ellos.

Una desigualdad cuadrática es una ecuación de segundo grado que usa un signo de desigualdad en lugar de un signo igual.

El soluciones a la desigualdad cuadrática Siempre da las dos raíces. La naturaleza de las raíces puede diferir y puede determinarse mediante discriminante (b2 - 4ac).

Las formas generales de las desigualdades cuadráticas son:

ax2 + bx + c <0

ax2 + bx + c ≤ 0

ax2 + bx + c> 0

ax2 + bx + c ≥ 0

Ejemplos de desigualdades cuadráticas son:

x2 - 6x - 16 ≤ 0, 2x2 - 11x + 12> 0, x2 + 4> 0, x2 - 3x + 2 ≤ 0 etc.

name="-c-mo-resolver-desigualdades-cuadr-ticas-">¿Cómo resolver desigualdades cuadráticas?

Ejemplos de las desigualdades cuadráticas son: x2 - 6x - 16 ≤ 0, 2x2 - 11x + 12> 0, x2 + 4> 0, x2 - 3x + 2 ≤ 0 etc.

Resolver una desigualdad cuadrática en álgebra es similar a resolver una ecuación cuadrática. La única excepción es que, con las ecuaciones cuadráticas, equiparas las expresiones a cero, pero con las desigualdades, estás interesado en saber qué hay a cada lado del cero, es decir, los negativos y los positivos.

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante la método de factorización o mediante el uso de Fórmula cuadrática. Antes de que podamos aprender a resolver desigualdades cuadráticas, recordemos cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas manejando algunos ejemplos.

name="-c-mo-se-resuelven-las-ecuaciones-cuadr-ticas-mediante-el-m-todo-de-factorizaci-n-">¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas mediante el método de factorización?

Como sabemos que podemos resolver igualmente desigualdades cuadráticas como ecuaciones cuadráticas, es útil entender cómo factorizar la ecuación o desigualdad dada.

Veamos algunos ejemplos aquí.

1. 6x2–7x + 2 = 0

Solución

⟹ 6x2 - 4x - 3x + 2 = 0

Factoriza la expresión;

⟹ 2x (3x - 2) - 1 (3x - 2) = 0

⟹ (3x - 2) (2x - 1) = 0

⟹ 3x - 2 = 0 o 2x - 1 = 0

⟹ 3x = 2 o 2x = 1

⟹ x = 2/3 o x = 1/2

Por lo tanto, x = 2/3, ½

1. Resolver 3x2– 6x + 4x - 8 = 0

Solución

Factoriza la expresión del lado izquierdo.

⟹ 3x2 - 6x + 4x - 8 = 0

⟹ 3x (x - 2) + 4 (x - 2) = 0

⟹ (x - 2) (3x + 4) = 0

⟹ x - 2 = 0 o 3x + 4 = 0

⟹ x = 2 o x = -4/3

Por lo tanto, las raíces de la ecuación cuadrática son, x = 2, -4/3.

1. Resolver 2 (x2 + 1) = 5x

Solución

2x2 + 2 = 5x

⟹ 2x2 - 5x + 2 = 0

⟹ 2x 2 - 4x - x + 2 = 0

⟹ 2x (x - 2) - 1 (x - 2) = 0

⟹ (x - 2) (2x - 1) = 0

⟹ x - 2 = 0 o 2x - 1 = 0

⟹ x = 2 o x = 1/2

Por lo tanto, las soluciones son x = 2, 1/2.

1. (2x - 3) 2 = 25

Solución

Expande y factoriza la expresión.

(2x - 3) 2 = 25

⟹ 4x2 - 12x + 9 - 25 = 0

⟹ 4x2 - 12x - 16 = 0

⟹ x2 - 3x - 4 = 0

⟹ (x - 4) (x + 1) = 0

⟹ x = 4 o x = -1

1. Resolver x2 + (4 - 3y) x - 12y = 0

Solución

Expande la ecuación;

x2 + 4x - 3xy - 12y = 0

Factorizar;

⟹ x (x + 4) - 3y (x + 4) = 0

x + 4) (x - 3y) = 0

⟹ x + 4 = 0 o x - 3y = 0

⟹ x = -4 o x = 3y

Por lo tanto, x = -4 o x = 3y

Para resolver una desigualdad cuadrática, también aplicamos el mismo método que se ilustra en el siguiente procedimiento:

• Escribe la desigualdad cuadrática en forma estándar: ax2 + bx + c donde a, by son coeficientes y a ≠ 0
• Determina las raíces de la desigualdad.
• Escribe la solución en notación de desigualdad o notación de intervalo.
• Si la desigualdad cuadrática tiene la forma: (x - a) (x - b) ≥ 0, entonces a ≤ x ≤ b, y si tiene la forma: (x - a) (x - b) ≤ 0, cuando a <b entonces a ≤ x o x ≥ b.

ejemplo 1

Resuelve la desigualdad x2 - 4x> –3

Solución

Primero, haz que un lado sea un lado de la desigualdad cero sumando ambos lados por 3.

x2 - 4x> –3 ⟹ x2 - 4x + 3> 0

Factoriza el lado izquierdo de la desigualdad.

x2 - 4x + 3> 0 ⟹ (x - 3) (x - 1)> 0

Resuelva todos los ceros para la desigualdad;

Para, (x - 1)> 0 ⟹ x> 1 y para, (x - 3)> 0 ⟹ x> 3

Dado que y es positivo, elegimos los valores de x en los que la curva estará por encima del eje x.
x <1 o x> 3

ejemplo 2

Resuelve la desigualdad x2 - x> 12.

Solución

Para escribir la desigualdad en forma estándar, resta ambos lados de la desigualdad por 12.

x2 - x> 12 ⟹ x2 - x - 12> 0.

Factoriza la desigualdad cuadrática para llegar a;

(x - 4) (x + 3)> 0

Resuelva todos los ceros para la desigualdad;

Para, (x + 3)> 0 ⟹ x> -3

Para x - 4> 0 ⟹ x> 4

Los valores x <–3 ox> 4 son, por tanto, la solución de esta desigualdad cuadrática.

ejemplo 3

Resolver 2x2 <9x + 5

Solución

Escribe la desigualdad en forma estándar haciendo que un lado de la desigualdad sea cero.

2x2 <9x + 5 ⟹ 2x2 - 9x - 5 <0

Factoriza el lado izquierdo de la desigualdad cuadrática.

2x2 - 9x - 5 <0 ⟹ (2x + 1) (x - 5) <0

Resuelve todos los ceros para la desigualdad.

Para, (x - 5) <0 ⟹ x <5 y para (2x + 1) <0 ⟹ x <-1/2

Dado que y es negativo para la ecuación 2x2 - 9x - 5 <0, elegimos los valores de x en los que la curva estará por debajo del eje x.

Por lo tanto, la solución es -1/2 <x <5

ejemplo 4

Resuelve - x 2 + 4 <0.

Solución

Dado que la desigualdad ya está en forma estándar, factorizamos la expresión.

-x 2 + 4 <0 ⟹ (x + 2) (x - 2) <0

Resuelve todos los ceros para la desigualdad.

Para, (x + 2) <0 ⟹ x <-2 y para, (x - 2) <0 ⟹ x <2

La y para –x 2 + 4 <0 es negativa; por lo tanto, elegimos los valores de x en los que la curva estará por debajo del eje x: –2 <x> 2

ejemplo 5

Resuelve 2x2 + x - 15 ≤ 0.

Solución

Factoriza la ecuación cuadrática.

2x2 + x - 15 = 0

2x2 + 6x - 5x− 15 = 0

2x (x + 3) - 5 (x + 3) = 0

(2x - 5) (x + 3) = 0

Para, 2x - 5 = 0 ⟹ x = 5/2 y para, x + 3 = 0 ⟹ x = -3

Dado que la y para 2x2 + x - 15 ≤ 0 es negativa, elegimos los valores de x en los que la curva estará por debajo del eje x. Por lo tanto, x ≤ -3 ox ≥5 / 2 es la solución.

ejemplo 6

Resolver - x2 + 3x - 2 ≥ 0

Solución

Multiplica la ecuación cuadrática por -1 y recuerda cambiar el signo.

x2 - 3x + 2 = 0

x2 - 1x - 2x + 2 = 0

x (x - 1) - 2 (x - 1) = 0

(x - 2) (x - 1) = 0

Para, x - 2 = 0 ⟹ x = 2 y para, x - 1 = 0 ⟹x = 1

Por lo tanto, la solución de la desigualdad cuadrática es 1 ≤ x ≤ 2

ejemplo 7

Resolver x2 - 3x + 2> 0

Solución

Factoriza la expresión para obtener;

x2 - 3x + 2> 0 ⟹ (x - 2) (x - 1)> 0

Ahora resuelva las raíces de la desigualdad como;

(x - 2)> 0 ⟹ x> 2

(x - 1)> 0 ⟹x> 1

La curva para x2 - 3x + 2> 0 tiene y positiva, por lo tanto, eligen los valores de x en los que la curva estará sobre el eje x Por tanto, la solución es x <1 ox> 2.

ejemplo 8

Resolver −2x2 + 5x + 12 ≥ 0

Solución

Multiplica toda la expresión por -1 y cambia el signo de desigualdad

−2x2 + 5x + 12 ≥ 0 ⟹2x2 - 5x - 12 ≤ 0

Factoriza la expresión para obtener;

(2x + 3) (x - 4) ≤ 0.

Resuelve las raíces;

(2x + 3) ≤ 0 ⟹ x ≤ -3/2.

(x - 4) ≤ 0 ⟹ x ≤ 4.

Aplicando la regla; (x - a) (x - b) ≥ 0, entonces a ≤ x ≤ b, podemos escribir cómodamente las soluciones de esta desigualdad cuadrática como:

-3/2 ≤ x ≤ 4.

ejemplo 9

x2 - x - 6 <0

Solución

Factoriza x2 - x - 6 para obtener;

(x + 2) (x - 3) <0

Encuentre las raíces de la ecuación como;

(x + 2) (x - 3) = 0

x = −2 o x = +3
Como y es negativo para x2 - x - 6 <0, entonces elegimos un intervalo en el que la curva estará por debajo del eje x. Por tanto, -2 <x <3 es la solución.

name="preguntas-de-pr-ctica">Preguntas de práctica

1. (x - 3) (x + 1) <0
2. x 2 + 5x + 6 ≥ 0
3. (2x - 1) (3x + 4)> 0
4. 10x 2 - 19x + 6 ≤ 0
5. 5 - 4x - x 2> 0
6. 1 - x - 2x2 <0
7. (x - 3) (x + 2)> 0.
8. x2 −2x − 3 <0.

respuestas

1. −1 <x <3
2. x <−3 o x> −2
3. x <−4/3 o x> ½
4. 2/5 ≤ x ≤ 3/2
5. −5 <x <1
6. x <−1 o x> ½
7. x <–2 o x> 3
8. −1≤ x ≤ 3